MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrgelb Structured version   Unicode version

Theorem infmrgelb 10530
Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
infmrgelb  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  A  B  <_  z ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    z, A    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem infmrgelb
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gtso 9669 . . . . . . 7  |-  `'  <  Or  RR
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  `'  <  Or  RR )
3 infm3 10509 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) ) )
4 vex 3098 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
5 vex 3098 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
64, 5brcnv 5175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
76notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
87ralbii 2874 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x )
95, 4brcnv 5175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
10 vex 3098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e. 
_V
115, 10brcnv 5175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  w  <->  w  <  y )
1211rexbii 2945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  A  y `'  <  w  <->  E. w  e.  A  w  <  y )
139, 12imbi12i 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w )  <-> 
( x  <  y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) )
1413ralbii 2874 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) )
158, 14anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) ) )
1615rexbii 2945 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) ) )
173, 16sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w ) ) )
18 simp1 997 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR )
192, 17, 18suplub2 7923 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  E. w  e.  A  B `'  <  w ) )
2019notbid 294 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  E. w  e.  A  B `'  <  w ) )
21 ralnex 2889 . . . 4  |-  ( A. w  e.  A  -.  B `'  <  w  <->  -.  E. w  e.  A  B `'  <  w )
2220, 21syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  A  -.  B `'  <  w ) )
23 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
24 infmrcl 10529 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
26 lenlt 9666 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B ) )
27 brcnvg 5173 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
2827notbid 294 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
2926, 28bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3023, 25, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3123adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32 simpl1 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
3332sselda 3489 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
34 lenlt 9666 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( B  <_  w  <->  -.  w  <  B ) )
35 brcnvg 5173 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( B `'  <  w  <-> 
w  <  B )
)
3635notbid 294 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  w  <->  -.  w  <  B ) )
3734, 36bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( B  <_  w  <->  -.  B `'  <  w
) )
3831, 33, 37syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  ( B  <_  w  <->  -.  B `'  <  w ) )
3938ralbidva 2879 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  A  B  <_  w  <->  A. w  e.  A  -.  B `'  <  w ) )
4022, 30, 393bitr4d 285 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  A  B  <_  w ) )
41 breq2 4441 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  ( B  <_  w  <->  B  <_  z ) )
4241cbvralv 3070 . 2  |-  ( A. w  e.  A  B  <_  w  <->  A. z  e.  A  B  <_  z )
4340, 42syl6bb 261 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  A  B  <_  z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437    Or wor 4789   `'ccnv 4988   supcsup 7902   RRcr 9494    < clt 9631    <_ cle 9632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813
This theorem is referenced by:  infmxrre  11537  minveclem2  21818  minveclem3b  21820  minveclem4  21824  minveclem6  21826  pilem2  22823  pilem3  22824  pntlem3  23770  minvecolem2  25767  minvecolem4  25772  minvecolem5  25773  minvecolem6  25774  infmrgelbi  30789  taupi  37438
  Copyright terms: Public domain W3C validator