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Theorem infpssrlem4 8689
Description: Lemma for infpssr 8691. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
infpssrlem.c  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> A )
infpssrlem.d  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
infpssrlem.e  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
infpssrlem4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  om 
/\  N  e.  M
)  ->  ( G `  M )  =/=  ( G `  N )
)

Proof of Theorem infpssrlem4
Dummy variables  b 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5856 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  (/)  ->  ( G `
 c )  =  ( G `  (/) ) )
21neeq1d 2720 . . . . . . 7  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( G `  c )  =/=  ( G `  b )  <->  ( G `  (/) )  =/=  ( G `  b )
) )
32raleqbi1dv 3048 . . . . . 6  |-  ( c  =  (/)  ->  ( A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b
)  <->  A. b  e.  (/)  ( G `  (/) )  =/=  ( G `  b
) ) )
43imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  A. b  e.  c  ( G `  c
)  =/=  ( G `
 b ) )  <-> 
( ph  ->  A. b  e.  (/)  ( G `  (/) )  =/=  ( G `
 b ) ) ) )
5 fveq2 5856 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  d  ->  ( G `  c )  =  ( G `  d ) )
65neeq1d 2720 . . . . . . 7  |-  ( c  =  d  ->  (
( G `  c
)  =/=  ( G `
 b )  <->  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
) )
76raleqbi1dv 3048 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  ( A. b  e.  c 
( G `  c
)  =/=  ( G `
 b )  <->  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
) )
87imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
( ph  ->  A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b )
)  <->  ( ph  ->  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b ) ) ) )
9 fveq2 5856 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  suc  d  -> 
( G `  c
)  =  ( G `
 suc  d )
)
109neeq1d 2720 . . . . . . 7  |-  ( c  =  suc  d  -> 
( ( G `  c )  =/=  ( G `  b )  <->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 b ) ) )
1110raleqbi1dv 3048 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  d  -> 
( A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b )  <->  A. b  e.  suc  d
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
) )
1211imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  d  -> 
( ( ph  ->  A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b ) )  <->  ( ph  ->  A. b  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
) ) )
13 fveq2 5856 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  M  ->  ( G `  c )  =  ( G `  M ) )
1413neeq1d 2720 . . . . . . 7  |-  ( c  =  M  ->  (
( G `  c
)  =/=  ( G `
 b )  <->  ( G `  M )  =/=  ( G `  b )
) )
1514raleqbi1dv 3048 . . . . . 6  |-  ( c  =  M  ->  ( A. b  e.  c 
( G `  c
)  =/=  ( G `
 b )  <->  A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b )
) )
1615imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( c  =  M  ->  (
( ph  ->  A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b )
)  <->  ( ph  ->  A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b ) ) ) )
17 ral0 3919 . . . . . 6  |-  A. b  e.  (/)  ( G `  (/) )  =/=  ( G `
 b )
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  (/)  ( G `  (/) )  =/=  ( G `  b
) )
19 infpssrlem.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> A )
20 f1ocnv 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> B )
21 f1of 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : A --> B )
2219, 20, 213syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  `' F : A --> B )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  `' F : A --> B )
24 infpssrlem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
25 infpssrlem.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
26 infpssrlem.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
2724, 19, 25, 26infpssrlem3 8688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G : om --> A )
2827ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  ( G `  d )  e.  A
)
2928ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  d )  e.  A
)
3023, 29ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( `' F `  ( G `  d ) )  e.  B )
3125eldifbd 3474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  B
)
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  -.  C  e.  B )
33 nelne2 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  ( G `  d ) )  e.  B  /\  -.  C  e.  B
)  ->  ( `' F `  ( G `  d ) )  =/= 
C )
3430, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( `' F `  ( G `  d ) )  =/= 
C )
3524, 19, 25, 26infpssrlem2 8687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  om  ->  ( G `  suc  d )  =  ( `' F `  ( G `  d
) ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  d )  =  ( `' F `  ( G `  d ) ) )
3724, 19, 25, 26infpssrlem1 8686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  (/) )  =  C )
3934, 36, 383netr4d 2748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  (/) ) )
40393adant3 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  (/) ) )
411neeq2d 2721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 c )  <->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  (/) ) ) )
4240, 41syl5ibr 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
) )
4342adantrd 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c ) ) )
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  om  /\  c  e.  suc  d )  ->  c  e.  suc  d )
45 peano2 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  om  ->  suc  d  e.  om )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  om  /\  c  e.  suc  d )  ->  suc  d  e.  om )
47 elnn 6695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  suc  d  /\  suc  d  e.  om )  ->  c  e.  om )
4844, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  om  /\  c  e.  suc  d )  ->  c  e.  om )
49483ad2antl1 1159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  c  e.  om )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  -> 
c  e.  om )
51 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  -> 
c  =/=  (/) )
52 nnsuc 6702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  om  /\  c  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  om  c  =  suc  b )
5350, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  ->  E. b  e.  om  c  =  suc  b )
54 nfv 1694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ b  d  e.  om
55 nfv 1694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ b
ph
56 nfra1 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ b A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b )
5754, 55, 56nf3an 1916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ b ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)
58 nfv 1694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ b  c  e.  suc  d
5957, 58nfan 1914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ b ( ( d  e. 
om  /\  ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b
) )  /\  c  e.  suc  d )
60 nfv 1694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ b ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
61 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)
62 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  b  e.  suc  d )  ->  suc  b  e.  suc  d )
63 nnord 6693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( d  e.  om  ->  Ord  d )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  b  e.  suc  d )  ->  Ord  d )
65 ordsucelsuc 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Ord  d  ->  ( b  e.  d  <->  suc  b  e.  suc  d ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  b  e.  suc  d )  ->  (
b  e.  d  <->  suc  b  e. 
