Theorem infm3 10497

Description: The completeness axiom for reals in terms of infimum: a nonempty, bounded-below set of reals has an infimum. (This theorem is the dual of sup3 10495.) (Contributed by NM, 14-Jun-2005.)

Assertion

Ref	Expression
infm3	|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem infm3

Dummy variables w v u t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3483	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( v e. A -> v e. RR ) )
2	1	pm4.71rd 633	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> ( v e. A <-> ( v e. RR /\ v e. A ) ) )
3	2	exbidv 1719	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR -> ( E. v v e. A <-> E. v ( v e. RR /\ v e. A ) ) )
4		df-rex 2810	. . . . . . . 8 |- ( E. v e. RR v e. A <-> E. v ( v e. RR /\ v e. A ) )
5		renegcl 9873	. . . . . . . . 9 |- ( w e. RR -> -u w e. RR )
6		infm3lem 10496	. . . . . . . . 9 |- ( v e. RR -> E. w e. RR v = -u w )
7		eleq1 2526	. . . . . . . . 9 |- ( v = -u w -> ( v e. A <-> -u w e. A ) )
8	5, 6, 7	rexxfr 4657	. . . . . . . 8 |- ( E. v e. RR v e. A <-> E. w e. RR -u w e. A )
9	4, 8	bitr3i 251	. . . . . . 7 |- ( E. v ( v e. RR /\ v e. A ) <-> E. w e. RR -u w e. A )
10	3, 9	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( E. v v e. A <-> E. w e. RR -u w e. A ) )
11		n0 3793	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) <-> E. v v e. A )
12		rabn0 3804	. . . . . 6 |- ( { w e. RR | -u w e. A } =/= (/) <-> E. w e. RR -u w e. A )
13	10, 11, 12	3bitr4g 288	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( A =/= (/) <-> { w e. RR | -u w e. A } =/= (/) ) )
14		ssel 3483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ RR -> ( y e. A -> y e. RR ) )
15	14	pm4.71rd 633	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ RR -> ( y e. A <-> ( y e. RR /\ y e. A ) ) )
16	15	imbi1d 315	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ RR -> ( ( y e. A -> x <_ y ) <-> ( ( y e. RR /\ y e. A ) -> x <_ y ) ) )
17		impexp 444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. RR /\ y e. A ) -> x <_ y ) <-> ( y e. RR -> ( y e. A -> x <_ y ) ) )
18	16, 17	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( ( y e. A -> x <_ y ) <-> ( y e. RR -> ( y e. A -> x <_ y ) ) ) )
19	18	albidv 1718	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> ( A. y ( y e. A -> x <_ y ) <-> A. y ( y e. RR -> ( y e. A -> x <_ y ) ) ) )
20		df-ral 2809	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A x <_ y <-> A. y ( y e. A -> x <_ y ) )
21		renegcl 9873	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. RR -> -u v e. RR )
22		infm3lem 10496	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> E. v e. RR y = -u v )
23		eleq1 2526	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = -u v -> ( y e. A <-> -u v e. A ) )
24		breq2 4443	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = -u v -> ( x <_ y <-> x <_ -u v ) )
25	23, 24	imbi12d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( y = -u v -> ( ( y e. A -> x <_ y ) <-> ( -u v e. A -> x <_ -u v ) ) )
26	21, 22, 25	ralxfr 4655	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. RR ( y e. A -> x <_ y ) <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) )
27		df-ral 2809	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. RR ( y e. A -> x <_ y ) <-> A. y ( y e. RR -> ( y e. A -> x <_ y ) ) )
28	26, 27	bitr3i 251	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) <-> A. y ( y e. RR -> ( y e. A -> x <_ y ) ) )
29	19, 20, 28	3bitr4g 288	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) ) )
30	29	rexbidv 2965	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. x e. RR A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) ) )
31		renegcl 9873	. . . . . . . 8 |- ( u e. RR -> -u u e. RR )
32		infm3lem 10496	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> E. u e. RR x = -u u )
33		breq1 4442	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u u -> ( x <_ -u v <-> -u u <_ -u v ) )
34	33	imbi2d 314	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u u -> ( ( -u v e. A -> x <_ -u v ) <-> ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) ) )
35	34	ralbidv 2893	. . . . . . . 8 |- ( x = -u u -> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) ) )
36	31, 32, 35	rexxfr 4657	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) <-> E. u e. RR A. v e. RR ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) )
37		negeq 9803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = v -> -u w = -u v )
38	37	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = v -> ( -u w e. A <-> -u v e. A ) )
39	38	elrab 3254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. { w e. RR | -u w e. A } <-> ( v e. RR /\ -u v e. A ) )
