Theorem infmssuzcl 11044

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
infmssuzcl	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> sup ( S , RR , `' < ) e. S )

Proof of Theorem infmssuzcl

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssz 10986	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
2		zssre 10759	. . . . 5 |- ZZ C_ RR
3	1, 2	sstri 3468	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
4		sstr 3467	. . . 4 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ ( ZZ>= ` M ) C_ RR ) -> S C_ RR )
5	3, 4	mpan2 671	. . 3 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> S C_ RR )
6	5	adantr 465	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> S C_ RR )
7		uzwo 11023	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
8		lbinfmcl 10390	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. j e. S A. k e. S j <_ k ) -> sup ( S , RR , `' < ) e. S )
9	6, 7, 8	syl2anc 661	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> sup ( S , RR , `' < ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1758   =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   C_ wss 3431   (/)c0 3740   class class class wbr 4395   `'ccnv 4942   ` cfv 5521   supcsup 7796   RRcr 9387   < clt 9524   <_ cle 9525   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968

This theorem is referenced by:  zsupss  11050  uzwo3  11054  divalglem2  13712  bitsfzolem  13743  bezoutlem2  13836  odzcllem  13977  4sqlem13  14131  4sqlem14  14132  4sqlem17  14135  4sqlem18  14136  vdwnnlem3  14171  ramcl2lem  14183  ramtcl  14184  odlem1  16154  odlem2  16158  gexlem1  16194  gexlem2  16197  zringlpirlem2  18024  zringlpirlem3  18025  zlpirlem2  18029  zlpirlem3  18030  ovolicc2lem4  21130  iundisj  21157  ig1peu  21771  ig1pdvds  21776  elqaalem1  21913  elqaalem3  21915  ftalem4  22541  ftalem5  22542  iundisjf  26077  iundisjfi  26220  dgraalem  29645