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Theorem infpwfien 8439
Description: Any infinite well-orderable set is equinumerous to its set of finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpwfien  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~~  A )

Proof of Theorem infpwfien
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxpidm2 8390 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( A  X.  A
)  ~~  A )
2 infn0 7778 . . . . . . . 8  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  =/=  (/) )
32adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  A  =/=  (/) )
4 fseqen 8404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  X.  A
)  ~~  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ~~  ( om  X.  A ) )
51, 3, 4syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~~  ( om  X.  A ) )
6 xpdom1g 7611 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( om  X.  A
)  ~<_  ( A  X.  A ) )
7 domentr 7571 . . . . . . 7  |-  ( ( ( om  X.  A
)  ~<_  ( A  X.  A )  /\  ( A  X.  A )  ~~  A )  ->  ( om  X.  A )  ~<_  A )
86, 1, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( om  X.  A
)  ~<_  A )
9 endomtr 7570 . . . . . 6  |-  ( (
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~~  ( om  X.  A )  /\  ( om  X.  A )  ~<_  A )  ->  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  ~<_  A )
105, 8, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~<_  A )
11 numdom 8415 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~<_  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  e.  dom  card )
1210, 11syldan 470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  e.  dom  card )
13 eliun 4330 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  <->  E. n  e.  om  x  e.  ( A  ^m  n ) )
14 elmapi 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A  ^m  n )  ->  x : n --> A )
1514ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  x :
n --> A )
16 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : n --> A  ->  ran  x  C_  A )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  ran  x  C_  A )
18 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
1918rnex 6715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  x  e.  _V
2019elpw 4016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  x  e.  ~P A  <->  ran  x  C_  A )
2117, 20sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  ran  x  e. 
~P A )
22 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  n  e.  om )
23 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  n  C_  n
24 ssnnfi 7736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  n  C_  n )  ->  n  e.  Fin )
2522, 23, 24sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  n  e.  Fin )
26 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : n --> A  ->  x  Fn  n )
27 dffn4 5799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  Fn  n  <->  x :
n -onto-> ran  x )
2826, 27sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : n --> A  ->  x : n -onto-> ran  x
)
2915, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  x :
n -onto-> ran  x )
30 fofi 7802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Fin  /\  x : n -onto-> ran  x
)  ->  ran  x  e. 
Fin )
3125, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  ran  x  e. 
Fin )
3221, 31elind 3688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
3332expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  n )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
3433rexlimdva 2955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( E. n  e. 
om  x  e.  ( A  ^m  n )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
3513, 34syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
3635imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
37 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)  =  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)
3836, 37fmptd 6043 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x ) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
39 ffn 5729 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) --> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  Fn  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4038, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  Fn  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
41 frn 5735 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) --> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e. 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  |->  ran  x )  C_  ( ~P A  i^i  Fin ) )
4238, 41syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  ran  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  C_  ( ~P A  i^i  Fin )
)
43 inss2 3719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
4543, 44sseldi 3502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
46 isfi 7536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  y  ~~  m
)
4745, 46sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  E. m  e.  om  y  ~~  m )
48 ensym 7561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
~~  m  ->  m  ~~  y )
49 bren 7522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m 
~~  y  <->  E. x  x : m -1-1-onto-> y )
5048, 49sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
~~  m  ->  E. x  x : m -1-1-onto-> y )
51 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  m  e.  om )
52 f1of 5814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x : m -1-1-onto-> y  ->  x : m --> y )
5352ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x : m --> y )
54 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
55 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
5654, 55sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
y  e.  ~P A
)
5756elpwid 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
y  C_  A )
58 fss 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x : m --> y  /\  y  C_  A )  ->  x : m --> A )
5953, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x : m --> A )
60 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  A  e.  dom  card )
61 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  m  e. 
_V
62 elmapg 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  m  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
x : m --> A ) )
6360, 61, 62sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
( x  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
x : m --> A ) )
6459, 63mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x  e.  ( A  ^m  m ) )
65 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( A  ^m  n )  =  ( A  ^m  m
) )
6665eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  ( A  ^m  n )  <->  x  e.  ( A  ^m  m
) ) )
6766rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  m ) )  ->  E. n  e.  om  x  e.  ( A  ^m  n ) )
6851, 64, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  E. n  e.  om  x  e.  ( A  ^m  n ) )
6968, 13sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )
70 f1ofo 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x : m -1-1-onto-> y  ->  x : m -onto-> y )
7170ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x : m -onto-> y )
72 forn 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x : m -onto-> y  ->  ran  x  =  y )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  ran  x  =  y )
7473eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
y  =  ran  x
)
7569, 74jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) )
7675expr 615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  m  e.  om )  ->  (
x : m -1-1-onto-> y  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) ) )
7776eximdv 1686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  m  e.  om )  ->  ( E. x  x :
m
-1-1-onto-> y  ->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) ) )
7850, 77syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  m  e.  om )  ->  (
y  ~~  m  ->  E. x ( x  e. 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  /\  y  =  ran  x ) ) )
7978rexlimdva 2955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( E. m  e.  om  y  ~~  m  ->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) ) )
8047, 79mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) )
8180ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) ) )
82 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
8337elrnmpt 5247 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)  <->  E. x  e.  U_  n  e.  om  ( A  ^m  n ) y  =  ran  x ) )
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)  <->  E. x  e.  U_  n  e.  om  ( A  ^m  n ) y  =  ran  x )
85 df-rex 2820 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  U_  n  e.  om  ( A  ^m  n ) y  =  ran  x  <->  E. x
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) )
8684, 85bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)  <->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) )
8781, 86syl6ibr 227 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  ran  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) ) )
8887ssrdv 3510 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  C_  ran  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) )
8942, 88eqssd 3521 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  ran  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
90 df-fo 5592 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  Fn  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  ran  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
9140, 89, 90sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x ) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
92 fodomnum 8434 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  e. 
dom  card  ->  ( (
x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) ) )
9312, 91, 92sylc 60 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )
94 domtr 7565 . . 3  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  /\  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  ~<_  A )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  A )
9593, 10, 94syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  A )
96 pwexg 4631 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ~P A  e.  _V )
9796adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  ~P A  e.  _V )
98 inex1g 4590 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
9997, 98syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
100 infpwfidom 8405 . . 3  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  ->  A  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin ) )
10199, 100syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  A  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin ) )
102 sbth 7634 . 2  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  A  /\  A  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~~  A )
10395, 101, 102syl2anc 661 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~~  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585  (class class class)co 6282   omcom 6678    ^m cmap 7417    ~~ cen 7510    ~<_ cdom 7511   Fincfn 7513   cardccrd 8312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-seqom 7110  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319
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