MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrgelb Structured version   Unicode version

Theorem infmrgelb 10425
Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
infmrgelb  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  A  B  <_  z ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    z, A    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem infmrgelb
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gtso 9571 . . . . . . 7  |-  `'  <  Or  RR
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  `'  <  Or  RR )
3 infm3 10404 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) ) )
4 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
5 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
64, 5brcnv 5133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
76notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
87ralbii 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x )
95, 4brcnv 5133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
10 vex 3081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e. 
_V
115, 10brcnv 5133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  w  <->  w  <  y )
1211rexbii 2862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  A  y `'  <  w  <->  E. w  e.  A  w  <  y )
139, 12imbi12i 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w )  <-> 
( x  <  y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) )
1413ralbii 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) )
158, 14anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) ) )
1615rexbii 2862 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) ) )
173, 16sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w ) ) )
18 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR )
192, 17, 18suplub2 7826 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  E. w  e.  A  B `'  <  w ) )
2019notbid 294 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  E. w  e.  A  B `'  <  w ) )
21 ralnex 2852 . . . 4  |-  ( A. w  e.  A  -.  B `'  <  w  <->  -.  E. w  e.  A  B `'  <  w )
2220, 21syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  A  -.  B `'  <  w ) )
23 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
24 infmrcl 10424 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
26 lenlt 9568 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B ) )
27 brcnvg 5131 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
2827notbid 294 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
2926, 28bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3023, 25, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3123adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
3332sselda 3467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
34 lenlt 9568 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( B  <_  w  <->  -.  w  <  B ) )
35 brcnvg 5131 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( B `'  <  w  <-> 
w  <  B )
)
3635notbid 294 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  w  <->  -.  w  <  B ) )
3734, 36bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( B  <_  w  <->  -.  B `'  <  w
) )
3831, 33, 37syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  ( B  <_  w  <->  -.  B `'  <  w ) )
3938ralbidva 2844 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  A  B  <_  w  <->  A. w  e.  A  -.  B `'  <  w ) )
4022, 30, 393bitr4d 285 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  A  B  <_  w ) )
41 breq2 4407 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  ( B  <_  w  <->  B  <_  z ) )
4241cbvralv 3053 . 2  |-  ( A. w  e.  A  B  <_  w  <->  A. z  e.  A  B  <_  z )
4340, 42syl6bb 261 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  A  B  <_  z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800    C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403    Or wor 4751   `'ccnv 4950   supcsup 7805   RRcr 9396    < clt 9533    <_ cle 9534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713
This theorem is referenced by:  infmxrre  11413  minveclem2  21055  minveclem3b  21057  minveclem4  21061  minveclem6  21063  pilem2  22060  pilem3  22061  pntlem3  23001  minvecolem2  24455  minvecolem4  24460  minvecolem5  24461  minvecolem6  24462  infmrgelbi  29390  taupi  35980
  Copyright terms: Public domain W3C validator