Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem infpssr 8738
 Description: Dedekind infinity implies existence of a denumerable subset: take a single point witnessing the proper subset relation and iterate the embedding. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpssr

Proof of Theorem infpssr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 3832 . . 3
3 eldif 3414 . . . 4
4 pssss 3528 . . . . . 6
5 bren 7578 . . . . . . . 8
6 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13
7 f1ofo 5821 . . . . . . . . . . . . 13
8 forn 5796 . . . . . . . . . . . . 13
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . . . 12
10 vex 3048 . . . . . . . . . . . . 13
1110rnex 6727 . . . . . . . . . . . 12
129, 11syl6eqelr 2538 . . . . . . . . . . 11
13 simplr 762 . . . . . . . . . . . 12
14 simpll 760 . . . . . . . . . . . 12
15 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12
1613, 6, 14, 15infpssrlem5 8737 . . . . . . . . . . 11
1712, 16mpd 15 . . . . . . . . . 10
1817ex 436 . . . . . . . . 9
1918exlimdv 1779 . . . . . . . 8
205, 19syl5bi 221 . . . . . . 7
2120ex 436 . . . . . 6
224, 21syl5 33 . . . . 5
2322impd 433 . . . 4
243, 23sylbir 217 . . 3
2524exlimiv 1776 . 2
262, 25mpcom 37 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  cvv 3045   cdif 3401   wss 3404   wpss 3405   class class class wbr 4402  ccnv 4833   crn 4835   cres 4836  wfo 5580  wf1o 5581  com 6692  crdg 7127   cen 7566   cdom 7567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-en 7570  df-dom 7571 This theorem is referenced by:  isfin4-2  8744
 Copyright terms: Public domain W3C validator