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Theorem infpnlem1 14093
Description: Lemma for infpn 14095. The smallest divisor (greater than 1)  M of  N !  + 
1 is a prime greater than  N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
infpnlem1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  ( N  <  M  /\  A. j  e.  NN  (
( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, N    j, M    j, K

Proof of Theorem infpnlem1
StepHypRef Expression
1 nnre 10444 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
2 nnre 10444 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3 lenlt 9568 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
41, 2, 3syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
6 nnnn0 10701 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
7 facndiv 12185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  ( 1  < 
M  /\  M  <_  N ) )  ->  -.  ( ( ( ! `
 N )  +  1 )  /  M
)  e.  ZZ )
8 infpnlem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
98oveq1i 6213 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  /  M )  =  ( ( ( ! `
 N )  +  1 )  /  M
)
10 nnz 10783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( K  /  M )  e.  ZZ )
119, 10syl5eqelr 2547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  +  1 )  /  M )  e.  ZZ )
127, 11nsyl 121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  ( 1  < 
M  /\  M  <_  N ) )  ->  -.  ( K  /  M
)  e.  NN )
136, 12sylanl1 650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( 1  < 
M  /\  M  <_  N ) )  ->  -.  ( K  /  M
)  e.  NN )
1413expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( M  <_  N  ->  -.  ( K  /  M )  e.  NN ) )
155, 14sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( -.  N  <  M  ->  -.  ( K  /  M
)  e.  NN ) )
1615con4d 105 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  N  <  M ) )
1716expimpd 603 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 1  < 
M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  N  <  M
) )
1817adantrd 468 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  N  <  M ) )
19 faccl 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
206, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
2120peano2nnd 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  +  1 )  e.  NN )
228, 21syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  K  e.  NN )
2322nncnd 10453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  K  e.  CC )
24 nndivtr 10478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  K  e.  CC )  /\  ( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN ) )  ->  ( K  /  j )  e.  NN )
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  K  e.  CC )  ->  (
( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN )  ->  ( K  / 
j )  e.  NN ) )
26253com13 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN )  ->  ( K  / 
j )  e.  NN ) )
27263expa 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  j )  e.  NN  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( K  /  j )  e.  NN ) )
2823, 27sylanl1 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  j )  e.  NN  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( K  /  j )  e.  NN ) )
2928adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN )  ->  ( K  / 
j )  e.  NN ) )
30 nnre 10444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
31 letri3 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( j  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( j  =  M  <-> 
( j  <_  M  /\  M  <_  j ) ) )
3230, 1, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( j  =  M  <-> 
( j  <_  M  /\  M  <_  j ) ) )
3332biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( j  <_  M  /\  M  <_  j
)  ->  j  =  M ) )
3433exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  ( M  e.  NN  ->  ( j  <_  M  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) ) ) )
3534com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN  ->  (
j  <_  M  ->  ( j  e.  NN  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) ) ) )
3635imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) )
3736adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) )
3837imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
3938com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
)  ->  j  =  M ) ) )
4029, 39sylan2d 482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( 1  <  j  /\  ( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN ) )  ->  ( (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
)  ->  j  =  M ) ) )
4140exp4d 609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
1  <  j  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( ( K  /  M
)  e.  NN  ->  ( ( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
4241com24 87 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( K  /  M
)  e.  NN  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( 1  <  j  -> 
( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
4342exp32 605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( j  <_  M  ->  ( j  e.  NN  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( ( M  / 
j )  e.  NN  ->  ( 1  <  j  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) ) ) )
4443com24 87 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( j  e.  NN  ->  ( j  <_  M  ->  ( ( M  / 
j )  e.  NN  ->  ( 1  <  j  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) ) ) )
4544imp31 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
j  <_  M  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( 1  <  j  -> 
( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
4645com14 88 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  <  j  ->  (
j  <_  M  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
47463imp 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  (
( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) )
4847com3l 81 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  (
( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j
)  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
4948ralimdva 2832 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
5049ex 434 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) ) )
5150adantld 467 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 1  < 
M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) ) )
5251impd 431 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
53 prime 10837 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( M  / 
j )  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
5453adantl 466 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( M  /  j )  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
5552, 54sylibrd 234 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( M  /  j )  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) ) ) )
5618, 55jcad 533 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  ( N  <  M  /\  A. j  e.  NN  (
( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   RRcr 9396   1c1 9398    + caddc 9400    < clt 9533    <_ cle 9534    / cdiv 10108   NNcn 10437   NN0cn0 10694   ZZcz 10761   !cfa 12172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-seq 11928  df-fac 12173
This theorem is referenced by:  infpnlem2  14094
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