40	39	imbi1i 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> v <_ u ) <-> ( ( v e. RR /\ -u v e. A ) -> v <_ u ) )
41		impexp 444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. RR /\ -u v e. A ) -> v <_ u ) <-> ( v e. RR -> ( -u v e. A -> v <_ u ) ) )
42	40, 41	bitri 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> v <_ u ) <-> ( v e. RR -> ( -u v e. A -> v <_ u ) ) )
43	42	albii 1645	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> v <_ u ) <-> A. v ( v e. RR -> ( -u v e. A -> v <_ u ) ) )
44		df-ral 2809	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u <-> A. v ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> v <_ u ) )
45		df-ral 2809	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. RR ( -u v e. A -> v <_ u ) <-> A. v ( v e. RR -> ( -u v e. A -> v <_ u ) ) )
46	43, 44, 45	3bitr4ri 278	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. RR ( -u v e. A -> v <_ u ) <-> A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u )
47		leneg 10051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. RR /\ u e. RR ) -> ( v <_ u <-> -u u <_ -u v ) )
48	47	ancoms 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( v <_ u <-> -u u <_ -u v ) )
49	48	imbi2d 314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( ( -u v e. A -> v <_ u ) <-> ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) ) )
50	49	ralbidva 2890	. . . . . . . . 9 |- ( u e. RR -> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> v <_ u ) <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) ) )
51	46, 50	syl5bbr 259	. . . . . . . 8 |- ( u e. RR -> ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) ) )
52	51	rexbiia 2955	. . . . . . 7 |- ( E. u e. RR A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u <-> E. u e. RR A. v e. RR ( -u v e. A -> -u u <_ -u v ) )
53	36, 52	bitr4i 252	. . . . . 6 |- ( E. x e. RR A. v e. RR ( -u v e. A -> x <_ -u v ) <-> E. u e. RR A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u )
54	30, 53	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. u e. RR A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u ) )
55	13, 54	anbi12d 708	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( ( A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) <-> ( { w e. RR | -u w e. A } =/= (/) /\ E. u e. RR A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u ) ) )
56		ssrab2 3571	. . . . 5 |- { w e. RR | -u w e. A } C_ RR
57		sup3 10495	. . . . 5 |- ( ( { w e. RR | -u w e. A } C_ RR /\ { w e. RR | -u w e. A } =/= (/) /\ E. u e. RR A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u ) -> E. u e. RR ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) )
58	56, 57	mp3an1 1309	. . . 4 |- ( ( { w e. RR | -u w e. A } =/= (/) /\ E. u e. RR A. v e. { w e. RR | -u w e. A } v <_ u ) -> E. u e. RR ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) )
59	55, 58	syl6bi 228	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( ( A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> E. u e. RR ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) ) )
60	15	imbi1d 315	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( ( y e. A -> -. y < x ) <-> ( ( y e. RR /\ y e. A ) -> -. y < x ) ) )
61		impexp 444	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. RR /\ y e. A ) -> -. y < x ) <-> ( y e. RR -> ( y e. A -> -. y < x ) ) )
62	60, 61	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> ( ( y e. A -> -. y < x ) <-> ( y e. RR -> ( y e. A -> -. y < x ) ) ) )
63	62	albidv 1718	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR -> ( A. y ( y e. A -> -. y < x ) <-> A. y ( y e. RR -> ( y e. A -> -. y < x ) ) ) )
64		df-ral 2809	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A -. y < x <-> A. y ( y e. A -> -. y < x ) )
65		breq1 4442	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = -u v -> ( y < x <-> -u v < x ) )
66	65	notbid 292	. . . . . . . . . 10 |- ( y = -u v -> ( -. y < x <-> -. -u v < x ) )
67	23, 66	imbi12d 318	. . . . . . . . 9 |- ( y = -u v -> ( ( y e. A -> -. y < x ) <-> ( -u v e. A -> -. -u v < x ) ) )
68	21, 22, 67	ralxfr 4655	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. RR ( y e. A -> -. y < x ) <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) )
69		df-ral 2809	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. RR ( y e. A -> -. y < x ) <-> A. y ( y e. RR -> ( y e. A -> -. y < x ) ) )
70	68, 69	bitr3i 251	. . . . . . 7 |- ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) <-> A. y ( y e. RR -> ( y e. A -> -. y < x ) ) )
71	63, 64, 70	3bitr4g 288	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( A. y e. A -. y < x <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) ) )
