Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infil Structured version   Unicode version

Theorem infil 20342
 Description: The intersection of two filters is a filter. Use fiint 7799 to extend this property to the intersection of a finite set of filters. Paragraph 3 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 17-Sep-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
infil

Proof of Theorem infil
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3703 . . . 4
2 filsspw 20330 . . . . 5
32adantr 465 . . . 4
41, 3syl5ss 3500 . . 3
5 0nelfil 20328 . . . . 5
65adantr 465 . . . 4
71sseli 3485 . . . 4
86, 7nsyl 121 . . 3
9 filtop 20334 . . . . 5
109adantr 465 . . . 4
11 filtop 20334 . . . . 5
1211adantl 466 . . . 4
1310, 12elind 3673 . . 3
144, 8, 133jca 1177 . 2
15 simpll 753 . . . . . . . 8
16 simpr2 1004 . . . . . . . . 9
171sseli 3485 . . . . . . . . 9
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8
19 simpr1 1003 . . . . . . . . 9
2019elpwid 4007 . . . . . . . 8
21 simpr3 1005 . . . . . . . 8
22 filss 20332 . . . . . . . 8
2315, 18, 20, 21, 22syl13anc 1231 . . . . . . 7
24 simplr 755 . . . . . . . 8
25 inss2 3704 . . . . . . . . . 10
2625sseli 3485 . . . . . . . . 9
2716, 26syl 16 . . . . . . . 8
28 filss 20332 . . . . . . . 8
2924, 27, 20, 21, 28syl13anc 1231 . . . . . . 7
3023, 29elind 3673 . . . . . 6
31303exp2 1215 . . . . 5
3231imp 429 . . . 4
3332rexlimdv 2933 . . 3
3433ralrimiva 2857 . 2
35 simpl 457 . . . . 5
361sseli 3485 . . . . . 6
3736, 17anim12i 566 . . . . 5
38 filin 20333 . . . . . 6
39383expb 1198 . . . . 5
4035, 37, 39syl2an 477 . . . 4
41 simpr 461 . . . . 5
4225sseli 3485 . . . . . 6
4342, 26anim12i 566 . . . . 5
44 filin 20333 . . . . . 6
45443expb 1198 . . . . 5
4641, 43, 45syl2an 477 . . . 4
4740, 46elind 3673 . . 3
4847ralrimivva 2864 . 2
49 isfil2 20335 . 2
5014, 34, 48, 49syl3anbrc 1181 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   w3a 974   wcel 1804  wral 2793  wrex 2794   cin 3460   wss 3461  c0 3770  cpw 3997  cfv 5578  cfil 20324 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-fbas 18395  df-fil 20325 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator