Theorem infpss 8843

Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91.

Hypothesis

Ref	Expression
infpss.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
infpss	|- (om ~<_ A -> E.x(x C. A /\ x ~~ A))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem infpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpss.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	infn0 5626	. . 3 |- (om ~<_ A -> A =/= (/))
3		n0 2884	. . 3 |- (A =/= (/) <-> E.y y e. A)
4	2, 3	sylib 215	. 2 |- (om ~<_ A -> E.y y e. A)
5		difexg 3458	. . . . . . 7 |- (A e. _V -> (A \ {y}) e. _V)
6	1, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (A \ {y}) e. _V
7		psseq1 2697	. . . . . . 7 |- (x = (A \ {y}) -> (x C. A <-> (A \ {y}) C. A))
8		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (x = (A \ {y}) -> (x ~~ A <-> (A \ {y}) ~~ A))
9	7, 8	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (x = (A \ {y}) -> ((x C. A /\ x ~~ A) <-> ((A \ {y}) C. A /\ (A \ {y}) ~~ A)))
10	6, 9	cla4ev 2371	. . . . 5 |- (((A \ {y}) C. A /\ (A \ {y}) ~~ A) -> E.x(x C. A /\ x ~~ A))
11		snidg 3067	. . . . . . . . 9 |- (y e. A -> y e. {y})
12	11	ancli 320	. . . . . . . 8 |- (y e. A -> (y e. A /\ y e. {y}))
13		elin 2786	. . . . . . . 8 |- (y e. (A i^i {y}) <-> (y e. A /\ y e. {y}))
14	12, 13	sylibr 217	. . . . . . 7 |- (y e. A -> y e. (A i^i {y}))
15		n0i 2880	. . . . . . 7 |- (y e. (A i^i {y}) -> -. (A i^i {y}) = (/))
16	14, 15	syl 12	. . . . . 6 |- (y e. A -> -. (A i^i {y}) = (/))
17		disj4 2922	. . . . . . 7 |- ((A i^i {y}) = (/) <-> -. (A \ {y}) C. A)
18	17	con2bii 238	. . . . . 6 |- ((A \ {y}) C. A <-> -. (A i^i {y}) = (/))
19	16, 18	sylibr 217	. . . . 5 |- (y e. A -> (A \ {y}) C. A)
20		ensdomtr 5534	. . . . . . 7 |- (({y} ~~ 1o /\ 1o ~< A) -> {y} ~< A)
21		visset 2295	. . . . . . . 8 |- y e. _V
22	21	ensn1 5483	. . . . . . 7 |- {y} ~~ 1o
23		1onn 5310	. . . . . . . 8 |- 1o e. om
24	1	infsdomnn 5625	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ A /\ 1o e. om) -> 1o ~< A)
25	23, 24	mpan2 760	. . . . . . 7 |- (om ~<_ A -> 1o ~< A)
26	20, 22, 25	sylancr 526	. . . . . 6 |- (om ~<_ A -> {y} ~< A)
27		snex 3492	. . . . . . 7 |- {y} e. _V
28	1, 27	infdif 8837	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ {y} ~< A) -> (A \ {y}) ~~ A)
29	26, 28	mpdan 768	. . . . 5 |- (om ~<_ A -> (A \ {y}) ~~ A)
30	10, 19, 29	syl2an 503	. . . 4 |- ((y e. A /\ om ~<_ A) -> E.x(x C. A /\ x ~~ A))
31	30	ex 402	. . 3 |- (y e. A -> (om ~<_ A -> E.x(x C. A /\ x ~~ A)))
32	31	19.23aiv 1674	. 2 |- (E.y y e. A -> (om ~<_ A -> E.x(x C. A /\ x ~~ A)))
33	4, 32	mpcom 60	1 |- (om ~<_ A -> E.x(x C. A /\ x ~~ A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   i^i cin 2592   C. wpss 2594  (/)c0 2875  {csn 3044   class class class wbr 3338  omcom 3949  1oc1o 5172   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-card 5862  df-cda 6066  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain