Theorem infmsup 7277

Description: The infimum (expressed as supremum with converse 'less-than') of a set of reals A is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that A is nonempty and has a lower bound.

Assertion

Ref	Expression
infmsup	|- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, < ))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem infmsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infm3 7263	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y)))
2	1	3exp 1066	. . 3 |- (A C_ RR -> (A =/= (/) -> (E.x e. RR A.y e. A x <_ y -> E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y)))))
3		breq2 3342	. . . . . . . . . . 11 |- (x = -uv -> (y < x <-> y < -uv))
4	3	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- (x = -uv -> (-. y < x <-> -. y < -uv))
5	4	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (x = -uv -> (A.y e. A -. y < x <-> A.y e. A -. y < -uv))
6		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (x = -uv -> (x < y <-> -uv < y))
7	6	imbi1d 675	. . . . . . . . . 10 |- (x = -uv -> ((x < y -> E.w e. A w < y) <-> (-uv < y -> E.w e. A w < y)))
8	7	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (x = -uv -> (A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y) <-> A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y)))
9	5, 8	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (x = -uv -> ((A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y)) <-> (A.y e. A -. y < -uv /\ A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y))))
10	9	reuunineg 7275	. . . . . . 7 |- (E!x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y)) -> U.{x e. RR | (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y))} = -uU.{v e. RR | (A.y e. A -. y < -uv /\ A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y))})
11		df-sup 5664	. . . . . . . 8 |- sup(A, RR, `' < ) = U.{x e. RR | (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.w e. A y`' < w))}
12		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
13		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
14	12, 13	brcnv 4144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x`' < y <-> y < x)
15	14	notbii 204	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. x`' < y <-> -. y < x)
16	15	ralbii 2127	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y e. A -. x`' < y <-> A.y e. A -. y < x)
17	13, 12	brcnv 4144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y`' < x <-> x < y)
18		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. _V
19	13, 18	brcnv 4144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y`' < w <-> w < y)
20	19	rexbii 2128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E.w e. A y`' < w <-> E.w e. A w < y)
21	17, 20	imbi12i 205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y`' < x -> E.w e. A y`' < w) <-> (x < y -> E.w e. A w < y))
22	21	ralbii 2127	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y e. RR (y`' < x -> E.w e. A y`' < w) <-> A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y))
23	16, 22	anbi12i 540	. . . . . . . . . . 11 |- ((A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.w e. A y`' < w)) <-> (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y)))
24	23	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> ((A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.w e. A y`' < w)) <-> (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y))))
25	24	rabbiia 2285	. . . . . . . . 9 |- {x e. RR | (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.w e. A y`' < w))} = {x e. RR | (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y))}
26	25	unieqi 3187	. . . . . . . 8 |- U.{x e. RR | (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.w e. A y`' < w))} = U.{x e. RR | (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y))}
27	11, 26	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- sup(A, RR, `' < ) = U.{x e. RR | (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y))}
28	10, 27	syl5eq 1940	. . . . . 6 |- (E!x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y)) -> sup(A, RR, `' < ) = -uU.{v e. RR | (A.y e. A -. y < -uv /\ A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y))})
29		ltneg 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((v e. RR /\ u e. RR) -> (v < u <-> -uu < -uv))
30	29	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((v e. RR /\ u e. RR) -> (-. v < u <-> -. -uu < -uv))
