Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmsup Structured version   Unicode version

Theorem infmsup 10541
 Description: The infimum (expressed as supremum with converse 'less-than') of a set of reals is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that is nonempty and has a lower bound. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
infmsup
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem infmsup
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gtso 9683 . . . . . 6
21a1i 11 . . . . 5
3 infm3 10522 . . . . . 6
4 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
5 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
64, 5brcnv 5195 . . . . . . . . . 10
76notbii 296 . . . . . . . . 9
87ralbii 2888 . . . . . . . 8
95, 4brcnv 5195 . . . . . . . . . 10
10 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
115, 10brcnv 5195 . . . . . . . . . . 11
1211rexbii 2959 . . . . . . . . . 10
139, 12imbi12i 326 . . . . . . . . 9
1413ralbii 2888 . . . . . . . 8
158, 14anbi12i 697 . . . . . . 7
1615rexbii 2959 . . . . . 6
173, 16sylibr 212 . . . . 5
182, 17supcl 7935 . . . 4
1918recnd 9639 . . 3
2019negnegd 9941 . 2
21 eqid 2457 . . . . . . . 8
2221mptpreima 5506 . . . . . . 7
2321negiso 10539 . . . . . . . . 9
2423simpri 462 . . . . . . . 8
2524imaeq1i 5344 . . . . . . 7
2622, 25eqtr3i 2488 . . . . . 6
2726supeq1i 7924 . . . . 5
2823simpli 458 . . . . . . . . 9
29 isocnv 6227 . . . . . . . . 9
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8
31 isoeq1 6216 . . . . . . . . 9
3224, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8
3330, 32mpbi 208 . . . . . . 7
3433a1i 11 . . . . . 6
35 simp1 996 . . . . . 6
3634, 35, 17, 2supiso 7951 . . . . 5
3727, 36syl5eq 2510 . . . 4
38 negeq 9831 . . . . . 6
39 negex 9837 . . . . . 6
4038, 21, 39fvmpt 5956 . . . . 5
4118, 40syl 16 . . . 4
4237, 41eqtr2d 2499 . . 3
4342negeqd 9833 . 2
4420, 43eqtr3d 2500 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  wrex 2808  crab 2811   wss 3471  c0 3793   class class class wbr 4456   cmpt 4515   wor 4808  ccnv 5007  cima 5011  cfv 5594   wiso 5595  csup 7918  cr 9508   clt 9645   cle 9646  cneg 9825 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827 This theorem is referenced by:  infmrcl  10542  supminf  11194  mbfinf  22197
 Copyright terms: Public domain W3C validator