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Theorem infpnlem1 14304
Description: Lemma for infpn 14306. The smallest divisor (greater than 1)  M of  N !  + 
1 is a prime greater than  N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
infpnlem1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  ( N  <  M  /\  A. j  e.  NN  (
( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, N    j, M    j, K

Proof of Theorem infpnlem1
StepHypRef Expression
1 nnre 10555 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
2 nnre 10555 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3 lenlt 9675 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
41, 2, 3syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
6 nnnn0 10814 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
7 facndiv 12346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  ( 1  < 
M  /\  M  <_  N ) )  ->  -.  ( ( ( ! `
 N )  +  1 )  /  M
)  e.  ZZ )
8 infpnlem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
98oveq1i 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  /  M )  =  ( ( ( ! `
 N )  +  1 )  /  M
)
10 nnz 10898 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( K  /  M )  e.  ZZ )
119, 10syl5eqelr 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  +  1 )  /  M )  e.  ZZ )
127, 11nsyl 121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  ( 1  < 
M  /\  M  <_  N ) )  ->  -.  ( K  /  M
)  e.  NN )
136, 12sylanl1 650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( 1  < 
M  /\  M  <_  N ) )  ->  -.  ( K  /  M
)  e.  NN )
1413expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( M  <_  N  ->  -.  ( K  /  M )  e.  NN ) )
155, 14sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( -.  N  <  M  ->  -.  ( K  /  M
)  e.  NN ) )
1615con4d 105 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  N  <  M ) )
1716expimpd 603 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 1  < 
M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  N  <  M
) )
1817adantrd 468 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  N  <  M ) )
19 faccl 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
206, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
2120peano2nnd 10565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  +  1 )  e.  NN )
228, 21syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  K  e.  NN )
2322nncnd 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  K  e.  CC )
24 nndivtr 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  K  e.  CC )  /\  ( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN ) )  ->  ( K  /  j )  e.  NN )
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  K  e.  CC )  ->  (
( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN )  ->  ( K  / 
j )  e.  NN ) )
26253com13 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN )  ->  ( K  / 
j )  e.  NN ) )
27263expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  j )  e.  NN  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( K  /  j )  e.  NN ) )
2823, 27sylanl1 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  j )  e.  NN  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( K  /  j )  e.  NN ) )
2928adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN )  ->  ( K  / 
j )  e.  NN ) )
30 nnre 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
31 letri3 9682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( j  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( j  =  M  <-> 
( j  <_  M  /\  M  <_  j ) ) )
3230, 1, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( j  =  M  <-> 
( j  <_  M  /\  M  <_  j ) ) )
3332biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( j  <_  M  /\  M  <_  j
)  ->  j  =  M ) )
3433exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  ( M  e.  NN  ->  ( j  <_  M  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) ) ) )
3534com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN  ->  (
j  <_  M  ->  ( j  e.  NN  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) ) ) )
3635imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) )
3736adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) )
3837imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
3938com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
)  ->  j  =  M ) ) )
4029, 39sylan2d 482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( 1  <  j  /\  ( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN ) )  ->  ( (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
)  ->  j  =  M ) ) )
4140exp4d 609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
1  <  j  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( ( K  /  M
)  e.  NN  ->  ( ( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
4241com24 87 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( K  /  M
)  e.  NN  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( 1  <  j  -> 
( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
4342exp32 605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( j  <_  M  ->  ( j  e.  NN  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( ( M  / 
j )  e.  NN  ->  ( 1  <  j  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) ) ) )
4443com24 87 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( j  e.  NN  ->  ( j  <_  M  ->  ( ( M  / 
j )  e.  NN  ->  ( 1  <  j  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) ) ) )
4544imp31 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
j  <_  M  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( 1  <  j  -> 
( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
4645com14 88 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  <  j  ->  (
j  <_  M  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
47463imp 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  (
( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) )
4847com3l 81 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  (
( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j
)  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
4948ralimdva 2875 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
5049ex 434 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) ) )
5150adantld 467 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 1  < 
M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) ) )
5251impd 431 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
53 prime 10953 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( M  / 
j )  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
5453adantl 466 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( M  /  j )  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
5552, 54sylibrd 234 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( M  /  j )  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) ) ) )
5618, 55jcad 533 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  ( N  <  M  /\  A. j  e.  NN  (
( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   1c1 9505    + caddc 9507    < clt 9640    <_ cle 9641    / cdiv 10218   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   !cfa 12333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-seq 12088  df-fac 12334
This theorem is referenced by:  infpnlem2  14305
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