Theorem infm3 7263

Description: The completeness axiom for reals in terms of infimum: a non-empty, bounded-below set of reals has a infimum. (This theorem is the dual of sup3 7261.)

Assertion

Ref	Expression
infm3	|- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem infm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2615	. . . . . . . . 9 |- (A C_ RR -> (v e. A -> v e. RR))
2	1	pm4.71rd 701	. . . . . . . 8 |- (A C_ RR -> (v e. A <-> (v e. RR /\ v e. A)))
3	2	exbidv 1657	. . . . . . 7 |- (A C_ RR -> (E.v v e. A <-> E.v(v e. RR /\ v e. A)))
4		df-rex 2110	. . . . . . . 8 |- (E.v e. RR v e. A <-> E.v(v e. RR /\ v e. A))
5		renegcl 6600	. . . . . . . . 9 |- (w e. RR -> -uw e. RR)
6		infm3lem 7262	. . . . . . . . 9 |- (v e. RR -> E.w e. RR v = -uw)
7		eleq1 1957	. . . . . . . . 9 |- (v = -uw -> (v e. A <-> -uw e. A))
8	5, 6, 7	rexxfr 3841	. . . . . . . 8 |- (E.v e. RR v e. A <-> E.w e. RR -uw e. A)
9	4, 8	bitr3i 192	. . . . . . 7 |- (E.v(v e. RR /\ v e. A) <-> E.w e. RR -uw e. A)
10	3, 9	syl6bb 595	. . . . . 6 |- (A C_ RR -> (E.v v e. A <-> E.w e. RR -uw e. A))
11		n0 2884	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> E.v v e. A)
12		rabn0 2893	. . . . . 6 |- ({w e. RR | -uw e. A} =/= (/) <-> E.w e. RR -uw e. A)
13	10, 11, 12	3bitr4g 614	. . . . 5 |- (A C_ RR -> (A =/= (/) <-> {w e. RR | -uw e. A} =/= (/)))
14		ssel 2615	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ RR -> (y e. A -> y e. RR))
15	14	pm4.71rd 701	. . . . . . . . . . 11 |- (A C_ RR -> (y e. A <-> (y e. RR /\ y e. A)))
16	15	imbi1d 675	. . . . . . . . . 10 |- (A C_ RR -> ((y e. A -> x <_ y) <-> ((y e. RR /\ y e. A) -> x <_ y)))
17		impexp 374	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. RR /\ y e. A) -> x <_ y) <-> (y e. RR -> (y e. A -> x <_ y)))
18	16, 17	syl6bb 595	. . . . . . . . 9 |- (A C_ RR -> ((y e. A -> x <_ y) <-> (y e. RR -> (y e. A -> x <_ y))))
19	18	albidv 1656	. . . . . . . 8 |- (A C_ RR -> (A.y(y e. A -> x <_ y) <-> A.y(y e. RR -> (y e. A -> x <_ y))))
20		df-ral 2109	. . . . . . . 8 |- (A.y e. A x <_ y <-> A.y(y e. A -> x <_ y))
21		renegcl 6600	. . . . . . . . . 10 |- (v e. RR -> -uv e. RR)
22		infm3lem 7262	. . . . . . . . . 10 |- (y e. RR -> E.v e. RR y = -uv)
23		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (y = -uv -> (y e. A <-> -uv e. A))
24		breq2 3342	. . . . . . . . . . 11 |- (y = -uv -> (x <_ y <-> x <_ -uv))
25	23, 24	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (y = -uv -> ((y e. A -> x <_ y) <-> (-uv e. A -> x <_ -uv)))
26	21, 22, 25	ralxfr 3839	. . . . . . . . 9 |- (A.y e. RR (y e. A -> x <_ y) <-> A.v e. RR (-uv e. A -> x <_ -uv))
27		df-ral 2109	. . . . . . . . 9 |- (A.y e. RR (y e. A -> x <_ y) <-> A.y(y e. RR -> (y e. A -> x <_ y)))
28	26, 27	bitr3i 192	. . . . . . . 8 |- (A.v e. RR (-uv e. A -> x <_ -uv) <-> A.y(y e. RR -> (y e. A -> x <_ y)))
29	19, 20, 28	3bitr4g 614	. . . . . . 7 |- (A C_ RR -> (A.y e. A x <_ y <-> A.v e. RR (-uv e. A -> x <_ -uv)))
30	29	rexbidv 2124	. . . . . 6 |- (A C_ RR -> (E.x e. RR A.y e. A x <_ y <-> E.x e. RR A.v e. RR (-uv e. A -> x <_ -uv)))
31		renegcl 6600	. . . . . . . 8 |- (u e. RR -> -uu e. RR)
32		infm3lem 7262	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> E.u e. RR x = -uu)
33		breq1 3341	. . . . . . . . . 10 |- (x = -uu -> (x <_ -uv <-> -uu <_ -uv))
34	33	imbi2d 674	. . . . . . . . 9 |- (x = -uu -> ((-uv e. A -> x <_ -uv) <-> (-uv e. A -> -uu <_ -uv)))
35	34	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (x = -uu -> (A.v e. RR (-uv e. A -> x <_ -uv) <-> A.v e. RR (-uv e. A -> -uu <_ -uv)))
36	31, 32, 35	rexxfr 3841	. . . . . . 7 |- (E.x e. RR A.v e. RR (-uv e. A -> x <_ -uv) <-> E.u e. RR A.v e. RR (-uv e. A -> -uu <_ -uv))
