Theorem infmrlb 15765

Description: A member of a non-empty bounded set of reals is greater than or equal to the set's lower bound.

Assertion

Ref	Expression
infmrlb	|- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ B e. A) -> sup(A, RR, `' < ) <_ B)

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem infmrlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infm3 7263	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)))
2		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
3		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
4	2, 3	brcnv 4144	. . . . . . . . 9 |- (x`' < y <-> y < x)
5	4	notbii 204	. . . . . . . 8 |- (-. x`' < y <-> -. y < x)
6	5	ralbii 2127	. . . . . . 7 |- (A.y e. A -. x`' < y <-> A.y e. A -. y < x)
7	3, 2	brcnv 4144	. . . . . . . . 9 |- (y`' < x <-> x < y)
8		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
9	3, 8	brcnv 4144	. . . . . . . . . 10 |- (y`' < z <-> z < y)
10	9	rexbii 2128	. . . . . . . . 9 |- (E.z e. A y`' < z <-> E.z e. A z < y)
11	7, 10	imbi12i 205	. . . . . . . 8 |- ((y`' < x -> E.z e. A y`' < z) <-> (x < y -> E.z e. A z < y))
12	11	ralbii 2127	. . . . . . 7 |- (A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z) <-> A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))
13	6, 12	anbi12i 540	. . . . . 6 |- ((A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z)) <-> (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)))
14	13	rexbii 2128	. . . . 5 |- (E.x e. RR (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z)) <-> E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)))
15		ltso 6681	. . . . . . 7 |- < Or RR
16		cnvso 4428	. . . . . . 7 |- ( < Or RR <-> `' < Or RR)
17	15, 16	mpbi 206	. . . . . 6 |- `' < Or RR
18	17	supub 5670	. . . . 5 |- (E.x e. RR (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z)) -> (B e. A -> -. sup(A, RR, `' < )`' < B))
19	14, 18	sylbir 218	. . . 4 |- (E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)) -> (B e. A -> -. sup(A, RR, `' < )`' < B))
20	1, 19	syl 12	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> (B e. A -> -. sup(A, RR, `' < )`' < B))
21	20	imp 377	. 2 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ B e. A) -> -. sup(A, RR, `' < )`' < B)
22		ssel2 2616	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ B e. A) -> B e. RR)
23	22	3ad2antl1 1038	. . . 4 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ B e. A) -> B e. RR)
24		lenlt 6679	. . . . 5 |- ((sup(A, RR, `' < ) e. RR /\ B e. RR) -> (sup(A, RR, `' < ) <_ B <-> -. B < sup(A, RR, `' < )))
25		infmrcl 7278	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. RR)
26	24, 25	sylan 497	. . . 4 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ B e. RR) -> (sup(A, RR, `' < ) <_ B <-> -. B < sup(A, RR, `' < )))
27	23, 26	syldan 516	. . 3 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ B e. A) -> (sup(A, RR, `' < ) <_ B <-> -. B < sup(A, RR, `' < )))
28		brcnvg 4142	. . . . 5 |- ((sup(A, RR, `' < ) e. _V /\ B e. A) -> (sup(A, RR, `' < )`' < B <-> B < sup(A, RR, `' < )))
29	28	notbid 673	. . . 4 |- ((sup(A, RR, `' < ) e. _V /\ B e. A) -> (-. sup(A, RR, `' < )`' < B <-> -. B < sup(A, RR, `' < )))
30	17	supex 5667	. . . . 5 |- sup(A, RR, `' < ) e. _V
31	30	a1i 8	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. _V)
32	29, 31	sylan 497	. . 3 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ B e. A) -> (-. sup(A, RR, `' < )`' < B <-> -. B < sup(A, RR, `' < )))
33	27, 32	bitr4d 590	. 2 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ B e. A) -> (sup(A, RR, `' < ) <_ B <-> -. sup(A, RR, `' < )`' < B))
34	21, 33	mpbird 213	1 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ B e. A) -> sup(A, RR, `' < ) <_ B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338   Or wor 3590  `'ccnv 3985  supcsup 5663  RRcr 6385   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain