MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrcl Structured version   Unicode version

Theorem infmrcl 10308
Description: Closure of infimum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
infmrcl  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem infmrcl
Dummy variables  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infmsup 10307 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  ) )
2 n0 3645 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
3 ssel 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
4 renegcl 9671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -u z  e.  RR )
53, 4syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  -u z  e.  RR ) )
6 ssel2 3350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
76recnd 9411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
87negnegd 9709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  -u -u z  =  z )
9 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
108, 9eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  -u -u z  e.  A )
1110ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  -u -u z  e.  A ) )
125, 11jcad 533 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  ( -u z  e.  RR  /\  -u -u z  e.  A
) ) )
13 negeq 9601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  -u z  ->  -u v  =  -u -u z )
1413eleq1d 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  -u z  ->  ( -u v  e.  A  <->  -u -u z  e.  A ) )
1514elrab 3116 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u z  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  <->  ( -u z  e.  RR  /\  -u -u z  e.  A ) )
16 ne0i 3642 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u z  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
1715, 16sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u z  e.  RR  /\  -u -u z  e.  A
)  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
1812, 17syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) ) )
1918exlimdv 1690 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) ) )
2019imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  E. z  z  e.  A
)  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
212, 20sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
22213adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
23 renegcl 9671 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR )
24 negeq 9601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  w  ->  -u v  =  -u w )
2524eleq1d 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  w  ->  ( -u v  e.  A  <->  -u w  e.  A ) )
2625elrab 3116 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  <->  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A ) )
27 breq2 4295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -u w  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  -u w ) )
2827rspcva 3070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u w  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  x  <_  -u w )
2928adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  x  <_  -u w )
3029adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  x  <_ 
-u w )
31 lenegcon2 9843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( x  <_  -u w  <->  w  <_  -u x ) )
3231adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  ->  (
x  <_  -u w  <->  w  <_  -u x ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  <_  -u w  <->  w  <_  -u x ) )
3430, 33mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  w  <_ 
-u x )
3534exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
)  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  w  <_  -u x ) ) )
3626, 35syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  w  <_  -u x ) ) )
3736com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  (
w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  ->  w  <_  -u x ) ) )
3837ralrimdv 2804 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  -u x
) )
39 breq2 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  -u x  ->  (
w  <_  z  <->  w  <_  -u x ) )
4039ralbidv 2734 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  -u x  ->  ( A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }
w  <_  z  <->  A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  -u x
) )
4140rspcev 3072 . . . . . . 7  |-  ( (
-u x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  {
v  e.  RR  |  -u v  e.  A }
w  <_  -u x )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }
w  <_  z )
4223, 38, 41syl6an 545 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z ) )
4342rexlimiv 2834 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )
44433ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )
45 ssrab2 3436 . . . . 5  |-  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  C_  RR
46 suprcl 10289 . . . . 5  |-  ( ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  C_  RR  /\  {
v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )  ->  sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4745, 46mp3an1 1301 . . . 4  |-  ( ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )  ->  sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4822, 44, 47syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4948renegcld 9774 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -u sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
501, 49eqeltrd 2516 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718    C_ wss 3327   (/)c0 3636   class class class wbr 4291   `'ccnv 4838   supcsup 7689   RRcr 9280    < clt 9417    <_ cle 9418   -ucneg 9595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597
This theorem is referenced by:  infmrgelb  10309  infmrlb  10310  supminf  10941  infmxrre  11297  minveclem4c  20911  minveclem3b  20914  minveclem6  20920  pilem2  21916  pilem3  21917  pntlem3  22857  minvecolem2  24275  minvecolem3  24276  minvecolem4c  24279  minvecolem5  24281  minvecolem6  24282  heicant  28424  pellfundre  29220  infrglb  29769  climinf  29777  stirlinglem13  29879  taupi  35615
  Copyright terms: Public domain W3C validator