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Theorem infm3 10568
 Description: The completeness axiom for reals in terms of infimum: a nonempty, bounded-below set of reals has an infimum. (This theorem is the dual of sup3 10566.) (Contributed by NM, 14-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
infm3
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem infm3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3426 . . . . . . . . 9
21pm4.71rd 641 . . . . . . . 8
32exbidv 1768 . . . . . . 7
4 df-rex 2743 . . . . . . . 8
5 renegcl 9937 . . . . . . . . 9
6 infm3lem 10567 . . . . . . . . 9
7 eleq1 2517 . . . . . . . . 9
85, 6, 7rexxfr 4620 . . . . . . . 8
94, 8bitr3i 255 . . . . . . 7
103, 9syl6bb 265 . . . . . 6
11 n0 3741 . . . . . 6
12 rabn0 3752 . . . . . 6
1310, 11, 123bitr4g 292 . . . . 5
14 ssel 3426 . . . . . . . . . . . 12
1514pm4.71rd 641 . . . . . . . . . . 11
1615imbi1d 319 . . . . . . . . . 10
17 impexp 448 . . . . . . . . . 10
1816, 17syl6bb 265 . . . . . . . . 9
1918albidv 1767 . . . . . . . 8
20 df-ral 2742 . . . . . . . 8
21 renegcl 9937 . . . . . . . . . 10
22 infm3lem 10567 . . . . . . . . . 10
23 eleq1 2517 . . . . . . . . . . 11
24 breq2 4406 . . . . . . . . . . 11
2523, 24imbi12d 322 . . . . . . . . . 10
2621, 22, 25ralxfr 4618 . . . . . . . . 9
27 df-ral 2742 . . . . . . . . 9
2826, 27bitr3i 255 . . . . . . . 8
2919, 20, 283bitr4g 292 . . . . . . 7
3029rexbidv 2901 . . . . . 6
31 renegcl 9937 . . . . . . . 8
32 infm3lem 10567 . . . . . . . 8
33 breq1 4405 . . . . . . . . . 10
3433imbi2d 318 . . . . . . . . 9
3534ralbidv 2827 . . . . . . . 8
3631, 32, 35rexxfr 4620 . . . . . . 7
37 negeq 9867 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14
3938elrab 3196 . . . . . . . . . . . . 13
4039imbi1i 327 . . . . . . . . . . . 12
41 impexp 448 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41bitri 253 . . . . . . . . . . 11
4342albii 1691 . . . . . . . . . 10
44 df-ral 2742 . . . . . . . . . 10
45 df-ral 2742 . . . . . . . . . 10
4643, 44, 453bitr4ri 282 . . . . . . . . 9
47 leneg 10117 . . . . . . . . . . . 12
4847ancoms 455 . . . . . . . . . . 11
4948imbi2d 318 . . . . . . . . . 10
5049ralbidva 2824 . . . . . . . . 9
5146, 50syl5bbr 263 . . . . . . . 8
5251rexbiia 2888 . . . . . . 7
5336, 52bitr4i 256 . . . . . 6
5430, 53syl6bb 265 . . . . 5
5513, 54anbi12d 717 . . . 4
56 ssrab2 3514 . . . . 5
57 sup3 10566 . . . . 5
5856, 57mp3an1 1351 . . . 4
5955, 58syl6bi 232 . . 3
6015imbi1d 319 . . . . . . . . 9
61 impexp 448 . . . . . . . . 9
6260, 61syl6bb 265 . . . . . . . 8
6362albidv 1767 . . . . . . 7
64 df-ral 2742 . . . . . . 7
65 breq1 4405 . . . . . . . . . . 11
6665notbid 296 . . . . . . . . . 10
6723, 66imbi12d 322 . . . . . . . . 9
6821, 22, 67ralxfr 4618 . . . . . . . 8
69 df-ral 2742 . . . . . . . 8
7068, 69bitr3i 255 . . . . . . 7
7163, 64, 703bitr4g 292 . . . . . 6
72 breq2 4406 . . . . . . . . 9
