Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infrglbOLD Structured version   Unicode version

Theorem infrglbOLD 37609
Description: The infimum of a nonempty bounded set of reals is the greatest lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) Obsolete version of infrglb 37608 as of 15-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
infrglbOLD  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  < 
B  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem infrglbOLD
StepHypRef Expression
1 gtso 9722 . . . 4  |-  `'  <  Or  RR
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  `'  <  Or  RR )
3 infm3 10575 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ x  A  C_  RR
5 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ x  A  =/=  (/)
6 nfre1 2883 . . . . . 6  |-  F/ x E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
74, 5, 6nf3an 1990 . . . . 5  |-  F/ x
( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )
8 nfv 1755 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  A  C_  RR
9 nfv 1755 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  A  =/=  (/)
10 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y RR
11 nfra1 2803 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  A  x  <_  y
1210, 11nfrex 2885 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
138, 9, 12nf3an 1990 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )
14 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  RR
1513, 14nfan 1988 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )
16 vex 3083 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
17 vex 3083 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1816, 17brcnv 5036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
1918biimpi 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `'  <  y  ->  y  <  x )
2019con3i 140 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  <  x  ->  -.  x `'  <  y
)
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y  <  x  ->  -.  x `'  <  y
) )
2215, 21ralimdaa 2824 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  ->  A. y  e.  A  -.  x `'  <  y
) )
2317, 16brcnv 5036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
2423biimpi 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `'  <  x  ->  x  <  y )
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
y `'  <  x  ->  x  <  y ) )
26 vex 3083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
2717, 26brcnv 5036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
2827biimpri 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  <  y  ->  y `'  <  z )
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
z  <  y  ->  y `'  <  z ) )
3029reximdv 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
3125, 30imim12d 77 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3231adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3315, 32ralimdaa 2824 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3422, 33anim12d 565 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
3534ex 435 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( x  e.  RR  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) ) )
367, 35reximdai 2891 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
373, 36mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
38 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR )
392, 37, 38suplub2 7984 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  E. z  e.  A  B `'  <  z ) )
40 simpr 462 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
41 infmrclOLD 10600 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4241adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
43 brcnvg 5034 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
4440, 42, 43syl2anc 665 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
45 brcnvg 5034 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  _V )  ->  ( B `'  <  z  <-> 
z  <  B )
)
4626, 45mpan2 675 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B `'  <  z  <->  z  <  B ) )
4746rexbidv 2936 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  ( E. z  e.  A  B `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
4847adantl 467 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  B `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
4939, 44, 483bitr3d 286 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  < 
B  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423    Or wor 4773   `'ccnv 4852   supcsup 7963   RRcr 9545    < clt 9682    <_ cle 9683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870
This theorem is referenced by:  climinfOLD  37625
  Copyright terms: Public domain W3C validator