72		breq2 4443	. . . . . . . . 9 |- ( y = -u v -> ( x < y <-> x < -u v ) )
73		breq2 4443	. . . . . . . . . 10 |- ( y = -u v -> ( z < y <-> z < -u v ) )
74	73	rexbidv 2965	. . . . . . . . 9 |- ( y = -u v -> ( E. z e. A z < y <-> E. z e. A z < -u v ) )
75	72, 74	imbi12d 318	. . . . . . . 8 |- ( y = -u v -> ( ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> ( x < -u v -> E. z e. A z < -u v ) ) )
76	21, 22, 75	ralxfr 4655	. . . . . . 7 |- ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. v e. RR ( x < -u v -> E. z e. A z < -u v ) )
77		ssel 3483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ RR -> ( z e. A -> z e. RR ) )
78	77	adantrd 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ RR -> ( ( z e. A /\ z < -u v ) -> z e. RR ) )
79	78	pm4.71rd 633	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ RR -> ( ( z e. A /\ z < -u v ) <-> ( z e. RR /\ ( z e. A /\ z < -u v ) ) ) )
80	79	exbidv 1719	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ RR -> ( E. z ( z e. A /\ z < -u v ) <-> E. z ( z e. RR /\ ( z e. A /\ z < -u v ) ) ) )
81		df-rex 2810	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A z < -u v <-> E. z ( z e. A /\ z < -u v ) )
82		renegcl 9873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. RR -> -u t e. RR )
83		infm3lem 10496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR -> E. t e. RR z = -u t )
84		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = -u t -> ( z e. A <-> -u t e. A ) )
85		breq1 4442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = -u t -> ( z < -u v <-> -u t < -u v ) )
86	84, 85	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = -u t -> ( ( z e. A /\ z < -u v ) <-> ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) )
87	82, 83, 86	rexxfr 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. RR ( z e. A /\ z < -u v ) <-> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) )
88		df-rex 2810	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. RR ( z e. A /\ z < -u v ) <-> E. z ( z e. RR /\ ( z e. A /\ z < -u v ) ) )
89	87, 88	bitr3i 251	. . . . . . . . . 10 |- ( E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) <-> E. z ( z e. RR /\ ( z e. A /\ z < -u v ) ) )
90	80, 81, 89	3bitr4g 288	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( E. z e. A z < -u v <-> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) )
91	90	imbi2d 314	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> ( ( x < -u v -> E. z e. A z < -u v ) <-> ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
92	91	ralbidv 2893	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR -> ( A. v e. RR ( x < -u v -> E. z e. A z < -u v ) <-> A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
93	76, 92	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) <-> A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
94	71, 93	anbi12d 708	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) /\ A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) ) )
95	94	rexbidv 2965	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. x e. RR ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) /\ A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) ) )
96		breq2 4443	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u u -> ( -u v < x <-> -u v < -u u ) )
97	96	notbid 292	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u u -> ( -. -u v < x <-> -. -u v < -u u ) )
98	97	imbi2d 314	. . . . . . . 8 |- ( x = -u u -> ( ( -u v e. A -> -. -u v < x ) <-> ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) ) )
99	98	ralbidv 2893	. . . . . . 7 |- ( x = -u u -> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) ) )
100		breq1 4442	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u u -> ( x < -u v <-> -u u < -u v ) )
101	100	imbi1d 315	. . . . . . . 8 |- ( x = -u u -> ( ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) <-> ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
102	101	ralbidv 2893	. . . . . . 7 |- ( x = -u u -> ( A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) <-> A. v e. RR ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
103	99, 102	anbi12d 708	. . . . . 6 |- ( x = -u u -> ( ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) /\ A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) <-> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) /\ A. v e. RR ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) ) )
104	31, 32, 103	rexxfr 4657	. . . . 5 |- ( E. x e. RR ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) /\ A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) <-> E. u e. RR ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) /\ A. v e. RR ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
