MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infssuzle Structured version   Unicode version

Theorem infssuzle 11246
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infssuzle  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A )

Proof of Theorem infssuzle
Dummy variables  k 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3768 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
2 uzwo 11224 . . 3  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  S  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
31, 2sylan2 477 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
4 uzssz 11180 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5 zssre 10946 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
64, 5sstri 3474 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
7 sstr 3473 . . . 4  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ZZ>=
`  M )  C_  RR )  ->  S  C_  RR )
86, 7mpan2 676 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  S  C_  RR )
9 lbinfle 10565 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k  /\  A  e.  S )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A )
1093com23 1212 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  A  e.  S  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A )
118, 10syl3an1 1298 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A )
123, 11mpd3an3 1362 1  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777    C_ wss 3437   (/)c0 3762   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  infcinf 7959   RRcr 9540    < clt 9677    <_ cle 9678   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162
This theorem is referenced by:  zsupss  11255  uzwo3  11261  divalglem5  14370  bitsfzolem  14400  bezoutlem3  14501  lcmledvds  14557  lcmfledvds  14598  odzdvds  14733  4sqlem13  14900  4sqlem17  14904  ramcl2lem  14955  ramtub  14961  odlem2  17181  gexlem2  17226  zringlpirlem3  19049  ovolicc2lem4  22466  iundisj  22493  ig1peu  23114  ig1pdvds  23120  ftalem5  23993  iundisjf  28195  iundisjfi  28372  dgraaub  35977  elaa2lem  37961
  Copyright terms: Public domain W3C validator