Theorem infmrgelb 15766

Description: The infimum of a non-empty bounded set of reals is greater than or equal to a lower bound.

Assertion

Ref	Expression
infmrgelb	|- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ (B e. RR /\ A.z e. A B <_ z)) -> B <_ sup(A, RR, `' < ))

Distinct variable groups:   x,A,y,z   z,B

Proof of Theorem infmrgelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlt 6679	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. RR /\ z e. RR) -> (B <_ z <-> -. z < B))
2		brcnvg 4142	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. RR /\ z e. RR) -> (B`' < z <-> z < B))
3	2	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. RR /\ z e. RR) -> (-. B`' < z <-> -. z < B))
4	1, 3	bitr4d 590	. . . . . . . . 9 |- ((B e. RR /\ z e. RR) -> (B <_ z <-> -. B`' < z))
5		ssel2 2616	. . . . . . . . 9 |- ((A C_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
6	4, 5	sylan2 500	. . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ (A C_ RR /\ z e. A)) -> (B <_ z <-> -. B`' < z))
7	6	anassrs 489	. . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ A C_ RR) /\ z e. A) -> (B <_ z <-> -. B`' < z))
8	7	ancom1s 548	. . . . . 6 |- (((A C_ RR /\ B e. RR) /\ z e. A) -> (B <_ z <-> -. B`' < z))
9	8	ralbidva 2119	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ B e. RR) -> (A.z e. A B <_ z <-> A.z e. A -. B`' < z))
10	9	pm5.32da 711	. . . 4 |- (A C_ RR -> ((B e. RR /\ A.z e. A B <_ z) <-> (B e. RR /\ A.z e. A -. B`' < z)))
11	10	3ad2ant1 897	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> ((B e. RR /\ A.z e. A B <_ z) <-> (B e. RR /\ A.z e. A -. B`' < z)))
12		infm3 7263	. . . . . . . 8 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)))
13		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
14		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
15	13, 14	brcnv 4144	. . . . . . . . . . . 12 |- (x`' < y <-> y < x)
16	15	notbii 204	. . . . . . . . . . 11 |- (-. x`' < y <-> -. y < x)
17	16	ralbii 2127	. . . . . . . . . 10 |- (A.y e. A -. x`' < y <-> A.y e. A -. y < x)
18	14, 13	brcnv 4144	. . . . . . . . . . . 12 |- (y`' < x <-> x < y)
19		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
20	14, 19	brcnv 4144	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y`' < z <-> z < y)
21	20	rexbii 2128	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.z e. A y`' < z <-> E.z e. A z < y)
22	18, 21	imbi12i 205	. . . . . . . . . . 11 |- ((y`' < x -> E.z e. A y`' < z) <-> (x < y -> E.z e. A z < y))
23	22	ralbii 2127	. . . . . . . . . 10 |- (A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z) <-> A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))
24	17, 23	anbi12i 540	. . . . . . . . 9 |- ((A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z)) <-> (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)))
25	24	rexbii 2128	. . . . . . . 8 |- (E.x e. RR (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z)) <-> E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)))
26	12, 25	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z)))
27		ltso 6681	. . . . . . . . 9 |- < Or RR
28		cnvso 4428	. . . . . . . . 9 |- ( < Or RR <-> `' < Or RR)
29	27, 28	mpbi 206	. . . . . . . 8 |- `' < Or RR
30	29	supnub 5672	. . . . . . 7 |- (E.x e. RR (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z)) -> ((B e. RR /\ A.z e. A -. B`' < z) -> -. B`' < sup(A, RR, `' < )))
31	26, 30	syl 12	. . . . . 6 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> ((B e. RR /\ A.z e. A -. B`' < z) -> -. B`' < sup(A, RR, `' < )))
32	31	imp 377	. . . . 5 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ (B e. RR /\ A.z e. A -. B`' < z)) -> -. B`' < sup(A, RR, `' < ))
33		lenlt 6679	. . . . . . . . 9 |- ((B e. RR /\ sup(A, RR, `' < ) e. RR) -> (B <_ sup(A, RR, `' < ) <-> -. sup(A, RR, `' < ) < B))
34		infmrcl 7278	. . . . . . . . 9 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. RR)
35	33, 34	sylan2 500	. . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ (A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y)) -> (B <_ sup(A, RR, `' < ) <-> -. sup(A, RR, `' < ) < B))
36	35	ancoms 484	. . . . . . 7 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ B e. RR) -> (B <_ sup(A, RR, `' < ) <-> -. sup(A, RR, `' < ) < B))
37	29	supex 5667	. . . . . . . . . 10 |- sup(A, RR, `' < ) e. _V
38		brcnvg 4142	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. RR /\ sup(A, RR, `' < ) e. _V) -> (B`' < sup(A, RR, `' < ) <-> sup(A, RR, `' < ) < B))
39	37, 38	mpan2 760	. . . . . . . . 9 |- (B e. RR -> (B`' < sup(A, RR, `' < ) <-> sup(A, RR, `' < ) < B))
40	39	adantl 424	. . . . . . . 8 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ B e. RR) -> (B`' < sup(A, RR, `' < ) <-> sup(A, RR, `' < ) < B))
41	40	notbid 673	. . . . . . 7 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ B e. RR) -> (-. B`' < sup(A, RR, `' < ) <-> -. sup(A, RR, `' < ) < B))
42	36, 41	bitr4d 590	. . . . . 6 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ B e. RR) -> (B <_ sup(A, RR, `' < ) <-> -. B`' < sup(A, RR, `' < )))
43	42	adantrr 431	. . . . 5 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ (B e. RR /\ A.z e. A -. B`' < z)) -> (B <_ sup(A, RR, `' < ) <-> -. B`' < sup(A, RR, `' < )))
44	32, 43	mpbird 213	. . . 4 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ (B e. RR /\ A.z e. A -. B`' < z)) -> B <_ sup(A, RR, `' < ))
45	44	ex 402	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> ((B e. RR /\ A.z e. A -. B`' < z) -> B <_ sup(A, RR, `' < )))
46	11, 45	sylbid 220	. 2 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> ((B e. RR /\ A.z e. A B <_ z) -> B <_ sup(A, RR, `' < )))
47	46	imp 377	1 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) /\ (B e. RR /\ A.z e. A B <_ z)) -> B <_ sup(A, RR, `' < ))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338   Or wor 3590  `'ccnv 3985  supcsup 5663  RRcr 6385   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain