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Theorem inficl 7903
Description: A set which is closed under pairwise intersection is closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
inficl  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, V
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem inficl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfii 7897 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
2 eqimss2 3552 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  A  C_  z )
32biantrurd 508 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) ) )
4 eleq2 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
54raleqbi1dv 3062 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  ( A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
65raleqbi1dv 3062 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
73, 6bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A ) )
87elabg 3247 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
9 intss1 4303 . . . . 5  |-  ( A  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  A
)
108, 9syl6bir 229 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  A ) )
11 dffi2 7901 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
1211sseq1d 3526 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( fi `  A
)  C_  A  <->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  A
) )
1310, 12sylibrd 234 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  -> 
( fi `  A
)  C_  A )
)
14 eqss 3514 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  =  A  <->  ( ( fi `  A )  C_  A  /\  A  C_  ( fi `  A ) ) )
1514simplbi2com 627 . . 3  |-  ( A 
C_  ( fi `  A )  ->  (
( fi `  A
)  C_  A  ->  ( fi `  A )  =  A ) )
161, 13, 15sylsyld 56 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  -> 
( fi `  A
)  =  A ) )
17 fiin 7900 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
1817rgen2a 2884 . . 3  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
19 eleq2 2530 . . . . 5  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A )  <->  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
2019raleqbi1dv 3062 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  ( A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )  <->  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
2120raleqbi1dv 3062 . . 3  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  ( A. x  e.  ( fi `  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
)  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A ) )
2218, 21mpbii 211 . 2  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
)
2316, 22impbid1 203 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807    i^i cin 3470    C_ wss 3471   |^|cint 4288   ` cfv 5594   ficfi 7888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889
This theorem is referenced by:  fipwuni  7904  fisn  7905  fitop  19535  ordtbaslem  19815  ptbasin2  20204  filfi  20485  fmfnfmlem3  20582  ustuqtop2  20870
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