37		leneg 6846	. . . . . . . . . . . 12 |- ((v e. RR /\ u e. RR) -> (v <_ u <-> -uu <_ -uv))
38	37	ancoms 484	. . . . . . . . . . 11 |- ((u e. RR /\ v e. RR) -> (v <_ u <-> -uu <_ -uv))
39	38	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ((u e. RR /\ v e. RR) -> ((-uv e. A -> v <_ u) <-> (-uv e. A -> -uu <_ -uv)))
40	39	ralbidva 2119	. . . . . . . . 9 |- (u e. RR -> (A.v e. RR (-uv e. A -> v <_ u) <-> A.v e. RR (-uv e. A -> -uu <_ -uv)))
41		negeq 6514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = v -> -uw = -uv)
42	41	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w = v -> (-uw e. A <-> -uv e. A))
43	42	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v e. {w e. RR | -uw e. A} <-> (v e. RR /\ -uv e. A))
44	43	imbi1i 203	. . . . . . . . . . . 12 |- ((v e. {w e. RR | -uw e. A} -> v <_ u) <-> ((v e. RR /\ -uv e. A) -> v <_ u))
45		impexp 374	. . . . . . . . . . . 12 |- (((v e. RR /\ -uv e. A) -> v <_ u) <-> (v e. RR -> (-uv e. A -> v <_ u)))
46	44, 45	bitri 190	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. {w e. RR | -uw e. A} -> v <_ u) <-> (v e. RR -> (-uv e. A -> v <_ u)))
47	46	albii 1346	. . . . . . . . . 10 |- (A.v(v e. {w e. RR | -uw e. A} -> v <_ u) <-> A.v(v e. RR -> (-uv e. A -> v <_ u)))
48		df-ral 2109	. . . . . . . . . 10 |- (A.v e. {w e. RR | -uw e. A}v <_ u <-> A.v(v e. {w e. RR | -uw e. A} -> v <_ u))
49		df-ral 2109	. . . . . . . . . 10 |- (A.v e. RR (-uv e. A -> v <_ u) <-> A.v(v e. RR -> (-uv e. A -> v <_ u)))
50	47, 48, 49	3bitr4ri 201	. . . . . . . . 9 |- (A.v e. RR (-uv e. A -> v <_ u) <-> A.v e. {w e. RR | -uw e. A}v <_ u)
51	40, 50	syl5bbr 593	. . . . . . . 8 |- (u e. RR -> (A.v e. {w e. RR | -uw e. A}v <_ u <-> A.v e. RR (-uv e. A -> -uu <_ -uv)))
52	51	rexbiia 2134	. . . . . . 7 |- (E.u e. RR A.v e. {w e. RR | -uw e. A}v <_ u <-> E.u e. RR A.v e. RR (-uv e. A -> -uu <_ -uv))
53	36, 52	bitr4i 193	. . . . . 6 |- (E.x e. RR A.v e. RR (-uv e. A -> x <_ -uv) <-> E.u e. RR A.v e. {w e. RR | -uw e. A}v <_ u)
54	30, 53	syl6bb 595	. . . . 5 |- (A C_ RR -> (E.x e. RR A.y e. A x <_ y <-> E.u e. RR A.v e. {w e. RR | -uw e. A}v <_ u))
55	13, 54	anbi12d 690	. . . 4 |- (A C_ RR -> ((A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) <-> ({w e. RR | -uw e. A} =/= (/) /\ E.u e. RR A.v e. {w e. RR | -uw e. A}v <_ u)))
56		ssrab2 2692	. . . . 5 |- {w e. RR | -uw e. A} C_ RR
57		sup3 7261	. . . . 5 |- (({w e. RR | -uw e. A} C_ RR /\ {w e. RR | -uw e. A} =/= (/) /\ E.u e. RR A.v e. {w e. RR | -uw e. A}v <_ u) -> E.u e. RR (A.v e. {w e. RR | -uw e. A} -. u < v /\ A.v e. RR (v < u -> E.t e. {w e. RR | -uw e. A}v < t)))
58	56, 57	mp3an1 1178	. . . 4 |- (({w e. RR | -uw e. A} =/= (/) /\ E.u e. RR A.v e. {w e. RR | -uw e. A}v <_ u) -> E.u e. RR (A.v e. {w e. RR | -uw e. A} -. u < v /\ A.v e. RR (v < u -> E.t e. {w e. RR | -uw e. A}v < t)))
59	55, 58	syl6bi 231	. . 3 |- (A C_ RR -> ((A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.u e. RR (A.v e. {w e. RR | -uw e. A} -. u < v /\ A.v e. RR (v < u -> E.t e. {w e. RR | -uw e. A}v < t))))
60	15	imbi1d 675	. . . . . . . . 9 |- (A C_ RR -> ((y e. A -> -. y < x) <-> ((y e. RR /\ y e. A) -> -. y < x)))
61		impexp 374	. . . . . . . . 9 |- (((y e. RR /\ y e. A) -> -. y < x) <-> (y e. RR -> (y e. A -> -. y < x)))
62	60, 61	syl6bb 595	. . . . . . . 8 |- (A C_ RR -> ((y e. A -> -. y < x) <-> (y e. RR -> (y e. A -> -. y < x))))
63	62	albidv 1656	. . . . . . 7 |- (A C_ RR -> (A.y(y e. A -> -. y < x) <-> A.y(y e. RR -> (y e. A -> -. y < x))))
64		df-ral 2109	. . . . . . 7 |- (A.y e. A -. y < x <-> A.y(y e. A -> -. y < x))
65		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (y = -uv -> (y < x <-> -uv < x))
66	65	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- (y = -uv -> (-. y < x <-> -. -uv < x))
67	23, 66	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (y = -uv -> ((y e. A -> -. y < x) <-> (-uv e. A -> -. -uv < x)))
68	21, 22, 67	ralxfr 3839	. . . . . . . 8 |- (A.y e. RR (y e. A -> -. y < x) <-> A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < x))
69		df-ral 2109	. . . . . . . 8 |- (A.y e. RR (y e. A -> -. y < x) <-> A.y(y e. RR -> (y e. A -> -. y < x)))
70	68, 69	bitr3i 192	. . . . . . 7 |- (A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < x) <-> A.y(y e. RR -> (y e. A -> -. y < x)))
71	63, 64, 70	3bitr4g 614	. . . . . 6 |- (A C_ RR -> (A.y e. A -. y < x <-> A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < x)))
72		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A C_ RR -> (z e. A -> z e. RR))
73	72	adantrd 427	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ RR -> ((z e. A /\ z < -uv) -> z e. RR))
74	73	pm4.71rd 701	. . . . . . . . . . 11 |- (A C_ RR -> ((z e. A /\ z < -uv) <-> (z e. RR /\ (z e. A /\ z < -uv))))
75	74	exbidv 1657	. . . . . . . . . 10 |- (A C_ RR -> (E.z(z e. A /\ z < -uv) <-> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ z < -uv))))
76		df-rex 2110	. . . . . . . . . 10 |- (E.z e. A z < -uv <-> E.z(z e. A /\ z < -uv))
77		renegcl 6600	. . . . . . . . . . . 12 |- (t e. RR -> -ut e. RR)
78		infm3lem 7262	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. RR -> E.t e. RR z = -ut)
79		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = -ut -> (z e. A <-> -ut e. A))
80		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = -ut -> (z < -uv <-> -ut < -uv))
81	79, 80	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = -ut -> ((z e. A /\ z < -uv) <-> (-ut e. A /\ -ut < -uv)))
82	77, 78, 81	rexxfr 3841	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z e. RR (z e. A /\ z < -uv) <-> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))
83		df-rex 2110	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z e. RR (z e. A /\ z < -uv) <-> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ z < -uv)))
84	82, 83	bitr3i 192	. . . . . . . . . 10 |- (E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv) <-> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ z < -uv)))
85	75, 76, 84	3bitr4g 614	. . . . . . . . 9 |- (A C_ RR -> (E.z e. A z < -uv <-> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv)))
86	85	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (A C_ RR -> ((x < -uv -> E.z e. A z < -uv) <-> (x < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))))
87	86	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (A C_ RR -> (A.v e. RR (x < -uv -> E.z e. A z < -uv) <-> A.v e. RR (x < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))))
88		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (y = -uv -> (x < y <-> x < -uv))
89		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (y = -uv -> (z < y <-> z < -uv))
90	89	rexbidv 2124	. . . . . . . . 9 |- (y = -uv -> (E.z e. A z < y <-> E.z e. A z < -uv))
91	88, 90	imbi12d 688	. . . . . . . 8 |- (y = -uv -> ((x < y -> E.z e. A z < y) <-> (x < -uv -> E.z e. A z < -uv)))
92	21, 22, 91	ralxfr 3839	. . . . . . 7 |- (A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y) <-> A.v e. RR (x < -uv -> E.z e. A z < -uv))
93	87, 92	syl5bb 591	. . . . . 6 |- (A C_ RR -> (A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y) <-> A.v e. RR (x < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))))
94	71, 93	anbi12d 690	. . . . 5 |- (A C_ RR -> ((A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)) <-> (A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < x) /\ A.v e. RR (x < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv)))))
