Theorem infpwfien 8439

Description: Any infinite well-orderable set is equinumerous to its set of finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infpwfien	|- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ A )

Proof of Theorem infpwfien

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxpidm2 8390	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( A X. A ) ~~ A )
2		infn0 7778	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ A -> A =/= (/) )
3	2	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> A =/= (/) )
4		fseqen 8404	. . . . . . 7 |- ( ( ( A X. A ) ~~ A /\ A =/= (/) ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~~ ( om X. A ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~~ ( om X. A ) )
6		xpdom1g 7611	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( om X. A ) ~<_ ( A X. A ) )
7		domentr 7571	. . . . . . 7 |- ( ( ( om X. A ) ~<_ ( A X. A ) /\ ( A X. A ) ~~ A ) -> ( om X. A ) ~<_ A )
8	6, 1, 7	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( om X. A ) ~<_ A )
9		endomtr 7570	. . . . . 6 |- ( ( U_ n e. om ( A ^m n ) ~~ ( om X. A ) /\ ( om X. A ) ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A )
10	5, 8, 9	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A )
11		numdom 8415	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) e. dom card )
12	10, 11	syldan 470	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) e. dom card )
13		eliun 4330	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) <-> E. n e. om x e. ( A ^m n ) )
14		elmapi 7437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( A ^m n ) -> x : n --> A )
15	14	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> x : n --> A )
16		frn 5735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x : n --> A -> ran x C_ A )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x C_ A )
18		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
19	18	rnex 6715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran x e. _V
20	19	elpw 4016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran x e. ~P A <-> ran x C_ A )
21	17, 20	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x e. ~P A )
22		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> n e. om )
23		ssid 3523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- n C_ n
24		ssnnfi 7736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. om /\ n C_ n ) -> n e. Fin )
25	22, 23, 24	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> n e. Fin )
26		ffn 5729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x : n --> A -> x Fn n )
27		dffn4 5799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x Fn n <-> x : n -onto-> ran x )
28	26, 27	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x : n --> A -> x : n -onto-> ran x )
29	15, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> x : n -onto-> ran x )
30		fofi 7802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. Fin /\ x : n -onto-> ran x ) -> ran x e. Fin )
31	25, 29, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x e. Fin )
32	21, 31	elind 3688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) )
33	32	expr 615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> ( x e. ( A ^m n ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
34	33	rexlimdva 2955	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( E. n e. om x e. ( A ^m n ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
35	13, 34	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
36	35	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ x e. U_ n e. om ( A ^m n ) ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) )
37		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) = ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x )
38	36, 37	fmptd 6043	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) --> ( ~P A i^i Fin ) )
39		ffn 5729	. . . . . 6 |- ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) --> ( ~P A i^i Fin ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) Fn U_ n e. om ( A ^m n ) )
40	38, 39	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) Fn U_ n e. om ( A ^m n ) )
41		frn 5735	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) --> ( ~P A i^i Fin ) -> ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) C_ ( ~P A i^i Fin ) )
42	38, 41	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) C_ ( ~P A i^i Fin ) )
43		inss2 3719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
44		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
45	43, 44	sseldi 3502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
46		isfi 7536	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Fin <-> E. m e. om y ~~ m )
47	45, 46	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. m e. om y ~~ m )
48		ensym 7561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y ~~ m -> m ~~ y )
49		bren 7522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m ~~ y <-> E. x x : m -1-1-onto-> y )
50	48, 49	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y ~~ m -> E. x x : m -1-1-onto-> y )
51		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> m e. om )
52		f1of 5814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x : m -1-1-onto-> y -> x : m --> y )
53	52	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x : m --> y )
54		inss1 3718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
55		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
56	54, 55	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y e. ~P A )
57	56	elpwid 4020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y C_ A )
58		fss 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x : m --> y /\ y C_ A ) -> x : m --> A )
59	53, 57, 58	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x : m --> A )
60		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> A e. dom card )
61		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- m e. _V
62		elmapg 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. dom card /\ m e. _V ) -> ( x e. ( A ^m m ) <-> x : m --> A ) )
63	60, 61, 62	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> ( x e. ( A ^m m ) <-> x : m --> A ) )
64	59, 63	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x e. ( A ^m m ) )
65		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( A ^m n ) = ( A ^m m ) )
66	65	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( x e. ( A ^m n ) <-> x e. ( A ^m m ) ) )
67	66	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. om /\ x e. ( A ^m m ) ) -> E. n e. om x e. ( A ^m n ) )
68	51, 64, 67	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> E. n e. om x e. ( A ^m n ) )
69	68, 13	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x e. U_ n e. om ( A ^m n ) )
70		f1ofo 5821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x : m -1-1-onto-> y -> x : m -onto-> y )
71	70	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x : m -onto-> y )
72		forn 5796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x : m -onto-> y -> ran x = y )
73	71, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> ran x = y )
74	73	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y = ran x )
75	69, 74	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
76	75	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ m e. om ) -> ( x : m -1-1-onto-> y -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
77	76	eximdv 1686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ m e. om ) -> ( E. x x : m -1-1-onto-> y -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
78	50, 77	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ m e. om ) -> ( y ~~ m -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
79	78	rexlimdva 2955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( E. m e. om y ~~ m -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
80	47, 79	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
81	80	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
82		vex 3116	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
83	37	elrnmpt 5247	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) <-> E. x e. U_ n e. om ( A ^m n ) y = ran x ) )
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) <-> E. x e. U_ n e. om ( A ^m n ) y = ran x )
85		df-rex 2820	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. U_ n e. om ( A ^m n ) y = ran x <-> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
86	84, 85	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) <-> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
87	81, 86	syl6ibr 227	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) ) )
88	87	ssrdv 3510	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) C_ ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) )
89	42, 88	eqssd 3521	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) = ( ~P A i^i Fin ) )
90		df-fo 5592	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) Fn U_ n e. om ( A ^m n ) /\ ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) = ( ~P A i^i Fin ) ) )
91	40, 89, 90	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) )
92		fodomnum 8434	. . . 4 |- ( U_ n e. om ( A ^m n ) e. dom card -> ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) ) )
93	12, 91, 92	sylc 60	. . 3 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) )
94		domtr 7565	. . 3 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) /\ U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ A )
95	93, 10, 94	syl2anc 661	. 2 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ A )
96		pwexg 4631	. . . . 5 |- ( A e. dom card -> ~P A e. _V )
97	96	adantr 465	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ~P A e. _V )
98		inex1g 4590	. . . 4 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
99	97, 98	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
100		infpwfidom 8405	. . 3 |- ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V -> A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) )
101	99, 100	syl 16	. 2 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) )
102		sbth 7634	. 2 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) ~<_ A /\ A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ A )
103	95, 101, 102	syl2anc 661	1 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585  (class class class)co 6282   omcom 6678   ^m cmap 7417   ~~ cen 7510   ~<_ cdom 7511   Fincfn 7513   cardccrd 8312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-seqom 7110  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319

This theorem is referenced by:  inffien  8440  isnumbasgrplem3  30658