31	30	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. RR /\ u e. RR) -> ((-uu e. A -> -. v < u) <-> (-uu e. A -> -. -uu < -uv)))
32	31	ralbidva 2119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. RR -> (A.u e. RR (-uu e. A -> -. v < u) <-> A.u e. RR (-uu e. A -> -. -uu < -uv)))
33		negeq 6514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (z = u -> -uz = -uu)
34	33	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (z = u -> (-uz e. A <-> -uu e. A))
35	34	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (u e. {z e. RR | -uz e. A} <-> (u e. RR /\ -uu e. A))
36	35	imbi1i 203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((u e. {z e. RR | -uz e. A} -> -. v < u) <-> ((u e. RR /\ -uu e. A) -> -. v < u))
37		impexp 374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((u e. RR /\ -uu e. A) -> -. v < u) <-> (u e. RR -> (-uu e. A -> -. v < u)))
38	36, 37	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((u e. {z e. RR | -uz e. A} -> -. v < u) <-> (u e. RR -> (-uu e. A -> -. v < u)))
39	38	albii 1346	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.u(u e. {z e. RR | -uz e. A} -> -. v < u) <-> A.u(u e. RR -> (-uu e. A -> -. v < u)))
40		df-ral 2109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.u e. {z e. RR | -uz e. A} -. v < u <-> A.u(u e. {z e. RR | -uz e. A} -> -. v < u))
41		df-ral 2109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.u e. RR (-uu e. A -> -. v < u) <-> A.u(u e. RR -> (-uu e. A -> -. v < u)))
42	39, 40, 41	3bitr4ri 201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.u e. RR (-uu e. A -> -. v < u) <-> A.u e. {z e. RR | -uz e. A} -. v < u)
43	32, 42	syl5bbr 593	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v e. RR -> (A.u e. {z e. RR | -uz e. A} -. v < u <-> A.u e. RR (-uu e. A -> -. -uu < -uv)))
44		ltneg 6844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((u e. RR /\ v e. RR) -> (u < v <-> -uv < -uu))
45	44	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. RR /\ u e. RR) -> (u < v <-> -uv < -uu))
46		ltneg 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((u e. RR /\ t e. RR) -> (u < t <-> -ut < -uu))
47	46	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((u e. RR /\ t e. RR) -> ((-ut e. A /\ u < t) <-> (-ut e. A /\ -ut < -uu)))
48	47	rexbidva 2120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (u e. RR -> (E.t e. RR (-ut e. A /\ u < t) <-> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu)))
49		negeq 6514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z = t -> -uz = -ut)
50	49	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (z = t -> (-uz e. A <-> -ut e. A))
51	50	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t e. {z e. RR | -uz e. A} <-> (t e. RR /\ -ut e. A))
52	51	anbi1i 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((t e. {z e. RR | -uz e. A} /\ u < t) <-> ((t e. RR /\ -ut e. A) /\ u < t))
53		anass 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((t e. RR /\ -ut e. A) /\ u < t) <-> (t e. RR /\ (-ut e. A /\ u < t)))
54	52, 53	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((t e. {z e. RR | -uz e. A} /\ u < t) <-> (t e. RR /\ (-ut e. A /\ u < t)))
55	54	rexbii2 2132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.t e. {z e. RR | -uz e. A}u < t <-> E.t e. RR (-ut e. A /\ u < t))
56	48, 55	syl5bb 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u e. RR -> (E.t e. {z e. RR | -uz e. A}u < t <-> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu)))
57	56	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. RR /\ u e. RR) -> (E.t e. {z e. RR | -uz e. A}u < t <-> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu)))
58	45, 57	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((v e. RR /\ u e. RR) -> ((u < v -> E.t e. {z e. RR | -uz e. A}u < t) <-> (-uv < -uu -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu))))
59	58	ralbidva 2119	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v e. RR -> (A.u e. RR (u < v -> E.t e. {z e. RR | -uz e. A}u < t) <-> A.u e. RR (-uv < -uu -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu))))
60	43, 59	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . 12 |- (v e. RR -> ((A.u e. {z e. RR | -uz e. A} -. v < u /\ A.u e. RR (u < v -> E.t e. {z e. RR | -uz e. A}u < t)) <-> (A.u e. RR (-uu e. A -> -. -uu < -uv) /\ A.u e. RR (-uv < -uu -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu)))))
