Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrgelb Structured version   Unicode version

Theorem infmrgelb 10530
 Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
infmrgelb
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem infmrgelb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gtso 9669 . . . . . . 7
21a1i 11 . . . . . 6
3 infm3 10509 . . . . . . 7
4 vex 3098 . . . . . . . . . . . 12
5 vex 3098 . . . . . . . . . . . 12
64, 5brcnv 5175 . . . . . . . . . . 11
76notbii 296 . . . . . . . . . 10
87ralbii 2874 . . . . . . . . 9
95, 4brcnv 5175 . . . . . . . . . . 11
10 vex 3098 . . . . . . . . . . . . 13
115, 10brcnv 5175 . . . . . . . . . . . 12
1211rexbii 2945 . . . . . . . . . . 11
139, 12imbi12i 326 . . . . . . . . . 10
1413ralbii 2874 . . . . . . . . 9
158, 14anbi12i 697 . . . . . . . 8
1615rexbii 2945 . . . . . . 7
173, 16sylibr 212 . . . . . 6
18 simp1 997 . . . . . 6
192, 17, 18suplub2 7923 . . . . 5
2019notbid 294 . . . 4
21 ralnex 2889 . . . 4
2220, 21syl6bbr 263 . . 3
23 simpr 461 . . . 4
24 infmrcl 10529 . . . . 5
2524adantr 465 . . . 4
26 lenlt 9666 . . . . 5
27 brcnvg 5173 . . . . . 6
2827notbid 294 . . . . 5
2926, 28bitr4d 256 . . . 4
3023, 25, 29syl2anc 661 . . 3
3123adantr 465 . . . . 5
32 simpl1 1000 . . . . . 6
3332sselda 3489 . . . . 5
34 lenlt 9666 . . . . . 6
35 brcnvg 5173 . . . . . . 7
3635notbid 294 . . . . . 6
3734, 36bitr4d 256 . . . . 5
3831, 33, 37syl2anc 661 . . . 4
3938ralbidva 2879 . . 3
4022, 30, 393bitr4d 285 . 2
41 breq2 4441 . . 3
4241cbvralv 3070 . 2
4340, 42syl6bb 261 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wcel 1804   wne 2638  wral 2793  wrex 2794   wss 3461  c0 3770   class class class wbr 4437   wor 4789  ccnv 4988  csup 7902  cr 9494   clt 9631   cle 9632 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813 This theorem is referenced by:  infmxrre  11537  minveclem2  21818  minveclem3b  21820  minveclem4  21824  minveclem6  21826  pilem2  22823  pilem3  22824  pntlem3  23770  minvecolem2  25767  minvecolem4  25772  minvecolem5  25773  minvecolem6  25774  infmrgelbi  30789  taupi  37438
 Copyright terms: Public domain W3C validator