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Theorem infmo 8020
Description: Any class  B has at most one infimum in  A (where  R is interpreted as 'less than'). (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
infmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
Assertion
Ref Expression
infmo  |-  ( ph  ->  E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem infmo
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infmo.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
2 ancom 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  B  -.  y R w )  <->  ( A. y  e.  B  -.  y R w  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
32anbi2ci 700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  B  -.  y R w )  /\  ( A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  A  (
w R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R w  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) ) )
4 an42 832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R w  /\  A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  B  -.  y R w )  /\  ( A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
5 an42 832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R
y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  /\  ( A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R w ) )  <-> 
( ( A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R
y )  /\  A. y  e.  A  (
x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R w  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) ) )
63, 4, 53bitr4i 280 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R w  /\  A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  A  (
w R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  /\  ( A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R w ) ) )
7 ralnex 2868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  B  -.  y R x  <->  -.  E. y  e.  B  y R x )
8 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
w R y  <->  w R x ) )
9 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
z R y  <->  z R x ) )
109rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( E. z  e.  B  z R y  <->  E. z  e.  B  z R x ) )
118, 10imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( w R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  <->  ( w R x  ->  E. z  e.  B  z R x ) ) )
1211rspcva 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  ->  ( w R x  ->  E. z  e.  B  z R x ) )
13 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  (
y R x  <->  z R x ) )
1413cbvrexv 3055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  e.  B  y R x  <->  E. z  e.  B  z R x )
1512, 14syl6ibr 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  ->  ( w R x  ->  E. y  e.  B  y R x ) )
1615con3d 138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  ->  ( -.  E. y  e.  B  y R x  ->  -.  w R x ) )
177, 16syl5bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  y R x  ->  -.  w R x ) )
1817expimpd 606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R
y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  ->  -.  w R x ) )
1918ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R
y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  ->  -.  w R x ) )
20 ralnex 2868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  B  -.  y R w  <->  -.  E. y  e.  B  y R w )
21 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  w  ->  (
x R y  <->  x R w ) )
22 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  w  ->  (
z R y  <->  z R w ) )
2322rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  w  ->  ( E. z  e.  B  z R y  <->  E. z  e.  B  z R w ) )
2421, 23imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  w  ->  (
( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  <->  ( x R w  ->  E. z  e.  B  z R w ) ) )
2524rspcva 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  ->  ( x R w  ->  E. z  e.  B  z R w ) )
26 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  (
y R w  <->  z R w ) )
2726cbvrexv 3055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  e.  B  y R w  <->  E. z  e.  B  z R w )
2825, 27syl6ibr 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  ->  ( x R w  ->  E. y  e.  B  y R w ) )
2928con3d 138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  ->  ( -.  E. y  e.  B  y R w  ->  -.  x R w ) )
3020, 29syl5bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  y R w  ->  -.  x R w ) )
3130expimpd 606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  A  ->  (
( A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R w )  ->  -.  x R w ) )
3231ad2antll 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R w )  ->  -.  x R w ) )
3319, 32anim12d 565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R
y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  /\  ( A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R w ) )  ->  ( -.  w R x  /\  -.  x R w ) ) )
3433imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  /\  (
( A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R
y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  /\  ( A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R w ) ) )  ->  ( -.  w R x  /\  -.  x R w ) )
3534ancomd 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  /\  (
( A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R
y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  /\  ( A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R w ) ) )  ->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) )
3635ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R
y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  /\  ( A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  /\  A. y  e.  B  -.  y R w ) )  ->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
376, 36syl5bi 220 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R w  /\  A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )  ->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
38 sotrieq2 4802 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x  =  w  <->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
3937, 38sylibrd 237 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R w  /\  A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )  ->  x  =  w ) )
4039ralrimivva 2843 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( (
( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R w  /\  A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )  ->  x  =  w ) )
411, 40syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  (
x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R w  /\  A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )  ->  x  =  w ) )
42 breq2 4427 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
y R x  <->  y R w ) )
4342notbid 295 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R w ) )
4443ralbidv 2861 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  B  -.  y R x  <->  A. y  e.  B  -.  y R w ) )
45 breq1 4426 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
x R y  <->  w R
y ) )
4645imbi1d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  <->  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )
4746ralbidv 2861 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  <->  A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )
4844, 47anbi12d 715 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  y R w  /\  A. y  e.  A  (
w R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
4948rmo4 3263 . 2  |-  ( E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  <->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  (
x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R w  /\  A. y  e.  A  ( w R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )  ->  x  =  w ) )
5041, 49sylibr 215 1  |-  ( ph  ->  E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   E*wrmo 2774   class class class wbr 4423    Or wor 4773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-br 4424  df-po 4774  df-so 4775
This theorem is referenced by:  infeu  8021
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