61		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A C_ RR -> (y e. A -> y e. RR))
62	61	pm4.71rd 701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A C_ RR -> (y e. A <-> (y e. RR /\ y e. A)))
63	62	imbi1d 675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A C_ RR -> ((y e. A -> -. y < -uv) <-> ((y e. RR /\ y e. A) -> -. y < -uv)))
64		impexp 374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((y e. RR /\ y e. A) -> -. y < -uv) <-> (y e. RR -> (y e. A -> -. y < -uv)))
65	63, 64	syl6rbb 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A C_ RR -> ((y e. RR -> (y e. A -> -. y < -uv)) <-> (y e. A -> -. y < -uv)))
66	65	albidv 1656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A C_ RR -> (A.y(y e. RR -> (y e. A -> -. y < -uv)) <-> A.y(y e. A -> -. y < -uv)))
67		renegcl 6600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u e. RR -> -uu e. RR)
68		infm3lem 7262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. RR -> E.u e. RR y = -uu)
69		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = -uu -> (y e. A <-> -uu e. A))
70		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = -uu -> (y < -uv <-> -uu < -uv))
71	70	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = -uu -> (-. y < -uv <-> -. -uu < -uv))
72	69, 71	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = -uu -> ((y e. A -> -. y < -uv) <-> (-uu e. A -> -. -uu < -uv)))
73	67, 68, 72	ralxfr 3839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.y e. RR (y e. A -> -. y < -uv) <-> A.u e. RR (-uu e. A -> -. -uu < -uv))
74		df-ral 2109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.y e. RR (y e. A -> -. y < -uv) <-> A.y(y e. RR -> (y e. A -> -. y < -uv)))
75	73, 74	bitr3i 192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.u e. RR (-uu e. A -> -. -uu < -uv) <-> A.y(y e. RR -> (y e. A -> -. y < -uv)))
76		df-ral 2109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y e. A -. y < -uv <-> A.y(y e. A -> -. y < -uv))
77	66, 75, 76	3bitr4g 614	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A C_ RR -> (A.u e. RR (-uu e. A -> -. -uu < -uv) <-> A.y e. A -. y < -uv))
78		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A C_ RR -> (w e. A -> w e. RR))
79	78	adantrd 427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A C_ RR -> ((w e. A /\ w < -uu) -> w e. RR))
80	79	pm4.71rd 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A C_ RR -> ((w e. A /\ w < -uu) <-> (w e. RR /\ (w e. A /\ w < -uu))))
81	80	exbidv 1657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A C_ RR -> (E.w(w e. A /\ w < -uu) <-> E.w(w e. RR /\ (w e. A /\ w < -uu))))
82		df-rex 2110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.w e. A w < -uu <-> E.w(w e. A /\ w < -uu))
83		renegcl 6600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t e. RR -> -ut e. RR)
84		infm3lem 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (w e. RR -> E.t e. RR w = -ut)
85		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w = -ut -> (w e. A <-> -ut e. A))
86		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w = -ut -> (w < -uu <-> -ut < -uu))
87	85, 86	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (w = -ut -> ((w e. A /\ w < -uu) <-> (-ut e. A /\ -ut < -uu)))
88	83, 84, 87	rexxfr 3841	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (E.w e. RR (w e. A /\ w < -uu) <-> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu))
89		df-rex 2110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (E.w e. RR (w e. A /\ w < -uu) <-> E.w(w e. RR /\ (w e. A /\ w < -uu)))
90	88, 89	bitr3i 192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu) <-> E.w(w e. RR /\ (w e. A /\ w < -uu)))
91	81, 82, 90	3bitr4g 614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A C_ RR -> (E.w e. A w < -uu <-> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu)))
92	91	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A C_ RR -> ((-uv < -uu -> E.w e. A w < -uu) <-> (-uv < -uu -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu))))
93	92	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A C_ RR -> (A.u e. RR (-uv < -uu -> E.w e. A w < -uu) <-> A.u e. RR (-uv < -uu -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu))))
94		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = -uu -> (-uv < y <-> -uv < -uu))
95		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = -uu -> (w < y <-> w < -uu))
96	95	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = -uu -> (E.w e. A w < y <-> E.w e. A w < -uu))
