MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssrlem1 Structured version   Unicode version

Theorem infpssrlem1 8570
Description: Lemma for infpssr 8575. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
infpssrlem.c  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> A )
infpssrlem.d  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
infpssrlem.e  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
infpssrlem1  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )

Proof of Theorem infpssrlem1
StepHypRef Expression
1 infpssrlem.e . . 3  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
21fveq1i 5787 . 2  |-  ( G `
 (/) )  =  ( ( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  (/) )
3 infpssrlem.d . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
4 fr0g 6988 . . 3  |-  ( C  e.  ( A  \  B )  ->  (
( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  (/) )  =  C )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  (/) )  =  C )
62, 5syl5eq 2503 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3420    C_ wss 3423   (/)c0 3732   `'ccnv 4934    |` cres 4937   -1-1-onto->wf1o 5512   ` cfv 5513   omcom 6573   reccrdg 6962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-om 6574  df-recs 6929  df-rdg 6963
This theorem is referenced by:  infpssrlem3  8572  infpssrlem4  8573
  Copyright terms: Public domain W3C validator