Theorem infpn2 8778

Description: There exist infinitely many prime numbers: the set of all primes S is unbounded by infpn 8777, so by unben 8774 it is infinite.

Hypothesis

Ref	Expression
infpn2.1	|- S = {n e. NN | (1 < n /\ A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)))}

Assertion

Ref	Expression
infpn2	|- S ~~ NN

Distinct variable group:   m,n

Proof of Theorem infpn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpn2.1	. . 3 |- S = {n e. NN | (1 < n /\ A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)))}
2		ssrab2 2692	. . 3 |- {n e. NN | (1 < n /\ A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)))} C_ NN
3	1, 2	eqsstri 2647	. 2 |- S C_ NN
4		infpn 8777	. . . . 5 |- (j e. NN -> E.k e. NN (j < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))
5		nnge1 7126	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. NN -> 1 <_ j)
6	5	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> 1 <_ j)
7		1re 6598	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
8		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 e. RR /\ j e. RR /\ k e. RR) -> ((1 <_ j /\ j < k) -> 1 < k))
9	7, 8	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. RR /\ k e. RR) -> ((1 <_ j /\ j < k) -> 1 < k))
10		nnre 7112	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. NN -> j e. RR)
11		nnre 7112	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> k e. RR)
12	9, 10, 11	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> ((1 <_ j /\ j < k) -> 1 < k))
13	6, 12	mpand 765	. . . . . . . . 9 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> (j < k -> 1 < k))
14	13	ancld 322	. . . . . . . 8 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> (j < k -> (j < k /\ 1 < k)))
15	14	anim1d 619	. . . . . . 7 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> ((j < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) -> ((j < k /\ 1 < k) /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
16		anass 487	. . . . . . 7 |- (((j < k /\ 1 < k) /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) <-> (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
17	15, 16	syl6ib 229	. . . . . 6 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> ((j < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) -> (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))))
18	17	reximdva 2203	. . . . 5 |- (j e. NN -> (E.k e. NN (j < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) -> E.k e. NN (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))))
19	4, 18	mpd 29	. . . 4 |- (j e. NN -> E.k e. NN (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
20		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (n = k -> (1 < n <-> 1 < k))
21		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . 12 |- (n = k -> (n / m) = (k / m))
22	21	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . 11 |- (n = k -> ((n / m) e. NN <-> (k / m) e. NN))
23		eqeq2 1893	. . . . . . . . . . . 12 |- (n = k -> (m = n <-> m = k))
24	23	orbi2d 676	. . . . . . . . . . 11 |- (n = k -> ((m = 1 \/ m = n) <-> (m = 1 \/ m = k)))
25	22, 24	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (n = k -> (((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)) <-> ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))
26	25	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (n = k -> (A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)) <-> A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))
27	20, 26	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (n = k -> ((1 < n /\ A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n))) <-> (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
28	27, 1	elrab2 2416	. . . . . . 7 |- (k e. S <-> (k e. NN /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
29	28	anbi1i 539	. . . . . 6 |- ((k e. S /\ j < k) <-> ((k e. NN /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))) /\ j < k))
30		anass 487	. . . . . 6 |- (((k e. NN /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))) /\ j < k) <-> (k e. NN /\ ((1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) /\ j < k)))
31		ancom 482	. . . . . . 7 |- (((1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) /\ j < k) <-> (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
32	31	anbi2i 538	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ ((1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) /\ j < k)) <-> (k e. NN /\ (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))))
33	29, 30, 32	3bitri 194	. . . . 5 |- ((k e. S /\ j < k) <-> (k e. NN /\ (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))))
34	33	rexbii2 2132	. . . 4 |- (E.k e. S j < k <-> E.k e. NN (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
35	19, 34	sylibr 217	. . 3 |- (j e. NN -> E.k e. S j < k)
36	35	rgen 2159	. 2 |- A.j e. NN E.k e. S j < k
37		unben 8774	. 2 |- ((S C_ NN /\ A.j e. NN E.k e. S j < k) -> S ~~ NN)
38	3, 36, 37	mp2an 761	1 |- S ~~ NN

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884   ~~ cen 5423  RRcr 6385  1c1 6387   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-fac 8184

Copyright terms: Public domain