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Theorem inficl 7939
Description: A set which is closed under pairwise intersection is closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
inficl  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, V
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem inficl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfii 7933 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
2 eqimss2 3485 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  A  C_  z )
32biantrurd 511 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) ) )
4 eleq2 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
54raleqbi1dv 2995 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  ( A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
65raleqbi1dv 2995 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
73, 6bitr3d 259 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A ) )
87elabg 3186 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
9 intss1 4249 . . . . 5  |-  ( A  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  A
)
108, 9syl6bir 233 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  A ) )
11 dffi2 7937 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
1211sseq1d 3459 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( fi `  A
)  C_  A  <->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  A
) )
1310, 12sylibrd 238 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  -> 
( fi `  A
)  C_  A )
)
14 eqss 3447 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  =  A  <->  ( ( fi `  A )  C_  A  /\  A  C_  ( fi `  A ) ) )
1514simplbi2com 633 . . 3  |-  ( A 
C_  ( fi `  A )  ->  (
( fi `  A
)  C_  A  ->  ( fi `  A )  =  A ) )
161, 13, 15sylsyld 58 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  -> 
( fi `  A
)  =  A ) )
17 fiin 7936 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
1817rgen2a 2815 . . 3  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
19 eleq2 2518 . . . . 5  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A )  <->  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
2019raleqbi1dv 2995 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  ( A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )  <->  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
2120raleqbi1dv 2995 . . 3  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  ( A. x  e.  ( fi `  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
)  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A ) )
2218, 21mpbii 215 . 2  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
)
2316, 22impbid1 207 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737    i^i cin 3403    C_ wss 3404   |^|cint 4234   ` cfv 5582   ficfi 7924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925
This theorem is referenced by:  fipwuni  7940  fisn  7941  fitop  19930  ordtbaslem  20204  ptbasin2  20593  filfi  20874  fmfnfmlem3  20971  ustuqtop2  21257  ldgenpisys  28988
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