95	94	rexbidv 2124	. . . 4 |- (A C_ RR -> (E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)) <-> E.x e. RR (A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < x) /\ A.v e. RR (x < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv)))))
96		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (x = -uu -> (-uv < x <-> -uv < -uu))
97	96	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- (x = -uu -> (-. -uv < x <-> -. -uv < -uu))
98	97	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (x = -uu -> ((-uv e. A -> -. -uv < x) <-> (-uv e. A -> -. -uv < -uu)))
99	98	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (x = -uu -> (A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < x) <-> A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < -uu)))
100		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (x = -uu -> (x < -uv <-> -uu < -uv))
101	100	imbi1d 675	. . . . . . . 8 |- (x = -uu -> ((x < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv)) <-> (-uu < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))))
102	101	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (x = -uu -> (A.v e. RR (x < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv)) <-> A.v e. RR (-uu < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))))
103	99, 102	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (x = -uu -> ((A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < x) /\ A.v e. RR (x < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))) <-> (A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < -uu) /\ A.v e. RR (-uu < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv)))))
104	31, 32, 103	rexxfr 3841	. . . . 5 |- (E.x e. RR (A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < x) /\ A.v e. RR (x < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))) <-> E.u e. RR (A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < -uu) /\ A.v e. RR (-uu < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))))
105		ltneg 6844	. . . . . . . . . . 11 |- ((u e. RR /\ v e. RR) -> (u < v <-> -uv < -uu))
106	105	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- ((u e. RR /\ v e. RR) -> (-. u < v <-> -. -uv < -uu))
107	106	imbi2d 674	. . . . . . . . 9 |- ((u e. RR /\ v e. RR) -> ((-uv e. A -> -. u < v) <-> (-uv e. A -> -. -uv < -uu)))
108	107	ralbidva 2119	. . . . . . . 8 |- (u e. RR -> (A.v e. RR (-uv e. A -> -. u < v) <-> A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < -uu)))
109	43	imbi1i 203	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. {w e. RR | -uw e. A} -> -. u < v) <-> ((v e. RR /\ -uv e. A) -> -. u < v))
110		impexp 374	. . . . . . . . . . 11 |- (((v e. RR /\ -uv e. A) -> -. u < v) <-> (v e. RR -> (-uv e. A -> -. u < v)))
111	109, 110	bitri 190	. . . . . . . . . 10 |- ((v e. {w e. RR | -uw e. A} -> -. u < v) <-> (v e. RR -> (-uv e. A -> -. u < v)))
112	111	albii 1346	. . . . . . . . 9 |- (A.v(v e. {w e. RR | -uw e. A} -> -. u < v) <-> A.v(v e. RR -> (-uv e. A -> -. u < v)))
113		df-ral 2109	. . . . . . . . 9 |- (A.v e. {w e. RR | -uw e. A} -. u < v <-> A.v(v e. {w e. RR | -uw e. A} -> -. u < v))
114		df-ral 2109	. . . . . . . . 9 |- (A.v e. RR (-uv e. A -> -. u < v) <-> A.v(v e. RR -> (-uv e. A -> -. u < v)))
115	112, 113, 114	3bitr4ri 201	. . . . . . . 8 |- (A.v e. RR (-uv e. A -> -. u < v) <-> A.v e. {w e. RR | -uw e. A} -. u < v)
116	108, 115	syl5bbr 593	. . . . . . 7 |- (u e. RR -> (A.v e. {w e. RR | -uw e. A} -. u < v <-> A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < -uu)))
