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Theorem infpnlem1 13967
Description: Lemma for infpn 13969. The smallest divisor (greater than 1)  M of  N !  + 
1 is a prime greater than  N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
infpnlem1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  ( N  <  M  /\  A. j  e.  NN  (
( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, N    j, M    j, K

Proof of Theorem infpnlem1
StepHypRef Expression
1 nnre 10325 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
2 nnre 10325 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3 lenlt 9449 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
41, 2, 3syl2anr 475 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
54adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
6 nnnn0 10582 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
7 facndiv 12060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  ( 1  < 
M  /\  M  <_  N ) )  ->  -.  ( ( ( ! `
 N )  +  1 )  /  M
)  e.  ZZ )
8 infpnlem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
98oveq1i 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  /  M )  =  ( ( ( ! `
 N )  +  1 )  /  M
)
10 nnz 10664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( K  /  M )  e.  ZZ )
119, 10syl5eqelr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  +  1 )  /  M )  e.  ZZ )
127, 11nsyl 121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  ( 1  < 
M  /\  M  <_  N ) )  ->  -.  ( K  /  M
)  e.  NN )
136, 12sylanl1 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( 1  < 
M  /\  M  <_  N ) )  ->  -.  ( K  /  M
)  e.  NN )
1413expr 612 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( M  <_  N  ->  -.  ( K  /  M )  e.  NN ) )
155, 14sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( -.  N  <  M  ->  -.  ( K  /  M
)  e.  NN ) )
1615con4d 105 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  N  <  M ) )
1716expimpd 600 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 1  < 
M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  N  <  M
) )
1817adantrd 465 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  N  <  M ) )
19 faccl 12057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
206, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
2120peano2nnd 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  +  1 )  e.  NN )
228, 21syl5eqel 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  K  e.  NN )
2322nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  K  e.  CC )
24 nndivtr 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  K  e.  CC )  /\  ( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN ) )  ->  ( K  /  j )  e.  NN )
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  K  e.  CC )  ->  (
( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN )  ->  ( K  / 
j )  e.  NN ) )
26253com13 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN )  ->  ( K  / 
j )  e.  NN ) )
27263expa 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  j )  e.  NN  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( K  /  j )  e.  NN ) )
2823, 27sylanl1 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  j )  e.  NN  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( K  /  j )  e.  NN ) )
2928adantrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN )  ->  ( K  / 
j )  e.  NN ) )
30 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
31 letri3 9456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( j  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( j  =  M  <-> 
( j  <_  M  /\  M  <_  j ) ) )
3230, 1, 31syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( j  =  M  <-> 
( j  <_  M  /\  M  <_  j ) ) )
3332biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( j  <_  M  /\  M  <_  j
)  ->  j  =  M ) )
3433exp4b 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  ( M  e.  NN  ->  ( j  <_  M  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) ) ) )
3534com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN  ->  (
j  <_  M  ->  ( j  e.  NN  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) ) ) )
3635imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) )
3736adantll 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) )
3837imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
3938com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
)  ->  j  =  M ) ) )
4029, 39sylan2d 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( 1  <  j  /\  ( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN ) )  ->  ( (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
)  ->  j  =  M ) ) )
4140exp4d 606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
1  <  j  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( ( K  /  M
)  e.  NN  ->  ( ( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
4241com24 87 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( K  /  M
)  e.  NN  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( 1  <  j  -> 
( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
4342exp32 602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( j  <_  M  ->  ( j  e.  NN  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( ( M  / 
j )  e.  NN  ->  ( 1  <  j  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) ) ) )
4443com24 87 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( j  e.  NN  ->  ( j  <_  M  ->  ( ( M  / 
j )  e.  NN  ->  ( 1  <  j  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) ) ) )
4544imp31 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
j  <_  M  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( 1  <  j  -> 
( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
4645com14 88 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  <  j  ->  (
j  <_  M  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
47463imp 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  (
( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) )
4847com3l 81 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  (
( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j
)  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
4948ralimdva 2792 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
5049ex 434 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) ) )
5150adantld 464 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 1  < 
M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) ) )
5251imp3a 431 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
53 prime 10718 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( M  / 
j )  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
5453adantl 463 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( M  /  j )  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
5552, 54sylibrd 234 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( M  /  j )  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) ) ) )
5618, 55jcad 530 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  ( N  <  M  /\  A. j  e.  NN  (
( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   !cfa 12047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-seq 11803  df-fac 12048
This theorem is referenced by:  infpnlem2  13968
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