Theorem infpnlem2 8776

Description: Lemma for infpn 8777. For any natural number N, there exists a prime number j greater than N.

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	|- K = ((!` N) + 1)

Assertion

Ref	Expression
infpnlem2	|- (N e. NN -> E.j e. NN (N < j /\ A.k e. NN ((j / k) e. NN -> (k = 1 \/ k = j))))

Distinct variable groups:   j,k,N   j,K,k

Proof of Theorem infpnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 7315	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> N e. NN0)
2		faccl 8192	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. NN)
3	1, 2	syl 12	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (!` N) e. NN)
4		peano2nn 7118	. . . . . 6 |- ((!` N) e. NN -> ((!` N) + 1) e. NN)
5	3, 4	syl 12	. . . . 5 |- (N e. NN -> ((!` N) + 1) e. NN)
6		infpnlem.1	. . . . 5 |- K = ((!` N) + 1)
7	5, 6	syl5eqel 1975	. . . 4 |- (N e. NN -> K e. NN)
8		nnge1 7126	. . . . . . 7 |- ((!` N) e. NN -> 1 <_ (!` N))
9	3, 8	syl 12	. . . . . 6 |- (N e. NN -> 1 <_ (!` N))
10		nnleltp1 7138	. . . . . . 7 |- ((1 e. NN /\ (!` N) e. NN) -> (1 <_ (!` N) <-> 1 < ((!` N) + 1)))
11		1nn 7117	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
12	10, 11, 3	sylancr 526	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (1 <_ (!` N) <-> 1 < ((!` N) + 1)))
13	9, 12	mpbid 212	. . . . 5 |- (N e. NN -> 1 < ((!` N) + 1))
14	13, 6	syl6breqr 3377	. . . 4 |- (N e. NN -> 1 < K)
15		nncn 7113	. . . . . . . 8 |- (K e. NN -> K e. CC)
16		nnne0 7132	. . . . . . . 8 |- (K e. NN -> K =/= 0)
17	15, 16	jca 310	. . . . . . 7 |- (K e. NN -> (K e. CC /\ K =/= 0))
18	7, 17	syl 12	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (K e. CC /\ K =/= 0))
19		divid 6942	. . . . . 6 |- ((K e. CC /\ K =/= 0) -> (K / K) = 1)
20	18, 19	syl 12	. . . . 5 |- (N e. NN -> (K / K) = 1)
21	20, 11	syl6eqel 1979	. . . 4 |- (N e. NN -> (K / K) e. NN)
22		breq2 3342	. . . . . 6 |- (j = K -> (1 < j <-> 1 < K))
23		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = K -> (K / j) = (K / K))
24	23	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (j = K -> ((K / j) e. NN <-> (K / K) e. NN))
25	22, 24	anbi12d 690	. . . . 5 |- (j = K -> ((1 < j /\ (K / j) e. NN) <-> (1 < K /\ (K / K) e. NN)))
26	25	rcla4ev 2381	. . . 4 |- ((K e. NN /\ (1 < K /\ (K / K) e. NN)) -> E.j e. NN (1 < j /\ (K / j) e. NN))
27	7, 14, 21, 26	syl12anc 1098	. . 3 |- (N e. NN -> E.j e. NN (1 < j /\ (K / j) e. NN))
28		breq2 3342	. . . . 5 |- (j = k -> (1 < j <-> 1 < k))
29		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (j = k -> (K / j) = (K / k))
30	29	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (j = k -> ((K / j) e. NN <-> (K / k) e. NN))
31	28, 30	anbi12d 690	. . . 4 |- (j = k -> ((1 < j /\ (K / j) e. NN) <-> (1 < k /\ (K / k) e. NN)))
32	31	nnwos 7629	. . 3 |- (E.j e. NN (1 < j /\ (K / j) e. NN) -> E.j e. NN ((1 < j /\ (K / j) e. NN) /\ A.k e. NN ((1 < k /\ (K / k) e. NN) -> j <_ k)))
33	27, 32	syl 12	. 2 |- (N e. NN -> E.j e. NN ((1 < j /\ (K / j) e. NN) /\ A.k e. NN ((1 < k /\ (K / k) e. NN) -> j <_ k)))
34	6	infpnlem1 8775	. . 3 |- ((N e. NN /\ j e. NN) -> (((1 < j /\ (K / j) e. NN) /\ A.k e. NN ((1 < k /\ (K / k) e. NN) -> j <_ k)) -> (N < j /\ A.k e. NN ((j / k) e. NN -> (k = 1 \/ k = j)))))
35	34	reximdva 2203	. 2 |- (N e. NN -> (E.j e. NN ((1 < j /\ (K / j) e. NN) /\ A.k e. NN ((1 < k /\ (K / k) e. NN) -> j <_ k)) -> E.j e. NN (N < j /\ A.k e. NN ((j / k) e. NN -> (k = 1 \/ k = j)))))
36	33, 35	mpd 29	1 |- (N e. NN -> E.j e. NN (N < j /\ A.k e. NN ((j / k) e. NN -> (k = 1 \/ k = j))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  !cfa 8183

This theorem is referenced by:  infpn 8777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-fac 8184

Copyright terms: Public domain