105	39	imbi1i 323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> -. u < v ) <-> ( ( v e. RR /\ -u v e. A ) -> -. u < v ) )
106		impexp 444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. RR /\ -u v e. A ) -> -. u < v ) <-> ( v e. RR -> ( -u v e. A -> -. u < v ) ) )
107	105, 106	bitri 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> -. u < v ) <-> ( v e. RR -> ( -u v e. A -> -. u < v ) ) )
108	107	albii 1645	. . . . . . . . 9 |- ( A. v ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> -. u < v ) <-> A. v ( v e. RR -> ( -u v e. A -> -. u < v ) ) )
109		df-ral 2809	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v <-> A. v ( v e. { w e. RR | -u w e. A } -> -. u < v ) )
110		df-ral 2809	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. u < v ) <-> A. v ( v e. RR -> ( -u v e. A -> -. u < v ) ) )
111	108, 109, 110	3bitr4ri 278	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. u < v ) <-> A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v )
112		ltneg 10048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( u < v <-> -u v < -u u ) )
113	112	notbid 292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( -. u < v <-> -. -u v < -u u ) )
114	113	imbi2d 314	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( ( -u v e. A -> -. u < v ) <-> ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) ) )
115	114	ralbidva 2890	. . . . . . . 8 |- ( u e. RR -> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. u < v ) <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) ) )
116	111, 115	syl5bbr 259	. . . . . . 7 |- ( u e. RR -> ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v <-> A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) ) )
117		ltneg 10048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. RR /\ u e. RR ) -> ( v < u <-> -u u < -u v ) )
118	117	ancoms 451	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( v < u <-> -u u < -u v ) )
119		negeq 9803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = t -> -u w = -u t )
120	119	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = t -> ( -u w e. A <-> -u t e. A ) )
121	120	rexrab 3260	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t <-> E. t e. RR ( -u t e. A /\ v < t ) )
122		ltneg 10048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. RR /\ t e. RR ) -> ( v < t <-> -u t < -u v ) )
123	122	anbi2d 701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. RR /\ t e. RR ) -> ( ( -u t e. A /\ v < t ) <-> ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) )
124	123	rexbidva 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. RR -> ( E. t e. RR ( -u t e. A /\ v < t ) <-> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) )
125	121, 124	syl5bb 257	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. RR -> ( E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t <-> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) )
126	125	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t <-> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) )
127	118, 126	imbi12d 318	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) <-> ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
128	127	ralbidva 2890	. . . . . . 7 |- ( u e. RR -> ( A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) <-> A. v e. RR ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
129	116, 128	anbi12d 708	. . . . . 6 |- ( u e. RR -> ( ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) <-> ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) /\ A. v e. RR ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) ) )
130	129	rexbiia 2955	. . . . 5 |- ( E. u e. RR ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) <-> E. u e. RR ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < -u u ) /\ A. v e. RR ( -u u < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) )
131	104, 130	bitr4i 252	. . . 4 |- ( E. x e. RR ( A. v e. RR ( -u v e. A -> -. -u v < x ) /\ A. v e. RR ( x < -u v -> E. t e. RR ( -u t e. A /\ -u t < -u v ) ) ) <-> E. u e. RR ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) )
132	95, 131	syl6bb 261	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) <-> E. u e. RR ( A. v e. { w e. RR | -u w e. A } -. u < v /\ A. v e. RR ( v < u -> E. t e. { w e. RR | -u w e. A } v < t ) ) ) )
133	59, 132	sylibrd 234	. 2 |- ( A C_ RR -> ( ( A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
134	133	3impib 1192	1 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   RRcr 9480   < clt 9617   <_ cle 9618   -ucneg 9797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799

This theorem is referenced by:  infmsup  10516  infmrgelb  10518  infmrlb  10519  xrinfmsslem  11502  gtinf  30377  infrglb  31823