Theorem infmrcl 7278

Description: Closure of infimum of a non-empty bounded set of reals.

Assertion

Ref	Expression
infmrcl	|- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. RR)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem infmrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infmsup 7277	. 2 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) = -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ))
2		ssel 2615	. . . . . . . . . . 11 |- (A C_ RR -> (z e. A -> z e. RR))
3		renegcl 6600	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. RR -> -uz e. RR)
4	2, 3	syl6 25	. . . . . . . . . 10 |- (A C_ RR -> (z e. A -> -uz e. RR))
5		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A C_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
6		recn 6466	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. RR -> z e. CC)
7		negneg 6553	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. CC -> -u-uz = z)
8	5, 6, 7	3syl 24	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A C_ RR /\ z e. A) -> -u-uz = z)
9		simpr 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A C_ RR /\ z e. A) -> z e. A)
10	8, 9	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . 11 |- ((A C_ RR /\ z e. A) -> -u-uz e. A)
11	10	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (A C_ RR -> (z e. A -> -u-uz e. A))
12	4, 11	jcad 661	. . . . . . . . 9 |- (A C_ RR -> (z e. A -> (-uz e. RR /\ -u-uz e. A)))
13		negeq 6514	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = -uz -> -uv = -u-uz)
14	13	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . 11 |- (v = -uz -> (-uv e. A <-> -u-uz e. A))
15	14	elrab 2414	. . . . . . . . . 10 |- (-uz e. {v e. RR | -uv e. A} <-> (-uz e. RR /\ -u-uz e. A))
16		ne0i 2881	. . . . . . . . . 10 |- (-uz e. {v e. RR | -uv e. A} -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
17	15, 16	sylbir 218	. . . . . . . . 9 |- ((-uz e. RR /\ -u-uz e. A) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
18	12, 17	syl6 25	. . . . . . . 8 |- (A C_ RR -> (z e. A -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/)))
19	18	19.23adv 1584	. . . . . . 7 |- (A C_ RR -> (E.z z e. A -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/)))
20	19	imp 377	. . . . . 6 |- ((A C_ RR /\ E.z z e. A) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
21		n0 2884	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
22	20, 21	sylan2b 501	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
23	22	3adant3 896	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
24		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = -uw -> (x <_ y <-> x <_ -uw))
25	24	rcla4va 2378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uw e. A /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
26	25	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. RR /\ -uw e. A) /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
27	26	adantll 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
28		lenegcon2 6848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. RR /\ w e. RR) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
29	28	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
30	29	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
31	27, 30	mpbid 212	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> w <_ -ux)
32	31	exp31 407	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> ((w e. RR /\ -uw e. A) -> (A.y e. A x <_ y -> w <_ -ux)))
33		negeq 6514	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = w -> -uv = -uw)
34	33	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = w -> (-uv e. A <-> -uw e. A))
35	34	elrab 2414	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. {v e. RR | -uv e. A} <-> (w e. RR /\ -uw e. A))
36	32, 35	syl5ib 223	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (w e. {v e. RR | -uv e. A} -> (A.y e. A x <_ y -> w <_ -ux)))
37	36	com23 36	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> (w e. {v e. RR | -uv e. A} -> w <_ -ux)))
38	37	r19.21adv 2181	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux))
39		renegcl 6600	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> -ux e. RR)
40	38, 39	jctild 662	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> (-ux e. RR /\ A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux)))
41		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (z = -ux -> (w <_ z <-> w <_ -ux))
42	41	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (z = -ux -> (A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z <-> A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux))
43	42	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- ((-ux e. RR /\ A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux) -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
44	40, 43	syl6 25	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z))
45	44	r19.23aiv 2211	. . . . 5 |- (E.x e. RR A.y e. A x <_ y -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
46	45	3ad2ant3 899	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
47		ssrab2 2692	. . . . 5 |- {v e. RR | -uv e. A} C_ RR
48		suprcl 7264	. . . . 5 |- (({v e. RR | -uv e. A} C_ RR /\ {v e. RR | -uv e. A} =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
49	47, 48	mp3an1 1178	. . . 4 |- (({v e. RR | -uv e. A} =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
50	23, 46, 49	syl11anc 524	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
51		renegcl 6600	. . 3 |- (sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR -> -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
52	50, 51	syl 12	. 2 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
53	1, 52	eqeltrd 1971	1 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  -ucneg 6446   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem is referenced by:  supminf 13656  infmrlb 15765  infmrgelb 15766

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain