Theorem infsdomnn 5625

Description: An infinite set strictly dominates a natural number.

Hypothesis

Ref	Expression
infsdomnn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
infsdomnn	|- ((om ~<_ A /\ B e. om) -> B ~< A)

Proof of Theorem infsdomnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 5432	. . . 4 |- Rel ~<_
2	1	brrelexi 4029	. . 3 |- (om ~<_ A -> om e. _V)
3		ensymg 5470	. . . . . . . 8 |- (om e. _V -> (B ~~ om -> om ~~ B))
4	3	con3d 111	. . . . . . 7 |- (om e. _V -> (-. om ~~ B -> -. B ~~ om))
5	4	anim2d 620	. . . . . 6 |- (om e. _V -> ((B ~<_ om /\ -. om ~~ B) -> (B ~<_ om /\ -. B ~~ om)))
6		omsdomnn 5623	. . . . . 6 |- (B e. om -> (B ~<_ om /\ -. om ~~ B))
7	5, 6	syl5 20	. . . . 5 |- (om e. _V -> (B e. om -> (B ~<_ om /\ -. B ~~ om)))
8		brsdom 5440	. . . . 5 |- (B ~< om <-> (B ~<_ om /\ -. B ~~ om))
9	7, 8	syl6ibr 230	. . . 4 |- (om e. _V -> (B e. om -> B ~< om))
10		infsdomnn.1	. . . . . 6 |- A e. _V
11		sdomdomtr 5532	. . . . . 6 |- (A e. _V -> ((B ~< om /\ om ~<_ A) -> B ~< A))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((B ~< om /\ om ~<_ A) -> B ~< A)
13	12	expcom 403	. . . 4 |- (om ~<_ A -> (B ~< om -> B ~< A))
14	9, 13	syl9 71	. . 3 |- (om e. _V -> (om ~<_ A -> (B e. om -> B ~< A)))
15	2, 14	mpcom 60	. 2 |- (om ~<_ A -> (B e. om -> B ~< A))
16	15	imp 377	1 |- ((om ~<_ A /\ B e. om) -> B ~< A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  omcom 3949   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425

This theorem is referenced by:  infn0 5626  infxpidmlem1 8821  infxpidmlem12 8832  infpss 8843  infsdomnng 14423

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430

Copyright terms: Public domain