MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infn0 Structured version   Unicode version

Theorem infn0 7778
Description: An infinite set is not empty. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
infn0  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  =/=  (/) )

Proof of Theorem infn0
StepHypRef Expression
1 peano1 6697 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 infsdomnn 7777 . . 3  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  (/)  e.  om )  ->  (/)  ~<  A )
31, 2mpan2 671 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  (/)  ~<  A )
4 reldom 7519 . . . 4  |-  Rel  ~<_
54brrelex2i 5040 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
6 0sdomg 7643 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
83, 7mpbid 210 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   omcom 6678    ~<_ cdom 7511    ~< csdm 7512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517
This theorem is referenced by:  infpwfien  8439  cdainf  8568  infxp  8591  infpss  8593  alephmul  8949  csdfil  20130
  Copyright terms: Public domain W3C validator