Theorem infpwfien 8475

Description: Any infinite well-orderable set is equinumerous to its set of finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infpwfien	|- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ A )

Proof of Theorem infpwfien

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxpidm2 8426	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( A X. A ) ~~ A )
2		infn0 7816	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ A -> A =/= (/) )
3	2	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> A =/= (/) )
4		fseqen 8440	. . . . . . 7 |- ( ( ( A X. A ) ~~ A /\ A =/= (/) ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~~ ( om X. A ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~~ ( om X. A ) )
6		xpdom1g 7652	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( om X. A ) ~<_ ( A X. A ) )
7		domentr 7612	. . . . . . 7 |- ( ( ( om X. A ) ~<_ ( A X. A ) /\ ( A X. A ) ~~ A ) -> ( om X. A ) ~<_ A )
8	6, 1, 7	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( om X. A ) ~<_ A )
9		endomtr 7611	. . . . . 6 |- ( ( U_ n e. om ( A ^m n ) ~~ ( om X. A ) /\ ( om X. A ) ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A )
10	5, 8, 9	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A )
11		numdom 8451	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) e. dom card )
12	10, 11	syldan 468	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) e. dom card )
13		eliun 4276	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) <-> E. n e. om x e. ( A ^m n ) )
14		elmapi 7478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( A ^m n ) -> x : n --> A )
15	14	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> x : n --> A )
16		frn 5720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x : n --> A -> ran x C_ A )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x C_ A )
18		vex 3062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
19	18	rnex 6718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran x e. _V
20	19	elpw 3961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran x e. ~P A <-> ran x C_ A )
21	17, 20	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x e. ~P A )
22		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> n e. om )
23		ssid 3461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- n C_ n
24		ssnnfi 7774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. om /\ n C_ n ) -> n e. Fin )
25	22, 23, 24	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> n e. Fin )
26		ffn 5714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x : n --> A -> x Fn n )
27		dffn4 5784	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x Fn n <-> x : n -onto-> ran x )
28	26, 27	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x : n --> A -> x : n -onto-> ran x )
29	15, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> x : n -onto-> ran x )
30		fofi 7840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. Fin /\ x : n -onto-> ran x ) -> ran x e. Fin )
31	25, 29, 30	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x e. Fin )
32	21, 31	elind 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) )
33	32	expr 613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> ( x e. ( A ^m n ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
34	33	rexlimdva 2896	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( E. n e. om x e. ( A ^m n ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
35	13, 34	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
36	35	imp 427	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ x e. U_ n e. om ( A ^m n ) ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) )
37		eqid 2402	. . . . . . 7 |- ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) = ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x )
38	36, 37	fmptd 6033	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) --> ( ~P A i^i Fin ) )
39		ffn 5714	. . . . . 6 |- ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) --> ( ~P A i^i Fin ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) Fn U_ n e. om ( A ^m n ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) Fn U_ n e. om ( A ^m n ) )
41		frn 5720	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) --> ( ~P A i^i Fin ) -> ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) C_ ( ~P A i^i Fin ) )
42	38, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) C_ ( ~P A i^i Fin ) )
43		inss2 3660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
44		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
45	43, 44	sseldi 3440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
46		isfi 7577	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Fin <-> E. m e. om y ~~ m )
47	45, 46	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. m e. om y ~~ m )
48		ensym 7602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y ~~ m -> m ~~ y )
49		bren 7563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m ~~ y <-> E. x x : m -1-1-onto-> y )
50	48, 49	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y ~~ m -> E. x x : m -1-1-onto-> y )
51		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> m e. om )
52		f1of 5799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x : m -1-1-onto-> y -> x : m --> y )
53	52	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x : m --> y )
54		inss1 3659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
55		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
56	54, 55	sseldi 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y e. ~P A )
57	56	elpwid 3965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y C_ A )
58	53, 57	fssd 5723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x : m --> A )
59		simplll 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> A e. dom card )
60		vex 3062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- m e. _V
61		elmapg 7470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. dom card /\ m e. _V ) -> ( x e. ( A ^m m ) <-> x : m --> A ) )
62	59, 60, 61	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> ( x e. ( A ^m m ) <-> x : m --> A ) )
63	58, 62	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x e. ( A ^m m ) )
64		oveq2 6286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( A ^m n ) = ( A ^m m ) )
65	64	eleq2d 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( x e. ( A ^m n ) <-> x e. ( A ^m m ) ) )
66	65	rspcev 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. om /\ x e. ( A ^m m ) ) -> E. n e. om x e. ( A ^m n ) )
67	51, 63, 66	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> E. n e. om x e. ( A ^m n ) )
68	67, 13	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x e. U_ n e. om ( A ^m n ) )
69		f1ofo 5806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x : m -1-1-onto-> y -> x : m -onto-> y )
70	69	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x : m -onto-> y )
71		forn 5781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x : m -onto-> y -> ran x = y )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> ran x = y )
73	72	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y = ran x )
74	68, 73	jca 530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
75	74	expr 613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ m e. om ) -> ( x : m -1-1-onto-> y -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
76	75	eximdv 1731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ m e. om ) -> ( E. x x : m -1-1-onto-> y -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
77	50, 76	syl5 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ m e. om ) -> ( y ~~ m -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
78	77	rexlimdva 2896	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( E. m e. om y ~~ m -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
79	47, 78	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
80	79	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
81		vex 3062	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
82	37	elrnmpt 5070	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) <-> E. x e. U_ n e. om ( A ^m n ) y = ran x ) )
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) <-> E. x e. U_ n e. om ( A ^m n ) y = ran x )
84		df-rex 2760	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. U_ n e. om ( A ^m n ) y = ran x <-> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
85	83, 84	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) <-> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
86	80, 85	syl6ibr 227	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) ) )
87	86	ssrdv 3448	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) C_ ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) )
88	42, 87	eqssd 3459	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) = ( ~P A i^i Fin ) )
89		df-fo 5575	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) Fn U_ n e. om ( A ^m n ) /\ ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) = ( ~P A i^i Fin ) ) )
90	40, 88, 89	sylanbrc 662	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) )
91		fodomnum 8470	. . . 4 |- ( U_ n e. om ( A ^m n ) e. dom card -> ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) ) )
92	12, 90, 91	sylc 59	. . 3 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) )
93		domtr 7606	. . 3 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) /\ U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ A )
94	92, 10, 93	syl2anc 659	. 2 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ A )
95		pwexg 4578	. . . . 5 |- ( A e. dom card -> ~P A e. _V )
96	95	adantr 463	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ~P A e. _V )
97		inex1g 4537	. . . 4 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
98	96, 97	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
99		infpwfidom 8441	. . 3 |- ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V -> A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) )
100	98, 99	syl 17	. 2 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) )
101		sbth 7675	. 2 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) ~<_ A /\ A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ A )
102	94, 100, 101	syl2anc 659	1 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   =/= wne 2598   E.wrex 2755   _Vcvv 3059   i^i cin 3413   C_ wss 3414   (/)c0 3738   ~Pcpw 3955   U_ciun 4271   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   X. cxp 4821   dom cdm 4823   ran crn 4824   Fn wfn 5564   -->wf 5565   -onto->wfo 5567   -1-1-onto->wf1o 5568  (class class class)co 6278   omcom 6683   ^m cmap 7457   ~~ cen 7551   ~<_ cdom 7552   Fincfn 7554   cardccrd 8348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-seqom 7150  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355

This theorem is referenced by:  inffien  8476  isnumbasgrplem3  35418