Theorem infm3 10393

Description: The completeness axiom for reals in terms of infimum: a nonempty, bounded-below set of reals has an infimum. (This theorem is the dual of sup3 10391.) (Contributed by NM, 14-Jun-2005.)

Assertion

Ref	Expression
infm3	|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem infm3

Dummy variables w v u t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3451	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( v e. A -> v e. RR ) )
2	1	pm4.71rd 635	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> ( v e. A <-> ( v e. RR /\ v e. A ) ) )
3	2	exbidv 1681	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR -> ( E. v v e. A <-> E. v ( v e. RR /\ v e. A ) ) )
4		df-rex 2801	. . . . . . . 8 |- ( E. v e. RR v e. A <-> E. v ( v e. RR /\ v e. A ) )
5		renegcl 9776	. . . . . . . . 9 |- ( w e. RR -> -u w e. RR )
6		infm3lem 10392	. . . . . . . . 9 |- ( v e. RR -> E. w e. RR v = -u w )
7		eleq1 2523	. . . . . . . . 9 |- ( v = -u w -> ( v e. A <-> -u w e. A ) )
8	5, 6, 7	rexxfr 4613	. . . . . . . 8 |- ( E. v e. RR v e. A <-> E. w e. RR -u w e. A )
9	4, 8	bitr3i 251	. . . . . . 7 |- ( E. v ( v e. RR /\ v e. A ) <-> E. w e. RR -u w e. A )
10	3, 9	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( E. v v e. A <-> E. w e. RR -u w e. A ) )
11		n0 3747	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) <-> E. v v e. A )
12		rabn0 3758	. . . . . 6 |- ( { w e. RR | -u w e. A } =/= (/) <-> E. w e. RR -u w e. A )
13	10, 11, 12	3bitr4g 288	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( A =/= (/) <-> { w e. RR | -u w e. A } =/= (/) ) )
14		ssel 3451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ RR -> ( y e. A -> y e. RR ) )
15	14	pm4.71rd 635	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ RR -> ( y e. A <-> ( y e. RR /\ y e. A ) ) )
16	15	imbi1d 317	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ RR -> ( ( y e. A -> x <_ y ) <-> ( ( y e. RR /\ y e. A ) -> x <_ y ) ) )
17		impexp 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. RR /\ y e. A ) -> x <_ y ) <-> ( y e. RR -> ( y e. A -> x <_ y ) ) )
18	16, 17	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( ( y e. A -> x <_ y ) <-> ( y e. RR -> ( y e. A -> x <_ y ) ) ) )
19	18	albidv 1680	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> ( A. y ( y e. A -> x <_ y ) <-> A. y ( y e. RR -> ( y e. A -> x <_ y ) ) ) )
20		df-ral 2800	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A x <_ y <-> A. y ( y e. A -> x <_ y ) )
21		renegcl 9776	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. RR -> -u v e. RR )
22		infm3lem 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> E. v e. RR y = -u v )
23		eleq1 2523	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = -u v -> ( y e. A <-> -u v e. A ) )
24		breq2 4397	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = -u v -> ( x <_ y <-> x <_ -u v ) )
25	23, 24	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( y = -u v -> ( ( y e. A -> x <_ y ) <-> ( -u v e. A -> x <_ -u v ) ) )
26	21, 22, 25	ralxfr 4611	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. RR ( y e. A -> x <_ y ) <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) )
27		df-ral 2800	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. RR ( y e. A -> x <_ y ) <-> A. y ( y e. RR -> ( y e. A -> x <_ y ) ) )
28	26, 27	bitr3i 251	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) <-> A. y ( y e. RR -> ( y e. A -> x <_ y ) ) )
29	19, 20, 28	3bitr4g 288	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) ) )
30	29	rexbidv 2855	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. x e. RR A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) ) )
31		renegcl 9776	. . . . . . . 8 |- ( u e. RR -> -u u e. RR )
32		infm3lem 10392	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> E. u e. RR x = -u u )
33		breq1 4396	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u u -> ( x <_ -u v <-> -u u <_ -u v ) )
34	33	imbi2d 316	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u u -> ( ( -u v e. A -> x <_ -u v ) <-> ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) ) )
35	34	ralbidv 2841	. . . . . . . 8 |- ( x = -u u -> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) ) )
36	31, 32, 35	rexxfr 4613	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) <-> E. u e. RR A. v e. RR ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) )
37		negeq 9706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = v -> -u w = -u v )
38	37	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = v -> ( -u w e. A <-> -u v e. A ) )
39	38	elrab 3217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. { w e. RR | -u w e. A } <-> ( v e. RR /\ -u v e. A ) )
