MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrlb Structured version   Unicode version

Theorem infmrlb 10520
Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
infmrlb  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Distinct variable group:    x, y, B
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem infmrlb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  B )
2 gtso 9662 . . . . 5  |-  `'  <  Or  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  `'  <  Or  RR )
4 simp1 996 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  B  C_  RR )
5 ne0i 3791 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
653ad2ant3 1019 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  B  =/=  (/) )
7 simp2 997 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)
8 infm3 10498 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
94, 6, 7, 8syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
10 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
11 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
1210, 11brcnv 5183 . . . . . . . . 9  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
1312notbii 296 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
1413ralbii 2895 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  B  -.  y  <  x )
1511, 10brcnv 5183 . . . . . . . . 9  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
16 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
1711, 16brcnv 5183 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
1817rexbii 2965 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  y `'  <  z  <->  E. z  e.  B  z  <  y )
1915, 18imbi12i 326 . . . . . . . 8  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) )
2019ralbii 2895 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) )
2114, 20anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
2221rexbii 2965 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
239, 22sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) ) )
243, 23supub 7915 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( A  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A ) )
251, 24mpd 15 . 2  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A )
26 infmrcl 10518 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
274, 6, 7, 26syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
28 ssel2 3499 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  RR )
29283adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  RR )
3027, 29lenltd 9726 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A  <->  -.  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
31 brcnvg 5181 . . . . 5  |-  ( ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  A  e.  B )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <->  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3227, 1, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <-> 
A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3332notbid 294 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <->  -.  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3430, 33bitr4d 256 . 2  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A  <->  -. 
sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A ) )
3525, 34mpbird 232 1  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    Or wor 4799   `'ccnv 4998   supcsup 7896   RRcr 9487    < clt 9624    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804
This theorem is referenced by:  minveclem2  21573  minveclem4  21579  aalioulem2  22460  pilem2  22578  pilem3  22579  pntlem3  23519  minvecolem2  25464  minvecolem4  25469  heicant  29624  pellfundlb  30422  climinf  31148  fourierdlem42  31449  taupilem2  36768
  Copyright terms: Public domain W3C validator