MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrp1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem infmrp1 11662
Description: The infimum of the positive reals is 0. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infmrp1  |- inf ( RR+ ,  RR ,  <  )  =  0

Proof of Theorem infmrp1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpltrp 11659 . 2  |-  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  y  <  x
2 ltso 9739 . . . 4  |-  <  Or  RR
32a1i 11 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  y  <  x  ->  <  Or  RR )
4 0red 9669 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  y  <  x  ->  0  e.  RR )
5 0red 9669 . . . . 5  |-  ( z  e.  RR+  ->  0  e.  RR )
6 rpre 11336 . . . . 5  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e.  RR )
7 rpge0 11342 . . . . 5  |-  ( z  e.  RR+  ->  0  <_ 
z )
85, 6, 7lensymd 9811 . . . 4  |-  ( z  e.  RR+  ->  -.  z  <  0 )
98adantl 472 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  y  <  x  /\  z  e.  RR+ )  ->  -.  z  <  0 )
10 elrp 11332 . . . . 5  |-  ( z  e.  RR+  <->  ( z  e.  RR  /\  0  < 
z ) )
11 breq2 4419 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
y  <  x  <->  y  <  z ) )
1211rexbidv 2912 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  RR+  y  <  x  <->  E. y  e.  RR+  y  <  z ) )
1312rspcv 3157 . . . . 5  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  y  <  x  ->  E. y  e.  RR+  y  <  z ) )
1410, 13sylbir 218 . . . 4  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <  z )  -> 
( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  y  <  x  ->  E. y  e.  RR+  y  <  z
) )
1514impcom 436 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  y  <  x  /\  ( z  e.  RR  /\  0  <  z ) )  ->  E. y  e.  RR+  y  <  z )
163, 4, 9, 15eqinfd 8026 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  y  <  x  -> inf ( RR+ ,  RR ,  <  )  =  0 )
171, 16ax-mp 5 1  |- inf ( RR+ ,  RR ,  <  )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749   class class class wbr 4415    Or wor 4772  infcinf 7980   RRcr 9563   0cc0 9564    < clt 9700   RR+crp 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-sup 7981  df-inf 7982  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-2 10695  df-rp 11331
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator