MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmssuzle Structured version   Unicode version

Theorem infmssuzle 10929
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. Note that the " `'  < " argument turns supremum into infimum (for which we do not currently have a separate notation). (Contributed by NM, 11-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
infmssuzle  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)

Proof of Theorem infmssuzle
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3638 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
2 uzwo 10909 . . 3  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  S  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
31, 2sylan2 474 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
4 uzssz 10872 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5 zssre 10645 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
64, 5sstri 3360 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
7 sstr 3359 . . . 4  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ZZ>=
`  M )  C_  RR )  ->  S  C_  RR )
86, 7mpan2 671 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  S  C_  RR )
9 lbinfmle 10277 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k  /\  A  e.  S )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
1093com23 1193 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  A  e.  S  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
118, 10syl3an1 1251 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S  /\  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
123, 11mpd3an3 1315 1  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A  e.  S )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   (/)c0 3632   class class class wbr 4287   `'ccnv 4834   ` cfv 5413   supcsup 7682   RRcr 9273    < clt 9410    <_ cle 9411   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854
This theorem is referenced by:  zsupss  10936  uzwo3  10940  divalglem5  13593  bitsfzolem  13622  bezoutlem3  13716  odzdvds  13859  4sqlem13  14010  4sqlem17  14014  ramcl2lem  14062  ramtub  14065  odlem2  16033  gexlem2  16072  zringlpirlem3  17880  zlpirlem3  17885  ovolicc2lem4  20978  iundisj  21004  ig1peu  21618  ig1pdvds  21623  ftalem5  22389  iundisjf  25882  iundisjfi  26031  dgraaub  29458
  Copyright terms: Public domain W3C validator