Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmap2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem infmap2 8645
 Description: An exponentiation law for infinite cardinals. Similar to Lemma 6.2 of [Jech] p. 43. Although this version of infmap 8998 avoids the axiom of choice, it requires the powerset of an infinite set to be well-orderable and so is usually not applicable. (Contributed by NM, 1-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infmap2
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem infmap2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6296 . . 3
2 breq2 4405 . . . . 5
32anbi2d 709 . . . 4
43abbidv 2568 . . 3
51, 4breq12d 4414 . 2
6 simpl2 1011 . . . . . . . . . 10
7 reldom 7572 . . . . . . . . . . 11
87brrelexi 4874 . . . . . . . . . 10
96, 8syl 17 . . . . . . . . 9
107brrelex2i 4875 . . . . . . . . . 10
116, 10syl 17 . . . . . . . . 9
12 xpcomeng 7661 . . . . . . . . 9
139, 11, 12syl2anc 666 . . . . . . . 8
14 simpl3 1012 . . . . . . . . . 10
15 simpr 463 . . . . . . . . . . 11
16 mapdom3 7741 . . . . . . . . . . 11
1711, 9, 15, 16syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10
18 numdom 8466 . . . . . . . . . 10
1914, 17, 18syl2anc 666 . . . . . . . . 9
20 simpl1 1010 . . . . . . . . 9
21 infxpabs 8639 . . . . . . . . 9
2219, 20, 15, 6, 21syl22anc 1268 . . . . . . . 8
23 entr 7618 . . . . . . . 8
2413, 22, 23syl2anc 666 . . . . . . 7
25 ssenen 7743 . . . . . . 7
2624, 25syl 17 . . . . . 6
27 relen 7571 . . . . . . 7
2827brrelexi 4874 . . . . . 6
2926, 28syl 17 . . . . 5
30 abid2 2572 . . . . . 6
31 elmapi 7490 . . . . . . . 8
32 fssxp 5739 . . . . . . . . 9
33 ffun 5729 . . . . . . . . . . 11
34 vex 3047 . . . . . . . . . . . 12
3534fundmen 7640 . . . . . . . . . . 11
36 ensym 7615 . . . . . . . . . . 11
3733, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . 10
38 fdm 5731 . . . . . . . . . 10
3937, 38breqtrd 4426 . . . . . . . . 9
4032, 39jca 535 . . . . . . . 8
4131, 40syl 17 . . . . . . 7
4241ss2abi 3500 . . . . . 6
4330, 42eqsstr3i 3462 . . . . 5
44 ssdomg 7612 . . . . 5
4529, 43, 44mpisyl 21 . . . 4
46 domentr 7625 . . . 4
4745, 26, 46syl2anc 666 . . 3
48 ovex 6316 . . . . . . 7
4948mptex 6134 . . . . . 6
5049rnex 6724 . . . . 5
51 ensym 7615 . . . . . . . . . . . 12
5251ad2antll 734 . . . . . . . . . . 11
53 bren 7575 . . . . . . . . . . 11
5452, 53sylib 200 . . . . . . . . . 10
55 f1of 5812 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15
5856, 57fssd 5736 . . . . . . . . . . . . . 14
5911, 9elmapd 7483 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
6158, 60mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13
62 f1ofo 5819 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 forn 5794 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14
6665eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . 13
6761, 66jca 535 . . . . . . . . . . . 12
6867ex 436 . . . . . . . . . . 11
6968eximdv 1763 . . . . . . . . . 10
7054, 69mpd 15 . . . . . . . . 9
71 df-rex 2742 . . . . . . . . 9
7270, 71sylibr 216 . . . . . . . 8
7372ex 436 . . . . . . 7
7473ss2abdv 3501 . . . . . 6
75 eqid 2450 . . . . . . 7
7675rnmpt 5079 . . . . . 6
7774, 76syl6sseqr 3478 . . . . 5
78 ssdomg 7612 . . . . 5
7950, 77, 78mpsyl 65 . . . 4
80 vex 3047 . . . . . . . . 9
8180rnex 6724 . . . . . . . 8
8281rgenw 2748 . . . . . . 7
8375fnmpt 5702 . . . . . . 7
8482, 83mp1i 13 . . . . . 6
85 dffn4 5797 . . . . . 6
8684, 85sylib 200 . . . . 5
87 fodomnum 8485 . . . . 5
8814, 86, 87sylc 62 . . . 4
89 domtr 7619 . . . 4
9079, 88, 89syl2anc 666 . . 3
91 sbth 7689 . . 3
9247, 90, 91syl2anc 666 . 2
937brrelex2i 4875 . . . . 5
94933ad2ant1 1028 . . . 4
95 map0e 7506 . . . 4
9694, 95syl 17 . . 3
97 1onn 7337 . . . . . 6
9897elexi 3054 . . . . 5
9998enref 7599 . . . 4
100 df-sn 3968 . . . . 5
101 df1o2 7191 . . . . 5
102 en0 7629 . . . . . . . 8
103102anbi2i 699 . . . . . . 7
104 0ss 3762 . . . . . . . . 9
105 sseq1 3452 . . . . . . . . 9
106104, 105mpbiri 237 . . . . . . . 8
107106pm4.71ri 638 . . . . . . 7
108103, 107bitr4i 256 . . . . . 6
109108abbii 2566 . . . . 5
110100, 101, 1093eqtr4ri 2483 . . . 4
11199, 110breqtrri 4427 . . 3
11296, 111syl6eqbr 4439 . 2
1135, 92, 112pm2.61ne 2708 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443  wex 1662   wcel 1886  cab 2436   wne 2621  wral 2736  wrex 2737  cvv 3044   wss 3403  c0 3730  csn 3967   class class class wbr 4401   cmpt 4460   cxp 4831   cdm 4833   crn 4834   wfun 5575   wfn 5576  wf 5577  wfo 5579  wf1o 5580  (class class class)co 6288  com 6689  c1o 7172   cmap 7469   cen 7563   cdom 7564  ccrd 8366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373 This theorem is referenced by:  infmap  8998
 Copyright terms: Public domain W3C validator