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Theorem infpssrlem4 8471
Description: Lemma for infpssr 8473. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
infpssrlem.c  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> A )
infpssrlem.d  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
infpssrlem.e  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
infpssrlem4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  om 
/\  N  e.  M
)  ->  ( G `  M )  =/=  ( G `  N )
)

Proof of Theorem infpssrlem4
Dummy variables  b 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  (/)  ->  ( G `
 c )  =  ( G `  (/) ) )
21neeq1d 2619 . . . . . . 7  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( G `  c )  =/=  ( G `  b )  <->  ( G `  (/) )  =/=  ( G `  b )
) )
32raleqbi1dv 2923 . . . . . 6  |-  ( c  =  (/)  ->  ( A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b
)  <->  A. b  e.  (/)  ( G `  (/) )  =/=  ( G `  b
) ) )
43imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  A. b  e.  c  ( G `  c
)  =/=  ( G `
 b ) )  <-> 
( ph  ->  A. b  e.  (/)  ( G `  (/) )  =/=  ( G `
 b ) ) ) )
5 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  d  ->  ( G `  c )  =  ( G `  d ) )
65neeq1d 2619 . . . . . . 7  |-  ( c  =  d  ->  (
( G `  c
)  =/=  ( G `
 b )  <->  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
) )
76raleqbi1dv 2923 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  ( A. b  e.  c 
( G `  c
)  =/=  ( G `
 b )  <->  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
) )
87imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
( ph  ->  A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b )
)  <->  ( ph  ->  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b ) ) ) )
9 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  suc  d  -> 
( G `  c
)  =  ( G `
 suc  d )
)
109neeq1d 2619 . . . . . . 7  |-  ( c  =  suc  d  -> 
( ( G `  c )  =/=  ( G `  b )  <->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 b ) ) )
1110raleqbi1dv 2923 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  d  -> 
( A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b )  <->  A. b  e.  suc  d
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
) )
1211imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  d  -> 
( ( ph  ->  A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b ) )  <->  ( ph  ->  A. b  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
) ) )
13 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  M  ->  ( G `  c )  =  ( G `  M ) )
1413neeq1d 2619 . . . . . . 7  |-  ( c  =  M  ->  (
( G `  c
)  =/=  ( G `
 b )  <->  ( G `  M )  =/=  ( G `  b )
) )
1514raleqbi1dv 2923 . . . . . 6  |-  ( c  =  M  ->  ( A. b  e.  c 
( G `  c
)  =/=  ( G `
 b )  <->  A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b )
) )
1615imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( c  =  M  ->  (
( ph  ->  A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b )
)  <->  ( ph  ->  A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b ) ) ) )
17 ral0 3781 . . . . . 6  |-  A. b  e.  (/)  ( G `  (/) )  =/=  ( G `
 b )
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  (/)  ( G `  (/) )  =/=  ( G `  b
) )
19 infpssrlem.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> A )
20 f1ocnv 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> B )
21 f1of 5638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : A --> B )
2219, 20, 213syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  `' F : A --> B )
2322adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  `' F : A --> B )
24 infpssrlem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
25 infpssrlem.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
26 infpssrlem.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
2724, 19, 25, 26infpssrlem3 8470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G : om --> A )
2827ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  ( G `  d )  e.  A
)
2928ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  d )  e.  A
)
3023, 29ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( `' F `  ( G `  d ) )  e.  B )
3125eldifbd 3338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  B
)
3231adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  -.  C  e.  B )
33 nelne2 2700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  ( G `  d ) )  e.  B  /\  -.  C  e.  B
)  ->  ( `' F `  ( G `  d ) )  =/= 
C )
3430, 32, 33syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( `' F `  ( G `  d ) )  =/= 
C )
3524, 19, 25, 26infpssrlem2 8469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  om  ->  ( G `  suc  d )  =  ( `' F `  ( G `  d
) ) )
3635adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  d )  =  ( `' F `  ( G `  d ) ) )
3724, 19, 25, 26infpssrlem1 8468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )
3837adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  (/) )  =  C )
3934, 36, 383netr4d 2633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  (/) ) )
40393adant3 1003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  (/) ) )
411neeq2d 2620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 c )  <->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  (/) ) ) )
4240, 41syl5ibr 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
) )
4342adantrd 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c ) ) )
44 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  om  /\  c  e.  suc  d )  ->  c  e.  suc  d )
45 peano2 6495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  om  ->  suc  d  e.  om )
4645adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  om  /\  c  e.  suc  d )  ->  suc  d  e.  om )
47 elnn 6485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  suc  d  /\  suc  d  e.  om )  ->  c  e.  om )
4844, 46, 47syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  om  /\  c  e.  suc  d )  ->  c  e.  om )
49483ad2antl1 1145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  c  e.  om )
5049adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  -> 
c  e.  om )
51 simpl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  -> 
c  =/=  (/) )
52 nnsuc 6492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  om  /\  c  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  om  c  =  suc  b )
5350, 51, 52syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  ->  E. b  e.  om  c  =  suc  b )
54 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ b  d  e.  om
55 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ b
ph
56 nfra1 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ b A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b )
5754, 55, 56nf3an 1867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ b ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)
58 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ b  c  e.  suc  d
5957, 58nfan 1865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ b ( ( d  e. 
om  /\  ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b
) )  /\  c  e.  suc  d )
60 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ b ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
61 simpl3 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)
62 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  b  e.  suc  d )  ->  suc  b  e.  suc  d )
63 nnord 6483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( d  e.  om  ->  Ord  d )
6463adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  b  e.  suc  d )  ->  Ord  d )
65 ordsucelsuc 6432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Ord  d  ->  ( b  e.  d  <->  suc  b  e.  suc  d ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  b  e.  suc  d )  ->  (
b  e.  d  <->  suc  b  e. 
suc  d ) )
6762, 66mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  b  e.  suc  d )  ->  b  e.  d )
68673ad2antl1 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  suc  b  e. 
suc  d )  -> 
b  e.  d )
6968adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  b  e.  d )
70 rsp 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b
)  ->  ( b  e.  d  ->  ( G `
 d )  =/=  ( G `  b
) ) )
7161, 69, 70sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)
72 f1of1 5637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : A -1-1-> B
)
7319, 20, 723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  `' F : A -1-1-> B
)
7473ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  `' F : A -1-1-> B )
7529adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  d )  e.  A )
7627ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  b )  e.  A
)
7776adantll 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  b )  e.  A )
78 f1fveq 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( `' F : A -1-1-> B  /\  ( ( G `  d )  e.  A  /\  ( G `  b
)  e.  A ) )  ->  ( ( `' F `  ( G `
 d ) )  =  ( `' F `  ( G `  b
) )  <->  ( G `  d )  =  ( G `  b ) ) )
7974, 75, 77, 78syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( `' F `  ( G `  d ) )  =  ( `' F `  ( G `
 b ) )  <-> 
( G `  d
)  =  ( G `
 b ) ) )
8079necon3bid 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( `' F `  ( G `  d ) )  =/=  ( `' F `  ( G `
 b ) )  <-> 
( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) ) )
8180biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( G `  d
)  =/=  ( G `
 b )  -> 
( `' F `  ( G `  d ) )  =/=  ( `' F `  ( G `
 b ) ) ) )
8235adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( d  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  suc  d )  =  ( `' F `  ( G `
 d ) ) )
8324, 19, 25, 26infpssrlem2 8469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  e.  om  ->  ( G `  suc  b )  =  ( `' F `  ( G `  b
) ) )
8483adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( d  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  suc  b )  =  ( `' F `  ( G `
 b ) ) )
8582, 84neeq12d 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b )  <-> 
( `' F `  ( G `  d ) )  =/=  ( `' F `  ( G `
 b ) ) ) )
8685adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b )  <-> 
( `' F `  ( G `  d ) )  =/=  ( `' F `  ( G `
 b ) ) ) )
8781, 86sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( G `  d
)  =/=  ( G `
 b )  -> 
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) )
8887adantrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om ) )  ->  (
( G `  d
)  =/=  ( G `
 b )  -> 
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) )
89883adantl3 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  ( ( G `  d )  =/=  ( G `  b
)  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) )
9071, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) )
9190expr 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  suc  b  e. 
suc  d )  -> 
( b  e.  om  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) )
92 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( c  e.  suc  d 
<->  suc  b  e.  suc  d ) )
9392anbi2d 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( ( d  e.  om  /\  ph  /\ 
A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  c  e.  suc  d )  <->  ( (
d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  suc  b  e. 
suc  d ) ) )
94 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( G `  c
)  =  ( G `
 suc  b )
)
9594neeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )  <->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 suc  b )
) )
9695imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( b  e. 
om  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
)  <->  ( b  e. 
om  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) ) )
9793, 96imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  c  e.  suc  d )  ->  (
b  e.  om  ->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 c ) ) )  <->  ( ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  suc  b  e. 
suc  d )  -> 
( b  e.  om  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) ) ) )
9891, 97mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( ( d  e.  om  /\  ph  /\ 
A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  c  e.  suc  d )  ->  (
b  e.  om  ->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 c ) ) ) )
9998com3l 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  (
b  e.  om  ->  ( c  =  suc  b  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
) ) )
10059, 60, 99rexlimd 2836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  ( E. b  e.  om  c  =  suc  b  -> 
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
) )
101100adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  -> 
( E. b  e. 
om  c  =  suc  b  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
) )
10253, 101mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  -> 
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
)
103102ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =/=  (/)  ->  ( (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c ) ) )
10443, 103pm2.61ine 2685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c ) )
105104ralrimiva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  ->  A. c  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
)
106 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  ( G `  c )  =  ( G `  b ) )
107106neeq2d 2620 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  b  ->  (
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )  <->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 b ) ) )
108107cbvralv 2945 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  suc  d ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 c )  <->  A. b  e.  suc  d ( G `
 suc  d )  =/=  ( G `  b
) )
109105, 108sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  ->  A. b  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
)
1101093exp 1181 . . . . . 6  |-  ( d  e.  om  ->  ( ph  ->  ( A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )  ->  A. b  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
) ) )
111110a2d 26 . . . . 5  |-  ( d  e.  om  ->  (
( ph  ->  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  ->  ( ph  ->  A. b  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
) ) )
1124, 8, 12, 16, 18, 111finds 6501 . . . 4  |-  ( M  e.  om  ->  ( ph  ->  A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b ) ) )
113112impcom 430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  om )  ->  A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b )
)
114 fveq2 5688 . . . . 5  |-  ( b  =  N  ->  ( G `  b )  =  ( G `  N ) )
115114neeq2d 2620 . . . 4  |-  ( b  =  N  ->  (
( G `  M
)  =/=  ( G `
 b )  <->  ( G `  M )  =/=  ( G `  N )
) )
116115rspccv 3067 . . 3  |-  ( A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b
)  ->  ( N  e.  M  ->  ( G `
 M )  =/=  ( G `  N
) ) )
117113, 116syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  om )  ->  ( N  e.  M  ->  ( G `
 M )  =/=  ( G `  N
) ) )
1181173impia 1179 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  om 
/\  N  e.  M
)  ->  ( G `  M )  =/=  ( G `  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714    \ cdif 3322    C_ wss 3325   (/)c0 3634   Ord word 4714   suc csuc 4717   `'ccnv 4835    |` cres 4838   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415   omcom 6475   reccrdg 6861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862
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