40	39	imbi1i 325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> v <_ u ) <-> ( ( v e. RR /\ -u v e. A ) -> v <_ u ) )
41		impexp 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. RR /\ -u v e. A ) -> v <_ u ) <-> ( v e. RR -> ( -u v e. A -> v <_ u ) ) )
42	40, 41	bitri 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> v <_ u ) <-> ( v e. RR -> ( -u v e. A -> v <_ u ) ) )
43	42	albii 1611	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> v <_ u ) <-> A. v ( v e. RR -> ( -u v e. A -> v <_ u ) ) )
44		df-ral 2800	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u <-> A. v ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> v <_ u ) )
45		df-ral 2800	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. RR ( -u v e. A -> v <_ u ) <-> A. v ( v e. RR -> ( -u v e. A -> v <_ u ) ) )
46	43, 44, 45	3bitr4ri 278	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. RR ( -u v e. A -> v <_ u ) <-> A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u )
47		leneg 9946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. RR /\ u e. RR ) -> ( v <_ u <-> -u u <_ -u v ) )
48	47	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( v <_ u <-> -u u <_ -u v ) )
49	48	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( ( -u v e. A -> v <_ u ) <-> ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) ) )
50	49	ralbidva 2839	. . . . . . . . 9 |- ( u e. RR -> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> v <_ u ) <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) ) )
51	46, 50	syl5bbr 259	. . . . . . . 8 |- ( u e. RR -> ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) ) )
52	51	rexbiia 2863	. . . . . . 7 |- ( E. u e. RR A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u <-> E. u e. RR A. v e. RR ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) )
53	36, 52	bitr4i 252	. . . . . 6 |- ( E. x e. RR A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) <-> E. u e. RR A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u )
54	30, 53	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. u e. RR A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u ) )
55	13, 54	anbi12d 710	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( ( A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) <-> ( { w e. RR | -u w e. A } =/= (/) /\ E. u e. RR A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u ) ) )
56		ssrab2 3538	. . . . 5 |- { w e. RR | -u w e. A } C_ RR
57		sup3 10391	. . . . 5 |- ( ( { w e. RR | -u w e. A } C_ RR /\ { w e. RR | -u w e. A } =/= (/) /\ E. u e. RR A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u ) -> E. u e. RR ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) )
58	56, 57	mp3an1 1302	. . . 4 |- ( ( { w e. RR | -u w e. A } =/= (/) /\ E. u e. RR A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u ) -> E. u e. RR ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) )
59	55, 58	syl6bi 228	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( ( A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> E. u e. RR ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) ) )
60	15	imbi1d 317	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( ( y e. A -> -. y < x ) <-> ( ( y e. RR /\ y e. A ) -> -. y < x ) ) )
61		impexp 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. RR /\ y e. A ) -> -. y < x ) <-> ( y e. RR -> ( y e. A -> -. y < x ) ) )
62	60, 61	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> ( ( y e. A -> -. y < x ) <-> ( y e. RR -> ( y e. A -> -. y < x ) ) ) )
63	62	albidv 1680	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR -> ( A. y ( y e. A -> -. y < x ) <-> A. y ( y e. RR -> ( y e. A -> -. y < x ) ) ) )
64		df-ral 2800	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A -. y < x <-> A. y ( y e. A -> -. y < x ) )
65		breq1 4396	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = -u v -> ( y < x <-> -u v < x ) )
66	65	notbid 294	. . . . . . . . . 10 |- ( y = -u v -> ( -. y < x <-> -. -u v < x ) )
67	23, 66	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( y = -u v -> ( ( y e. A -> -. y < x ) <-> ( -u v e. A -> -. -u v < x ) ) )
68	21, 22, 67	ralxfr 4611	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. RR ( y e. A -> -. y < x ) <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) )
69		df-ral 2800	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. RR ( y e. A -> -. y < x ) <-> A. y ( y e. RR -> ( y e. A -> -. y < x ) ) )
70	68, 69	bitr3i 251	. . . . . . 7 |- ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) <-> A. y ( y e. RR -> ( y e. A -> -. y < x ) ) )
71	63, 64, 70	3bitr4g 288	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( A. y e. A -. y < x <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) ) )
72		breq2 4397	. . . . . . . . 9 |- ( y = -u v -> ( x < y <-> x < -u v ) )
73		breq2 4397	. . . . . . . . . 10 |- ( y = -u v -> ( z < y <-> z < -u v ) )
74	73	rexbidv 2855	. . . . . . . . 9 |- ( y = -u v -> ( E. z e. A z < y <-> E. z e. A z < -u v ) )
75	72, 74	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( y = -u v -> ( ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( x < -u v -> E. z e. A z < -u v ) ) )
76	21, 22, 75	ralxfr 4611	. . . . . . 7 |- ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. v e. RR ( x < -u v -> E. z e. A z < -u v ) )
77		ssel 3451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ RR -> ( z e. A -> z e. RR ) )
78	77	adantrd 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ RR -> ( ( z e. A /\ z < -u v ) -> z e. RR ) )
79	78	pm4.71rd 635	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ RR -> ( ( z e. A /\ z < -u v ) <-> ( z e. RR /\ ( z e. A /\ z < -u v ) ) ) )
80	79	exbidv 1681	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ RR -> ( E. z ( z e. A /\ z < -u v ) <-> E. z ( z e. RR /\ ( z e. A /\ z < -u v ) ) ) )
81		df-rex 2801	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A z < -u v <-> E. z ( z e. A /\ z < -u v ) )
82		renegcl 9776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. RR -> -u t e. RR )
83		infm3lem 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR -> E. t e. RR z = -u t )
84		eleq1 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = -u t -> ( z e. A <-> -u t e. A ) )
85		breq1 4396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = -u t -> ( z < -u v <-> -u t < -u v ) )
86	84, 85	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = -u t -> ( ( z e. A /\ z < -u v ) <-> ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) )
87	82, 83, 86	rexxfr 4613	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. RR ( z e. A /\ z < -u v ) <-> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) )
88		df-rex 2801	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. RR ( z e. A /\ z < -u v ) <-> E. z ( z e. RR /\ ( z e. A /\ z < -u v ) ) )
89	87, 88	bitr3i 251	. . . . . . . . . 10 |- ( E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) <-> E. z ( z e. RR /\ ( z e. A /\ z < -u v ) ) )
90	80, 81, 89	3bitr4g 288	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( E. z e. A z < -u v <-> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) )
91	90	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> ( ( x < -u v -> E. z e. A z < -u v ) <-> ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
92	91	ralbidv 2841	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR -> ( A. v e. RR ( x < -u v -> E. z e. A z < -u v ) <-> A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
93	76, 92	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
94	71, 93	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) /\ A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) ) )
95	94	rexbidv 2855	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) /\ A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) ) )
96		breq2 4397	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u u -> ( -u v < x <-> -u v < -u u ) )
97	96	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u u -> ( -. -u v < x <-> -. -u v < -u u ) )
98	97	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( x = -u u -> ( ( -u v e. A -> -. -u v < x ) <-> ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) ) )
99	98	ralbidv 2841	. . . . . . 7 |- ( x = -u u -> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) ) )
100		breq1 4396	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u u -> ( x < -u v <-> -u u < -u v ) )
101	100	imbi1d 317	. . . . . . . 8 |- ( x = -u u -> ( ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) <-> ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
102	101	ralbidv 2841	. . . . . . 7 |- ( x = -u u -> ( A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) <-> A. v e. RR ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
103	99, 102	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( x = -u u -> ( ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) /\ A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) <-> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) /\ A. v e. RR ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) ) )
104	31, 32, 103	rexxfr 4613	. . . . 5 |- ( E. x e. RR ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) /\ A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) <-> E. u e. RR ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) /\ A. v e. RR ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
