Theorem infpwfien 8220

Description: Any infinite well-orderable set is equinumerous to its set of finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infpwfien	|- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ A )

Proof of Theorem infpwfien

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxpidm2 8171	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( A X. A ) ~~ A )
2		infn0 7562	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ A -> A =/= (/) )
3	2	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> A =/= (/) )
4		fseqen 8185	. . . . . . 7 |- ( ( ( A X. A ) ~~ A /\ A =/= (/) ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~~ ( om X. A ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 654	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~~ ( om X. A ) )
6		xpdom1g 7396	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( om X. A ) ~<_ ( A X. A ) )
7		domentr 7356	. . . . . . 7 |- ( ( ( om X. A ) ~<_ ( A X. A ) /\ ( A X. A ) ~~ A ) -> ( om X. A ) ~<_ A )
8	6, 1, 7	syl2anc 654	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( om X. A ) ~<_ A )
9		endomtr 7355	. . . . . 6 |- ( ( U_ n e. om ( A ^m n ) ~~ ( om X. A ) /\ ( om X. A ) ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A )
10	5, 8, 9	syl2anc 654	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A )
11		numdom 8196	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) e. dom card )
12	10, 11	syldan 467	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) e. dom card )
13		eliun 4163	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) <-> E. n e. om x e. ( A ^m n ) )
14		elmapi 7222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( A ^m n ) -> x : n --> A )
15	14	ad2antll 721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> x : n --> A )
16		frn 5553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x : n --> A -> ran x C_ A )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x C_ A )
18		vex 2965	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
19	18	rnex 6501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran x e. _V
20	19	elpw 3854	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran x e. ~P A <-> ran x C_ A )
21	17, 20	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x e. ~P A )
22		simprl 748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> n e. om )
23		ssid 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- n C_ n
24		ssnnfi 7520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. om /\ n C_ n ) -> n e. Fin )
25	22, 23, 24	sylancl 655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> n e. Fin )
26		ffn 5547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x : n --> A -> x Fn n )
27		dffn4 5614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x Fn n <-> x : n -onto-> ran x )
28	26, 27	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x : n --> A -> x : n -onto-> ran x )
29	15, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> x : n -onto-> ran x )
30		fofi 7585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. Fin /\ x : n -onto-> ran x ) -> ran x e. Fin )
31	25, 29, 30	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x e. Fin )
32	21, 31	elind 3528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) )
33	32	expr 610	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> ( x e. ( A ^m n ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
34	33	rexlimdva 2831	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( E. n e. om x e. ( A ^m n ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
35	13, 34	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
36	35	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ x e. U_ n e. om ( A ^m n ) ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) )
37		eqid 2433	. . . . . . 7 |- ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) = ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x )
38	36, 37	fmptd 5855	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) --> ( ~P A i^i Fin ) )
39		ffn 5547	. . . . . 6 |- ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) --> ( ~P A i^i Fin ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) Fn U_ n e. om ( A ^m n ) )
40	38, 39	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) Fn U_ n e. om ( A ^m n ) )
41		frn 5553	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) --> ( ~P A i^i Fin ) -> ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) C_ ( ~P A i^i Fin ) )
42	38, 41	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) C_ ( ~P A i^i Fin ) )
43		inss2 3559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
44		simpr 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
45	43, 44	sseldi 3342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
46		isfi 7321	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Fin <-> E. m e. om y ~~ m )
47	45, 46	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. m e. om y ~~ m )
48		ensym 7346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y ~~ m -> m ~~ y )
49		bren 7307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m ~~ y <-> E. x x : m -1-1-onto-> y )
50	48, 49	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y ~~ m -> E. x x : m -1-1-onto-> y )
51		simprl 748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> m e. om )
52		f1of 5629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x : m -1-1-onto-> y -> x : m --> y )
53	52	ad2antll 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x : m --> y )
54		inss1 3558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
55		simplr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
56	54, 55	sseldi 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y e. ~P A )
57	56	elpwid 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y C_ A )
58		fss 5555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x : m --> y /\ y C_ A ) -> x : m --> A )
59	53, 57, 58	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x : m --> A )
60		simplll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> A e. dom card )
61		vex 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- m e. _V
62		elmapg 7215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. dom card /\ m e. _V ) -> ( x e. ( A ^m m ) <-> x : m --> A ) )
63	60, 61, 62	sylancl 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> ( x e. ( A ^m m ) <-> x : m --> A ) )
64	59, 63	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x e. ( A ^m m ) )
65		oveq2 6088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( A ^m n ) = ( A ^m m ) )
66	65	eleq2d 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( x e. ( A ^m n ) <-> x e. ( A ^m m ) ) )
67	66	rspcev 3062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. om /\ x e. ( A ^m m ) ) -> E. n e. om x e. ( A ^m n ) )
68	51, 64, 67	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> E. n e. om x e. ( A ^m n ) )
69	68, 13	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x e. U_ n e. om ( A ^m n ) )
70		f1ofo 5636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x : m -1-1-onto-> y -> x : m -onto-> y )
71	70	ad2antll 721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x : m -onto-> y )
72		forn 5611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x : m -onto-> y -> ran x = y )
73	71, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> ran x = y )
74	73	eqcomd 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y = ran x )
75	69, 74	jca 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
76	75	expr 610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ m e. om ) -> ( x : m -1-1-onto-> y -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
77	76	eximdv 1675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ m e. om ) -> ( E. x x : m -1-1-onto-> y -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
78	50, 77	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ m e. om ) -> ( y ~~ m -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
79	78	rexlimdva 2831	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( E. m e. om y ~~ m -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
80	47, 79	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
81	80	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
82		vex 2965	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
83	37	elrnmpt 5073	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) <-> E. x e. U_ n e. om ( A ^m n ) y = ran x ) )
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) <-> E. x e. U_ n e. om ( A ^m n ) y = ran x )
85		df-rex 2711	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. U_ n e. om ( A ^m n ) y = ran x <-> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
86	84, 85	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) <-> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
87	81, 86	syl6ibr 227	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) ) )
88	87	ssrdv 3350	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) C_ ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) )
89	42, 88	eqssd 3361	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) = ( ~P A i^i Fin ) )
90		df-fo 5412	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) Fn U_ n e. om ( A ^m n ) /\ ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) = ( ~P A i^i Fin ) ) )
91	40, 89, 90	sylanbrc 657	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) )
92		fodomnum 8215	. . . 4 |- ( U_ n e. om ( A ^m n ) e. dom card -> ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) ) )
93	12, 91, 92	sylc 60	. . 3 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) )
94		domtr 7350	. . 3 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) /\ U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ A )
95	93, 10, 94	syl2anc 654	. 2 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ A )
96		pwexg 4464	. . . . 5 |- ( A e. dom card -> ~P A e. _V )
97	96	adantr 462	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ~P A e. _V )
98		inex1g 4423	. . . 4 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
99	97, 98	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
100		infpwfidom 8186	. . 3 |- ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V -> A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) )
101	99, 100	syl 16	. 2 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) )
102		sbth 7419	. 2 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) ~<_ A /\ A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ A )
103	95, 101, 102	syl2anc 654	1 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   E.wex 1589   e. wcel 1755   =/= wne 2596   E.wrex 2706   _Vcvv 2962   i^i cin 3315   C_ wss 3316   (/)c0 3625   ~Pcpw 3848   U_ciun 4159   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   X. cxp 4825   dom cdm 4827   ran crn 4828   Fn wfn 5401   -->wf 5402   -onto->wfo 5404   -1-1-onto->wf1o 5405  (class class class)co 6080   omcom 6465   ^m cmap 7202   ~~ cen 7295   ~<_ cdom 7296   Fincfn 7298   cardccrd 8093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-seqom 6889  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-oi 7712  df-card 8097  df-acn 8100

This theorem is referenced by:  inffien  8221  isnumbasgrplem3  29306