Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infrglbOLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem infrglbOLD 37755
Description: The infimum of a nonempty bounded set of reals is the greatest lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) Obsolete version of infrglb 37754 as of 15-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
infrglbOLD  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  < 
B  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem infrglbOLD
StepHypRef Expression
1 gtso 9746 . . . 4  |-  `'  <  Or  RR
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  `'  <  Or  RR )
3 infm3 10601 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4 nfv 1772 . . . . . 6  |-  F/ x  A  C_  RR
5 nfv 1772 . . . . . 6  |-  F/ x  A  =/=  (/)
6 nfre1 2860 . . . . . 6  |-  F/ x E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
74, 5, 6nf3an 2024 . . . . 5  |-  F/ x
( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )
8 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  A  C_  RR
9 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  A  =/=  (/)
10 nfcv 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y RR
11 nfra1 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  A  x  <_  y
1210, 11nfrex 2862 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
138, 9, 12nf3an 2024 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )
14 nfv 1772 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  RR
1513, 14nfan 2022 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )
16 vex 3060 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
17 vex 3060 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1816, 17brcnv 5039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
1918biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `'  <  y  ->  y  <  x )
2019con3i 142 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  <  x  ->  -.  x `'  <  y
)
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y  <  x  ->  -.  x `'  <  y
) )
2215, 21ralimdaa 2802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  ->  A. y  e.  A  -.  x `'  <  y
) )
2317, 16brcnv 5039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
2423biimpi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `'  <  x  ->  x  <  y )
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
y `'  <  x  ->  x  <  y ) )
26 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
2717, 26brcnv 5039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
2827biimpri 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  <  y  ->  y `'  <  z )
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
z  <  y  ->  y `'  <  z ) )
3029reximdv 2873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
3125, 30imim12d 77 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3231adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3315, 32ralimdaa 2802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3422, 33anim12d 570 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
3534ex 440 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( x  e.  RR  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) ) )
367, 35reximdai 2868 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
373, 36mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
38 simp1 1014 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR )
392, 37, 38suplub2 8006 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  E. z  e.  A  B `'  <  z ) )
40 simpr 467 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
41 infmrclOLD 10626 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4241adantr 471 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
43 brcnvg 5037 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
4440, 42, 43syl2anc 671 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
45 brcnvg 5037 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  _V )  ->  ( B `'  <  z  <-> 
z  <  B )
)
4626, 45mpan2 682 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B `'  <  z  <->  z  <  B ) )
4746rexbidv 2913 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  ( E. z  e.  A  B `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
4847adantl 472 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  B `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
4939, 44, 483bitr3d 291 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  < 
B  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    C_ wss 3416   (/)c0 3743   class class class wbr 4418    Or wor 4776   `'ccnv 4855   supcsup 7985   RRcr 9569    < clt 9706    <_ cle 9707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-sup 7987  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894
This theorem is referenced by:  climinfOLD  37771
  Copyright terms: Public domain W3C validator