Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infunsdom1 Unicode version

Theorem infunsdom1 8049
 Description: The union of two sets that are strictly dominated by the infinite set is also dominated by . This version of infunsdom 8050 assumes additionally that is the smaller of the two. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infunsdom1

Proof of Theorem infunsdom1
StepHypRef Expression
1 simprl 733 . . . . 5
2 domsdomtr 7201 . . . . 5
31, 2sylan 458 . . . 4
4 unfi2 7335 . . . 4
53, 4sylancom 649 . . 3
6 simpllr 736 . . 3
7 sdomdomtr 7199 . . 3
85, 6, 7syl2anc 643 . 2
9 omelon 7557 . . . . . 6
10 onenon 7792 . . . . . 6
119, 10ax-mp 8 . . . . 5
12 simpll 731 . . . . . 6
13 sdomdom 7094 . . . . . . 7
1413ad2antll 710 . . . . . 6
15 numdom 7875 . . . . . 6
1612, 14, 15syl2anc 643 . . . . 5
17 domtri2 7832 . . . . 5
1811, 16, 17sylancr 645 . . . 4
1918biimpar 472 . . 3
20 uncom 3451 . . . . 5
2116adantr 452 . . . . . 6
22 simpr 448 . . . . . 6
231adantr 452 . . . . . 6
24 infunabs 8043 . . . . . 6
2521, 22, 23, 24syl3anc 1184 . . . . 5
2620, 25syl5eqbr 4205 . . . 4
27 simplrr 738 . . . 4
28 ensdomtr 7202 . . . 4
2926, 27, 28syl2anc 643 . . 3
3019, 29syldan 457 . 2
318, 30pm2.61dan 767 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wcel 1721   cun 3278   class class class wbr 4172  con0 4541  com 4804   cdm 4837   cen 7065   cdom 7066   csdm 7067  ccrd 7778 This theorem is referenced by:  infunsdom  8050 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004
 Copyright terms: Public domain W3C validator