Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpn2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem infpn2 14936
 Description: There exist infinitely many prime numbers: the set of all primes is unbounded by infpn 14935, so by unben 14932 it is infinite. This is Metamath 100 proof #11. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpn2.1
Assertion
Ref Expression
infpn2
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem infpn2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infpn2.1 . . 3
2 ssrab2 3500 . . 3
31, 2eqsstri 3448 . 2
4 infpn 14935 . . . . 5
5 nnge1 10657 . . . . . . . . . . 11
65adantr 472 . . . . . . . . . 10
7 nnre 10638 . . . . . . . . . . 11
8 nnre 10638 . . . . . . . . . . 11
9 1re 9660 . . . . . . . . . . . 12
10 lelttr 9742 . . . . . . . . . . . 12
119, 10mp3an1 1377 . . . . . . . . . . 11
127, 8, 11syl2an 485 . . . . . . . . . 10
136, 12mpand 689 . . . . . . . . 9
1413ancld 562 . . . . . . . 8
1514anim1d 574 . . . . . . 7
16 anass 661 . . . . . . 7
1715, 16syl6ib 234 . . . . . 6
1817reximdva 2858 . . . . 5
194, 18mpd 15 . . . 4
20 breq2 4399 . . . . . . . . 9
21 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12
2221eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11
23 equequ2 1876 . . . . . . . . . . . 12
2423orbi2d 716 . . . . . . . . . . 11
2522, 24imbi12d 327 . . . . . . . . . 10
2625ralbidv 2829 . . . . . . . . 9
2720, 26anbi12d 725 . . . . . . . 8
2827, 1elrab2 3186 . . . . . . 7
2928anbi1i 709 . . . . . 6
30 anass 661 . . . . . 6
31 ancom 457 . . . . . . 7
3231anbi2i 708 . . . . . 6
3329, 30, 323bitri 279 . . . . 5
3433rexbii2 2879 . . . 4
3519, 34sylibr 217 . . 3
3635rgen 2766 . 2
37 unben 14932 . 2
383, 36, 37mp2an 686 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   wss 3390   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   cen 7584  cr 9556  c1 9558   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  cn 10631 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-fac 12498 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator