HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem infmrcl 6179
Description: Closure of infimum of a non-empty bounded set of reals.
Assertion
Ref Expression
infmrcl |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. RR)
Distinct variable group:   x,y,A
Proof of Theorem infmrcl
StepHypRef Expression
1 infmsup 6178 . 2 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) = -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ))
2 ssrab2 2175 . . . . 5 |- {v e. RR | -uv e. A} (_ RR
3 suprcl 6165 . . . . 5 |- (({v e. RR | -uv e. A} (_ RR /\ {v e. RR | -uv e. A} =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
42, 3mp3an1 906 . . . 4 |- (({v e. RR | -uv e. A} =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
5 ssel 2107 . . . . . . . . . . 11 |- (A (_ RR -> (z e. A -> z e. RR))
6 renegcl 5526 . . . . . . . . . . 11 |- (z e. RR -> -uz e. RR)
75, 6syl6 22 . . . . . . . . . 10 |- (A (_ RR -> (z e. A -> -uz e. RR))
8 ssel2 2108 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
9 recn 5402 . . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. RR -> z e. CC)
10 negneg 5482 . . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. CC -> -u-uz = z)
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> -u-uz = z)
12 pm3.27 321 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> z e. A)
1311, 12eqeltrd 1585 . . . . . . . . . . 11 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> -u-uz e. A)
1413ex 371 . . . . . . . . . 10 |- (A (_ RR -> (z e. A -> -u-uz e. A))
157, 14jcad 602 . . . . . . . . 9 |- (A (_ RR -> (z e. A -> (-uz e. RR /\ -u-uz e. A)))
16 negeq 5448 . . . . . . . . . . . 12 |- (v = -uz -> -uv = -u-uz)
1716eleq1d 1577 . . . . . . . . . . 11 |- (v = -uz -> (-uv e. A <-> -u-uz e. A))
1817elrab 1943 . . . . . . . . . 10 |- (-uz e. {v e. RR | -uv e. A} <-> (-uz e. RR /\ -u-uz e. A))
19 ne0i 2330 . . . . . . . . . 10 |- (-uz e. {v e. RR | -uv e. A} -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
2018, 19sylbir 199 . . . . . . . . 9 |- ((-uz e. RR /\ -u-uz e. A) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
2115, 20syl6 22 . . . . . . . 8 |- (A (_ RR -> (z e. A -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/)))
222119.23adv 1247 . . . . . . 7 |- (A (_ RR -> (E.z z e. A -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/)))
2322imp 348 . . . . . 6 |- ((A (_ RR /\ E.z z e. A) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
24 n0 2333 . . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
2523, 24sylan2b 454 . . . . 5 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
26253adant3 802 . . . 4 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
27 breq2 2673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = -uw -> (x <_ y <-> x <_ -uw))
2827rcla4va 1913 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uw e. A /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
2928adantll 392 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. RR /\ -uw e. A) /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
3029adantll 392 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
31 lenegcon2 5748 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. RR /\ w e. RR) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
3231adantrr 395 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
3332adantr 389 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
3430, 33mpbid 193 . . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> w <_ -ux)
3534exp31 376 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> ((w e. RR /\ -uw e. A) -> (A.y e. A x <_ y -> w <_ -ux)))
36 negeq 5448 . . . . . . . . . . . . 13 |- (v = w -> -uv = -uw)
3736eleq1d 1577 . . . . . . . . . . . 12 |- (v = w -> (-uv e. A <-> -uw e. A))
3837elrab 1943 . . . . . . . . . . 11 |- (w e. {v e. RR | -uv e. A} <-> (w e. RR /\ -uw e. A))
3935, 38syl5ib 204 . . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (w e. {v e. RR | -uv e. A} -> (A.y e. A x <_ y -> w <_ -ux)))
4039com23 32 . . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> (w e. {v e. RR | -uv e. A} -> w <_ -ux)))
4140r19.21adv 1756 . . . . . . . 8 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux))
42 renegcl 5526 . . . . . . . 8 |- (x e. RR -> -ux e. RR)
4341, 42jctild 603 . . . . . . 7 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> (-ux e. RR /\ A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux)))
44 breq2 2673 . . . . . . . . 9 |- (z = -ux -> (w <_ z <-> w <_ -ux))
4544ralbidv 1701 . . . . . . . 8 |- (z = -ux -> (A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z <-> A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux))
4645rcla4ev 1915 . . . . . . 7 |- ((-ux e. RR /\ A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux) -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
4743, 46syl6 22 . . . . . 6 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z))
4847r19.23aiv 1781 . . . . 5 |- (E.x e. RR A.y e. A x <_ y -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
49483ad2ant3 805 . . . 4 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
504, 26, 49sylanc 473 . . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
51 renegcl 5526 . . 3 |- (sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR -> -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
5250, 51syl 10 . 2 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
531, 52eqeltrd 1585 1 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. RR)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 778   = wceq 988   e. wcel 990  E.wex 1012   =/= wne 1622  A.wral 1683  E.wrex 1684  {crab 1686   (_ wss 2091  (/)c0 2324   class class class wbr 2669  `'ccnv 3224  supcsup 4657  CCcc 5321  RRcr 5322  -ucneg 5382   <_ cle 5384   < clt 5575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711
This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-sup 4658  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580
Copyright terms: Public domain