105	39	imbi1i 325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> -. u < v ) <-> ( ( v e. RR /\ -u v e. A ) -> -. u < v ) )
106		impexp 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. RR /\ -u v e. A ) -> -. u < v ) <-> ( v e. RR -> ( -u v e. A -> -. u < v ) ) )
107	105, 106	bitri 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> -. u < v ) <-> ( v e. RR -> ( -u v e. A -> -. u < v ) ) )
108	107	albii 1611	. . . . . . . . 9 |- ( A. v ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> -. u < v ) <-> A. v ( v e. RR -> ( -u v e. A -> -. u < v ) ) )
109		df-ral 2800	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v <-> A. v ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> -. u < v ) )
110		df-ral 2800	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. u < v ) <-> A. v ( v e. RR -> ( -u v e. A -> -. u < v ) ) )
111	108, 109, 110	3bitr4ri 278	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. u < v ) <-> A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v )
112		ltneg 9943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( u < v <-> -u v < -u u ) )
113	112	notbid 294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( -. u < v <-> -. -u v < -u u ) )
114	113	imbi2d 316	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( ( -u v e. A -> -. u < v ) <-> ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) ) )
115	114	ralbidva 2839	. . . . . . . 8 |- ( u e. RR -> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. u < v ) <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) ) )
116	111, 115	syl5bbr 259	. . . . . . 7 |- ( u e. RR -> ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) ) )
117		ltneg 9943	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. RR /\ u e. RR ) -> ( v < u <-> -u u < -u v ) )
118	117	ancoms 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( v < u <-> -u u < -u v ) )
119		negeq 9706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = t -> -u w = -u t )
120	119	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = t -> ( -u w e. A <-> -u t e. A ) )
121	120	rexrab 3223	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t <-> E. t e. RR ( -u t e. A /\ v < t ) )
122		ltneg 9943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. RR /\ t e. RR ) -> ( v < t <-> -u t < -u v ) )
123	122	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. RR /\ t e. RR ) -> ( ( -u t e. A /\ v < t ) <-> ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) )
124	123	rexbidva 2852	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. RR -> ( E. t e. RR ( -u t e. A /\ v < t ) <-> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) )
125	121, 124	syl5bb 257	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. RR -> ( E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t <-> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) )
126	125	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t <-> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) )
127	118, 126	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) <-> ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
128	127	ralbidva 2839	. . . . . . 7 |- ( u e. RR -> ( A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) <-> A. v e. RR ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
129	116, 128	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( u e. RR -> ( ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) <-> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) /\ A. v e. RR ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) ) )
130	129	rexbiia 2863	. . . . 5 |- ( E. u e. RR ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) <-> E. u e. RR ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) /\ A. v e. RR ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
131	104, 130	bitr4i 252	. . . 4 |- ( E. x e. RR ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) /\ A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) <-> E. u e. RR ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) )
132	95, 131	syl6bb 261	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. u e. RR ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) ) )
133	59, 132	sylibrd 234	. 2 |- ( A C_ RR -> ( ( A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
134	133	3impib 1186	1 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1368   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   C_ wss 3429   (/)c0 3738   class class class wbr 4393   RRcr 9385   < clt 9522   <_ cle 9523   -ucneg 9700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702

This theorem is referenced by:  infmsup  10412  infmrgelb  10414  infmrlb  10415  xrinfmsslem  11374  gtinf  28655  infrglb  29912