Theorem infiso 8054

Description: Image of an infimum under an isomorphism. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
infiso.2	|- ( ph -> C C_ A )
infiso.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. C z R y ) ) )
infiso.4	|- ( ph -> R Or A )

Assertion

Ref	Expression
infiso	|- ( ph -> inf ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` inf ( C , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   x, F, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem infiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infiso.1	. . . 4 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
2		isocnv2 6252	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) <-> F Isom `' R , `' S ( A , B ) )
3	1, 2	sylib 201	. . 3 |- ( ph -> F Isom `' R , `' S ( A , B ) )
4		infiso.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
5		infiso.4	. . . 4 |- ( ph -> R Or A )
6		infiso.3	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. C z R y ) ) )
7	5, 6	infcllem 8034	. . 3 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. C y `' R z ) ) )
8		cnvso 5398	. . . 4 |- ( R Or A <-> `' R Or A )
9	5, 8	sylib 201	. . 3 |- ( ph -> `' R Or A )
10	3, 4, 7, 9	supiso 8022	. 2 |- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , `' S ) = ( F ` sup ( C , A , `' R ) ) )
11		df-inf 7988	. 2 |- inf ( ( F " C ) , B , S ) = sup ( ( F " C ) , B , `' S )
12		df-inf 7988	. . 3 |- inf ( C , A , R ) = sup ( C , A , `' R )
13	12	fveq2i 5895	. 2 |- ( F ` inf ( C , A , R ) ) = ( F ` sup ( C , A , `' R ) )
14	10, 11, 13	3eqtr4g 2521	1 |- ( ph -> inf ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` inf ( C , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   A.wral 2749   E.wrex 2750   C_ wss 3416   class class class wbr 4418   Or wor 4776   `'ccnv 4855   "cima 4859   ` cfv 5605   Isom wiso 5606   supcsup 7985  infcinf 7986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-sup 7987  df-inf 7988

This theorem is referenced by: (None)