MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrlb Structured version   Unicode version

Theorem infmrlb 10563
Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
infmrlb  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Distinct variable group:    x, y, B
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem infmrlb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  B )
2 gtso 9696 . . . . 5  |-  `'  <  Or  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  `'  <  Or  RR )
4 simp1 997 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  B  C_  RR )
5 ne0i 3743 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
653ad2ant3 1020 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  B  =/=  (/) )
7 simp2 998 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)
8 infm3 10541 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
94, 6, 7, 8syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
10 vex 3061 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
11 vex 3061 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
1210, 11brcnv 5005 . . . . . . . . 9  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
1312notbii 294 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
1413ralbii 2834 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  B  -.  y  <  x )
1511, 10brcnv 5005 . . . . . . . . 9  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
16 vex 3061 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
1711, 16brcnv 5005 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
1817rexbii 2905 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  y `'  <  z  <->  E. z  e.  B  z  <  y )
1915, 18imbi12i 324 . . . . . . . 8  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) )
2019ralbii 2834 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) )
2114, 20anbi12i 695 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
2221rexbii 2905 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
239, 22sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) ) )
243, 23supub 7951 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( A  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A ) )
251, 24mpd 15 . 2  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A )
26 infmrcl 10561 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
274, 6, 7, 26syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
28 ssel2 3436 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  RR )
29283adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  RR )
3027, 29lenltd 9762 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A  <->  -.  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
31 brcnvg 5003 . . . . 5  |-  ( ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  A  e.  B )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <->  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3227, 1, 31syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <-> 
A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3332notbid 292 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <->  -.  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3430, 33bitr4d 256 . 2  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A  <->  -. 
sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A ) )
3525, 34mpbird 232 1  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754    C_ wss 3413   (/)c0 3737   class class class wbr 4394    Or wor 4742   `'ccnv 4821   supcsup 7933   RRcr 9520    < clt 9657    <_ cle 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843
This theorem is referenced by:  minveclem2  22131  minveclem4  22137  aalioulem2  23019  pilem2  23137  pilem3  23138  pntlem3  24173  minvecolem2  26191  minvecolem4  26196  taupilem2  31235  heicant  31401  pellfundlb  35161  climinf  36961  fourierdlem42  37280
  Copyright terms: Public domain W3C validator