Theorem infmssuzcl 10925

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
infmssuzcl	|- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> sup ( S , RR , `' < ) e. S )

Proof of Theorem infmssuzcl

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssz 10867	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
2		zssre 10640	. . . . 5 |- ZZ C_ RR
3	1, 2	sstri 3353	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
4		sstr 3352	. . . 4 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ ( ZZ>= ` M ) C_ RR ) -> S C_ RR )
5	3, 4	mpan2 664	. . 3 |- ( S C_ ( ZZ>= ` M ) -> S C_ RR )
6	5	adantr 462	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> S C_ RR )
7		uzwo 10904	. 2 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S A. k e. S j <_ k )
8		lbinfmcl 10271	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. j e. S A. k e. S j <_ k ) -> sup ( S , RR , `' < ) e. S )
9	6, 7, 8	syl2anc 654	1 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` M ) /\ S =/= (/) ) -> sup ( S , RR , `' < ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1755   =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   C_ wss 3316   (/)c0 3625   class class class wbr 4280   `'ccnv 4826   ` cfv 5406   supcsup 7678   RRcr 9268   < clt 9405   <_ cle 9406   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849

This theorem is referenced by:  zsupss  10931  uzwo3  10935  divalglem2  13581  bitsfzolem  13612  bezoutlem2  13705  odzcllem  13846  4sqlem13  14000  4sqlem14  14001  4sqlem17  14004  4sqlem18  14005  vdwnnlem3  14040  ramcl2lem  14052  ramtcl  14053  odlem1  16017  odlem2  16021  gexlem1  16057  gexlem2  16060  zringlpirlem2  17745  zringlpirlem3  17746  zlpirlem2  17750  zlpirlem3  17751  ovolicc2lem4  20844  iundisj  20870  ig1peu  21527  ig1pdvds  21532  elqaalem1  21669  elqaalem3  21671  ftalem4  22297  ftalem5  22298  iundisjf  25754  iundisjfi  25902  dgraalem  29344