Theorem infmssuzcl 11166

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
infmssuzcl	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> sup ( S , RR , `' < ) e. S )

Proof of Theorem infmssuzcl

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssz 11101	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
2		zssre 10867	. . . . 5 |- ZZ C_ RR
3	1, 2	sstri 3498	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
4		sstr 3497	. . . 4 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ ( ZZ>= ` M ) C_ RR ) -> S C_ RR )
5	3, 4	mpan2 669	. . 3 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> S C_ RR )
6	5	adantr 463	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> S C_ RR )
7		uzwo 11145	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
8		lbinfmcl 10492	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. j e. S A. k e. S j <_ k ) -> sup ( S , RR , `' < ) e. S )
9	6, 7, 8	syl2anc 659	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> sup ( S , RR , `' < ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   ` cfv 5570   supcsup 7892   RRcr 9480   < clt 9617   <_ cle 9618   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083

This theorem is referenced by:  zsupss  11172  uzwo3  11178  divalglem2  14137  bitsfzolem  14168  bezoutlem2  14261  odzcllem  14403  4sqlem13  14559  4sqlem14  14560  4sqlem17  14563  4sqlem18  14564  vdwnnlem3  14599  ramcl2lem  14611  ramtcl  14612  odlem1  16758  odlem2  16762  gexlem1  16798  gexlem2  16801  zringlpirlem2  18698  zringlpirlem3  18699  ovolicc2lem4  22097  iundisj  22124  ig1peu  22738  ig1pdvds  22743  elqaalem1  22881  elqaalem3  22883  ftalem4  23547  ftalem5  23548  iundisjf  27659  iundisjfi  27835  dgraalem  31335  lcmcllem  31443  ioodvbdlimc1lem1  31967  fourierdlem31  32159  elaa2lem  32255  etransclem48  32304