Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infrglb Structured version   Unicode version

Theorem infrglb 29942
Description: The infimum of a nonempty bounded set of reals is the greatest lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
infrglb  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  < 
B  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem infrglb
StepHypRef Expression
1 ltso 9570 . . . . 5  |-  <  Or  RR
2 cnvso 5487 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
31, 2mpbi 208 . . . 4  |-  `'  <  Or  RR
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  `'  <  Or  RR )
5 infm3 10404 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
6 nfv 1674 . . . . . 6  |-  F/ x  A  C_  RR
7 nfv 1674 . . . . . 6  |-  F/ x  A  =/=  (/)
8 nfre1 2891 . . . . . 6  |-  F/ x E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
96, 7, 8nf3an 1868 . . . . 5  |-  F/ x
( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )
10 nfv 1674 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  A  C_  RR
11 nfv 1674 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  A  =/=  (/)
12 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y RR
13 nfra1 2810 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  A  x  <_  y
1412, 13nfrex 2890 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
1510, 11, 14nf3an 1868 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )
16 nfv 1674 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  RR
1715, 16nfan 1866 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )
18 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
19 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
2018, 19brcnv 5133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
2120biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `'  <  y  ->  y  <  x )
2221con3i 135 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  <  x  ->  -.  x `'  <  y
)
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y  <  x  ->  -.  x `'  <  y
) )
2417, 23ralimdaa 2826 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  ->  A. y  e.  A  -.  x `'  <  y
) )
2519, 18brcnv 5133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
2625biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `'  <  x  ->  x  <  y )
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
y `'  <  x  ->  x  <  y ) )
28 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
2919, 28brcnv 5133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
3029biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  <  y  ->  y `'  <  z )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
z  <  y  ->  y `'  <  z ) )
3231reximdv 2933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
3327, 32imim12d 74 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3433adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3517, 34ralimdaa 2826 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3624, 35anim12d 563 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
3736ex 434 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( x  e.  RR  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) ) )
389, 37reximdai 2930 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
395, 38mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
40 simp1 988 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR )
414, 39, 40suplub2 7826 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  E. z  e.  A  B `'  <  z ) )
42 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
43 infmrcl 10424 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4443adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
45 brcnvg 5131 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
4642, 44, 45syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
47 brcnvg 5131 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  _V )  ->  ( B `'  <  z  <-> 
z  <  B )
)
4828, 47mpan2 671 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B `'  <  z  <->  z  <  B ) )
4948rexbidv 2868 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  ( E. z  e.  A  B `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
5049adantl 466 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  B `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
5141, 46, 503bitr3d 283 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  < 
B  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403    Or wor 4751   `'ccnv 4950   supcsup 7805   RRcr 9396    < clt 9533    <_ cle 9534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713
This theorem is referenced by:  climinf  29950
  Copyright terms: Public domain W3C validator