MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmssuzleOLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem infmssuzleOLD 11246
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. Note that the " `'  < " argument turns supremum into infimum (for which we do not currently have a separate notation). (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) Obsolete version of infssuzle 11244 as of 5-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
infmssuzleOLD  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)

Proof of Theorem infmssuzleOLD
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3737 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
2 uzwo 11222 . . 3  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  S  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
31, 2sylan2 477 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
4 uzssz 11178 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5 zssre 10944 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
64, 5sstri 3441 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
7 sstr 3440 . . . 4  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ZZ>=
`  M )  C_  RR )  ->  S  C_  RR )
86, 7mpan2 677 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  S  C_  RR )
9 lbinfmleOLD 10564 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k  /\  A  e.  S )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
1093com23 1214 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  A  e.  S  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
118, 10syl3an1 1301 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
123, 11mpd3an3 1365 1  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   ` cfv 5582   supcsup 7954   RRcr 9538    < clt 9675    <_ cle 9676   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160
This theorem is referenced by:  divalglem5OLD  14376  bitsfzolemOLD  14408  bezoutlem3OLD  14505  lcmsledvdsOLD  14585  odzdvdsOLD  14746  4sqlem13OLD  14901  4sqlem17OLD  14905  ramcl2lemOLD  14963  ramtubOLD  14969  odlem2OLD  17204  gexlem2OLD  17236  zringlpirlem3OLD  19055  ovolicc2lem4OLD  22473  ig1peuOLD  23123  ig1pdvdsOLD  23134  ftalem5OLD  24003  dgraaubOLD  36014  elaa2lemOLD  38098
  Copyright terms: Public domain W3C validator