73 breq2 4406 . . . . . . . . . 10
7473rexbidv 2901 . . . . . . . . 9
7572, 74imbi12d 322 . . . . . . . 8
7621, 22, 75ralxfr 4618 . . . . . . 7
77 ssel 3426 . . . . . . . . . . . . 13
7877adantrd 470 . . . . . . . . . . . 12
7978pm4.71rd 641 . . . . . . . . . . 11
8079exbidv 1768 . . . . . . . . . 10
81 df-rex 2743 . . . . . . . . . 10
82 renegcl 9937 . . . . . . . . . . . 12
83 infm3lem 10567 . . . . . . . . . . . 12
84 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13
85 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . 13
8684, 85anbi12d 717 . . . . . . . . . . . 12
8782, 83, 86rexxfr 4620 . . . . . . . . . . 11
88 df-rex 2743 . . . . . . . . . . 11
8987, 88bitr3i 255 . . . . . . . . . 10
9080, 81, 893bitr4g 292 . . . . . . . . 9
9190imbi2d 318 . . . . . . . 8
9291ralbidv 2827 . . . . . . 7
9376, 92syl5bb 261 . . . . . 6
9471, 93anbi12d 717 . . . . 5
9594rexbidv 2901 . . . 4
96 breq2 4406 . . . . . . . . . 10
9796notbid 296 . . . . . . . . 9
9897imbi2d 318 . . . . . . . 8
9998ralbidv 2827 . . . . . . 7
100 breq1 4405 . . . . . . . . 9
101100imbi1d 319 . . . . . . . 8
102101ralbidv 2827 . . . . . . 7
10399, 102anbi12d 717 . . . . . 6
10431, 32, 103rexxfr 4620 . . . . 5
10539imbi1i 327 . . . . . . . . . . 11
106 impexp 448 . . . . . . . . . . 11
107105, 106bitri 253 . . . . . . . . . 10
108107albii 1691 . . . . . . . . 9
109 df-ral 2742 . . . . . . . . 9
110 df-ral 2742 . . . . . . . . 9
111108, 109, 1103bitr4ri 282 . . . . . . . 8
112 ltneg 10114 . . . . . . . . . . 11
113112notbid 296 . . . . . . . . . 10
114113imbi2d 318 . . . . . . . . 9
115114ralbidva 2824 . . . . . . . 8
116111, 115syl5bbr 263 . . . . . . 7
117 ltneg 10114 . . . . . . . . . 10
118117ancoms 455 . . . . . . . . 9
119 negeq 9867 . . . . . . . . . . . . 13
120119eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . 12
121120rexrab 3202 . . . . . . . . . . 11
122 ltneg 10114 . . . . . . . . . . . . 13
123122anbi2d 710 . . . . . . . . . . . 12
124123rexbidva 2898 . . . . . . . . . . 11
125121, 124syl5bb 261 . . . . . . . . . 10
126125adantl 468 . . . . . . . . 9
127118, 126imbi12d 322 . . . . . . . 8
128127ralbidva 2824 . . . . . . 7
129116, 128anbi12d 717 . . . . . 6
130129rexbiia 2888 . . . . 5
131104, 130bitr4i 256 . . . 4
13295, 131syl6bb 265 . . 3
13359, 132sylibrd 238 . 2
1341333impib 1206 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985  wal 1442   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  crab 2741   wss 3404  c0 3731   class class class wbr 4402  cr 9538   clt 9675   cle 9676  cneg 9861 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863 This theorem is referenced by:  infrecl  10590  infrenegsup  10591  infmsupOLD  10592  infregelb  10594  infmrgelbOLD  10595  infrelb  10596  infmrlbOLD  10597  xrinfmsslem  11593  gtinf  30975  infrglb  37668  infrglbOLD  37669
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