MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssrlem2 Structured version   Unicode version

Theorem infpssrlem2 8577
Description: Lemma for infpssr 8581. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
infpssrlem.c  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> A )
infpssrlem.d  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
infpssrlem.e  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
infpssrlem2  |-  ( M  e.  om  ->  ( G `  suc  M )  =  ( `' F `  ( G `  M
) ) )

Proof of Theorem infpssrlem2
StepHypRef Expression
1 frsuc 6995 . 2  |-  ( M  e.  om  ->  (
( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  suc  M )  =  ( `' F `  ( ( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  M ) ) )
2 infpssrlem.e . . 3  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
32fveq1i 5793 . 2  |-  ( G `
 suc  M )  =  ( ( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  suc  M )
42fveq1i 5793 . . 3  |-  ( G `
 M )  =  ( ( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  M
)
54fveq2i 5795 . 2  |-  ( `' F `  ( G `
 M ) )  =  ( `' F `  ( ( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  M
) )
61, 3, 53eqtr4g 2517 1  |-  ( M  e.  om  ->  ( G `  suc  M )  =  ( `' F `  ( G `  M
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3426    C_ wss 3429   suc csuc 4822   `'ccnv 4940    |` cres 4943   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519   omcom 6579   reccrdg 6968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969
This theorem is referenced by:  infpssrlem3  8578  infpssrlem4  8579
  Copyright terms: Public domain W3C validator