117		ltneg 6844	. . . . . . . . . 10 |- ((v e. RR /\ u e. RR) -> (v < u <-> -uu < -uv))
118	117	ancoms 484	. . . . . . . . 9 |- ((u e. RR /\ v e. RR) -> (v < u <-> -uu < -uv))
119		ltneg 6844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((v e. RR /\ t e. RR) -> (v < t <-> -ut < -uv))
120	119	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . 12 |- ((v e. RR /\ t e. RR) -> ((-ut e. A /\ v < t) <-> (-ut e. A /\ -ut < -uv)))
121	120	rexbidva 2120	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. RR -> (E.t e. RR (-ut e. A /\ v < t) <-> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv)))
122		negeq 6514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = t -> -uw = -ut)
123	122	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = t -> (-uw e. A <-> -ut e. A))
124	123	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. {w e. RR | -uw e. A} <-> (t e. RR /\ -ut e. A))
125	124	anbi1i 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((t e. {w e. RR | -uw e. A} /\ v < t) <-> ((t e. RR /\ -ut e. A) /\ v < t))
126		anass 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t e. RR /\ -ut e. A) /\ v < t) <-> (t e. RR /\ (-ut e. A /\ v < t)))
127	125, 126	bitri 190	. . . . . . . . . . . 12 |- ((t e. {w e. RR | -uw e. A} /\ v < t) <-> (t e. RR /\ (-ut e. A /\ v < t)))
128	127	rexbii2 2132	. . . . . . . . . . 11 |- (E.t e. {w e. RR | -uw e. A}v < t <-> E.t e. RR (-ut e. A /\ v < t))
129	121, 128	syl5bb 591	. . . . . . . . . 10 |- (v e. RR -> (E.t e. {w e. RR | -uw e. A}v < t <-> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv)))
130	129	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((u e. RR /\ v e. RR) -> (E.t e. {w e. RR | -uw e. A}v < t <-> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv)))
131	118, 130	imbi12d 688	. . . . . . . 8 |- ((u e. RR /\ v e. RR) -> ((v < u -> E.t e. {w e. RR | -uw e. A}v < t) <-> (-uu < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))))
132	131	ralbidva 2119	. . . . . . 7 |- (u e. RR -> (A.v e. RR (v < u -> E.t e. {w e. RR | -uw e. A}v < t) <-> A.v e. RR (-uu < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))))
133	116, 132	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (u e. RR -> ((A.v e. {w e. RR | -uw e. A} -. u < v /\ A.v e. RR (v < u -> E.t e. {w e. RR | -uw e. A}v < t)) <-> (A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < -uu) /\ A.v e. RR (-uu < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv)))))
134	133	rexbiia 2134	. . . . 5 |- (E.u e. RR (A.v e. {w e. RR | -uw e. A} -. u < v /\ A.v e. RR (v < u -> E.t e. {w e. RR | -uw e. A}v < t)) <-> E.u e. RR (A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < -uu) /\ A.v e. RR (-uu < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))))
135	104, 134	bitr4i 193	. . . 4 |- (E.x e. RR (A.v e. RR (-uv e. A -> -. -uv < x) /\ A.v e. RR (x < -uv -> E.t e. RR (-ut e. A /\ -ut < -uv))) <-> E.u e. RR (A.v e. {w e. RR | -uw e. A} -. u < v /\ A.v e. RR (v < u -> E.t e. {w e. RR | -uw e. A}v < t)))
136	95, 135	syl6bb 595	. . 3 |- (A C_ RR -> (E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)) <-> E.u e. RR (A.v e. {w e. RR | -uw e. A} -. u < v /\ A.v e. RR (v < u -> E.t e. {w e. RR | -uw e. A}v < t))))
137	59, 136	sylibrd 221	. 2 |- (A C_ RR -> ((A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))))
138	137	3impib 1065	1 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.x e. RR (A.y e. A -. y < x /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  RRcr 6385  -ucneg 6446   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem is referenced by:  infmsup 7277  xrinfmsslem 7286  infmrlb 15765  infmrgelb 15766

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain