Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpss Unicode version

Theorem infpss 8053
 Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset, proved without AC or Infinity. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91. See also infpssALT 8149. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpss
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem infpss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infn0 7328 . . 3
2 n0 3597 . . 3
31, 2sylib 189 . 2
4 reldom 7074 . . . . . 6
54brrelex2i 4878 . . . . 5
6 difexg 4311 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
9 simpr 448 . . . . 5
10 difsnpss 3901 . . . . 5
119, 10sylib 189 . . . 4
12 infdifsn 7567 . . . . 5
1312adantr 452 . . . 4
1411, 13jca 519 . . 3
15 psseq1 3394 . . . . 5
16 breq1 4175 . . . . 5
1715, 16anbi12d 692 . . . 4
1817spcegv 2997 . . 3
198, 14, 18sylc 58 . 2
203, 19exlimddv 1645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  cvv 2916   cdif 3277   wpss 3281  c0 3588  csn 3774   class class class wbr 4172  com 4804   cen 7065   cdom 7066 This theorem is referenced by:  isfin4-2  8150 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072
 Copyright terms: Public domain W3C validator