suc  d ) )
6762, 66mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  b  e.  suc  d )  ->  b  e.  d )
68673ad2antl1 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  suc  b  e. 
suc  d )  -> 
b  e.  d )
6968adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  b  e.  d )
70 rsp 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b
)  ->  ( b  e.  d  ->  ( G `
 d )  =/=  ( G `  b
) ) )
7161, 69, 70sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)
72 f1of1 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : A -1-1-> B
)
7319, 20, 723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  `' F : A -1-1-> B
)
7473ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  `' F : A -1-1-> B )
7529adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  d )  e.  A )
7627ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  b )  e.  A
)
7776adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  b )  e.  A )
78 f1fveq 6155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( `' F : A -1-1-> B  /\  ( ( G `  d )  e.  A  /\  ( G `  b
)  e.  A ) )  ->  ( ( `' F `  ( G `
 d ) )  =  ( `' F `  ( G `  b
) )  <->  ( G `  d )  =  ( G `  b ) ) )
7974, 75, 77, 78syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( `' F `  ( G `  d ) )  =  ( `' F `  ( G `
 b ) )  <-> 
( G `  d
)  =  ( G `
 b ) ) )
8079necon3bid 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( `' F `  ( G `  d ) )  =/=  ( `' F `  ( G `
 b ) )  <-> 
( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) ) )
8180biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( G `  d
)  =/=  ( G `
 b )  -> 
( `' F `  ( G `  d ) )  =/=  ( `' F `  ( G `
 b ) ) ) )
8235adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( d  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  suc  d )  =  ( `' F `  ( G `
 d ) ) )
8324, 19, 25, 26infpssrlem2 8687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  e.  om  ->  ( G `  suc  b )  =  ( `' F `  ( G `  b
) ) )
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( d  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  suc  b )  =  ( `' F `  ( G `
 b ) ) )
8582, 84neeq12d 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b )  <-> 
( `' F `  ( G `  d ) )  =/=  ( `' F `  ( G `
 b ) ) ) )
8685adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b )  <-> 
( `' F `  ( G `  d ) )  =/=  ( `' F `  ( G `
 b ) ) ) )
8781, 86sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( G `  d
)  =/=  ( G `
 b )  -> 
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) )
8887adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om ) )  ->  (
( G `  d
)  =/=  ( G `
 b )  -> 
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) )
89883adantl3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  ( ( G `  d )  =/=  ( G `  b
)  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) )
9071, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) )
9190expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  suc  b  e. 
suc  d )  -> 
( b  e.  om  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) )
92 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( c  e.  suc  d 
<->  suc  b  e.  suc  d ) )
9392anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( ( d  e.  om  /\  ph  /\ 
A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  c  e.  suc  d )  <->  ( (
d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  suc  b  e. 
suc  d ) ) )
94 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( G `  c
)  =  ( G `
 suc  b )
)
9594neeq2d 2721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )  <->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 suc  b )
) )
9695imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( b  e. 
om  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
)  <->  ( b  e. 
om  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) ) )
9793, 96imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  c  e.  suc  d )  ->  (
b  e.  om  ->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 c ) ) )  <->  ( ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  suc  b  e. 
suc  d )  -> 
( b  e.  om  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) ) ) )
9891, 97mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( ( d  e.  om  /\  ph  /\ 
A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  c  e.  suc  d )  ->  (
b  e.  om  ->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 c ) ) ) )
9998com3l 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  (
b  e.  om  ->  ( c  =  suc  b  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
) ) )
10059, 60, 99rexlimd 2927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  ( E. b  e.  om  c  =  suc  b  -> 
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
) )
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  -> 
( E. b  e. 
om  c  =  suc  b  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
) )
10253, 101mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  -> 
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
)
103102ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =/=  (/)  ->  ( (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c ) ) )
10443, 103pm2.61ine 2756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c ) )
105104ralrimiva 2857 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  ->  A. c  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
)
106 fveq2 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  ( G `  c )  =  ( G `  b ) )
107106neeq2d 2721 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  b  ->  (
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )  <->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 b ) ) )
108107cbvralv 3070 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  suc  d ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 c )  <->  A. b  e.  suc  d ( G `
 suc  d )  =/=  ( G `  b
) )
109105, 108sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  ->  A. b  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
)
1101093exp 1196 . . . . . 6  |-  ( d  e.  om  ->  ( ph  ->  ( A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )  ->  A. b  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
) ) )
111110a2d 26 . . . . 5  |-  ( d  e.  om  ->  (
( ph  ->  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  ->  ( ph  ->  A. b  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
) ) )
1124, 8, 12, 16, 18, 111finds 6711 . . . 4  |-  ( M  e.  om  ->  ( ph  ->  A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b ) ) )
113112impcom 430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  om )  ->  A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b )
)
114 fveq2 5856 . . . . 5  |-  ( b  =  N  ->  ( G `  b )  =  ( G `  N ) )
115114neeq2d 2721 . . . 4  |-  ( b  =  N  ->  (
( G `  M
)  =/=  ( G `
 b )  <->  ( G `  M )  =/=  ( G `  N )
) )
116115rspccv 3193 . . 3  |-  ( A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b
)  ->  ( N  e.  M  ->  ( G `
 M )  =/=  ( G `  N
) ) )
117113, 116syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  om )  ->  ( N  e.  M  ->  ( G `
 M )  =/=  ( G `  N
) ) )
1181173impia 1194 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  om 
/\  N  e.  M
)  ->  ( G `  M )  =/=  ( G `  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770   Ord word 4867   suc csuc 4870   `'ccnv 4988    |` cres 4991   -->wf 5574   -1-1->wf1 5575   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578   omcom 6685   reccrdg 7077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078
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