97	94, 96	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = -uu -> ((-uv < y -> E.w e. A w < y) <-> (-uv < -uu -> E.w e. A w < -uu)))
98	67, 68, 97	ralxfr 3839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y) <-> A.u e. RR (-uv < -uu -> E.w e. A w < -uu))
99	93, 98	syl5rbb 592	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A C_ RR -> (A.u e. RR (-uv < -uu -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu)) <-> A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y)))
100	77, 99	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ RR -> ((A.u e. RR (-uu e. A -> -. -uu < -uv) /\ A.u e. RR (-uv < -uu -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uu))) <-> (A.y e. A -. y < -uv /\ A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y))))
101	60, 100	sylan9bbr 600	. . . . . . . . . . 11 |- ((A C_ RR /\ v e. RR) -> ((A.u e. {z e. RR | -uz e. A} -. v < u /\ A.u e. RR (u < v -> E.t e. {z e. RR | -uz e. A}u < t)) <-> (A.y e. A -. y < -uv /\ A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y))))
102	101	rabbidva 2286	. . . . . . . . . 10 |- (A C_ RR -> {v e. RR | (A.u e. {z e. RR | -uz e. A} -. v < u /\ A.u e. RR (u < v -> E.t e. {z e. RR | -uz e. A}u < t))} = {v e. RR | (A.y e. A -. y < -uv /\ A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y))})
103	102	unieqd 3188	. . . . . . . . 9 |- (A C_ RR -> U.{v e. RR | (A.u e. {z e. RR | -uz e. A} -. v < u /\ A.u e. RR (u < v -> E.t e. {z e. RR | -uz e. A}u < t))} = U.{v e. RR | (A.y e. A -. y < -uv /\ A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y))})
104		df-sup 5664	. . . . . . . . 9 |- sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, < ) = U.{v e. RR | (A.u e. {z e. RR | -uz e. A} -. v < u /\ A.u e. RR (u < v -> E.t e. {z e. RR | -uz e. A}u < t))}
105	103, 104	syl5eq 1940	. . . . . . . 8 |- (A C_ RR -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, < ) = U.{v e. RR | (A.y e. A -. y < -uv /\ A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y))})
106	105	negeqd 6516	. . . . . . 7 |- (A C_ RR -> -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, < ) = -uU.{v e. RR | (A.y e. A -. y < -uv /\ A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y))})
107	106	eqcomd 1889	. . . . . 6 |- (A C_ RR -> -uU.{v e. RR | (A.y e. A -. y < -uv /\ A.y e. RR (-uv < y -> E.w e. A w < y))} = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, < ))
108	28, 107	sylan9eqr 1951	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ E!x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y))) -> sup(A, RR, `' < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, < ))
109	108	ex 402	. . . 4 |- (A C_ RR -> (E!x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y)) -> sup(A, RR, `' < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, < )))
110		ltso 6681	. . . . . . 7 |- < Or RR
111		cnvso 4428	. . . . . . 7 |- ( < Or RR <-> `' < Or RR)
112	110, 111	mpbi 206	. . . . . 6 |- `' < Or RR
113	112	supeu 5668	. . . . 5 |- (E.x e. RR (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.w e. A y`' < w)) -> E!x e. RR (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.w e. A y`' < w)))
114	23	rexbii 2128	. . . . 5 |- (E.x e. RR (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.w e. A y`' < w)) <-> E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y)))
115	23	reubii 2262	. . . . 5 |- (E!x e. RR (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.w e. A y`' < w)) <-> E!x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y)))
116	113, 114, 115	3imtr3i 235	. . . 4 |- (E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y)) -> E!x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y)))
117	109, 116	syl5 20	. . 3 |- (A C_ RR -> (E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.w e. A w < y)) -> sup(A, RR, `' < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, < )))
118	2, 117	syl6d 67	. 2 |- (A C_ RR -> (A =/= (/) -> (E.x e. RR A.y e. A x <_ y -> sup(A, RR, `' < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, < ))))
119	118	3imp 1061	1 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, < ))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   Or wor 3590  `'ccnv 3985  supcsup 5663  RRcr 6385  -ucneg 6446   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem is referenced by:  infmrcl 7278  pilem3 10022  supminf 13656

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain