MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmssuzleOLD Structured version   Unicode version

Theorem infmssuzleOLD 11247
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. Note that the " `'  < " argument turns supremum into infimum (for which we do not currently have a separate notation). (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) Obsolete version of infssuzle 11245 as of 5-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
infmssuzleOLD  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)

Proof of Theorem infmssuzleOLD
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3767 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
2 uzwo 11223 . . 3  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  S  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
31, 2sylan2 476 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
4 uzssz 11179 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5 zssre 10945 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
64, 5sstri 3473 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
7 sstr 3472 . . . 4  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ZZ>=
`  M )  C_  RR )  ->  S  C_  RR )
86, 7mpan2 675 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  S  C_  RR )
9 lbinfmleOLD 10565 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k  /\  A  e.  S )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
1093com23 1211 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  A  e.  S  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
118, 10syl3an1 1297 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
123, 11mpd3an3 1361 1  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4420   `'ccnv 4849   ` cfv 5598   supcsup 7957   RRcr 9539    < clt 9676    <_ cle 9677   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7959  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161
This theorem is referenced by:  divalglem5OLD  14364  bitsfzolemOLD  14396  bezoutlem3OLD  14493  lcmsledvdsOLD  14573  odzdvdsOLD  14734  4sqlem13OLD  14889  4sqlem17OLD  14893  ramcl2lemOLD  14951  ramtubOLD  14957  odlem2OLD  17192  gexlem2OLD  17224  zringlpirlem3OLD  19042  ovolicc2lem4OLD  22460  ig1peuOLD  23110  ig1pdvdsOLD  23121  ftalem5OLD  23990  dgraaubOLD  35934  elaa2lemOLD  37918
  Copyright terms: Public domain W3C validator