Theorem inficl 7939

Description: A set which is closed under pairwise intersection is closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inficl	|- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A <-> ( fi ` A ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem inficl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 7933	. . 3 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )
2		eqimss2 3485	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> A C_ z )
3	2	biantrurd 511	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) )
4		eleq2 2518	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. A ) )
5	4	raleqbi1dv 2995	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
6	5	raleqbi1dv 2995	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
7	3, 6	bitr3d 259	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
8	7	elabg 3186	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
9		intss1 4249	. . . . 5 |- ( A e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A )
10	8, 9	syl6bir 233	. . . 4 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A ) )
11		dffi2 7937	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
12	11	sseq1d 3459	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( fi ` A ) C_ A <-> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A ) )
13	10, 12	sylibrd 238	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> ( fi ` A ) C_ A ) )
14		eqss 3447	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) = A <-> ( ( fi ` A ) C_ A /\ A C_ ( fi ` A ) ) )
15	14	simplbi2com 633	. . 3 |- ( A C_ ( fi ` A ) -> ( ( fi ` A ) C_ A -> ( fi ` A ) = A ) )
16	1, 13, 15	sylsyld 58	. 2 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> ( fi ` A ) = A ) )
17		fiin 7936	. . . 4 |- ( ( x e. ( fi ` A ) /\ y e. ( fi ` A ) ) -> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
18	17	rgen2a 2815	. . 3 |- A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A )
19		eleq2 2518	. . . . 5 |- ( ( fi ` A ) = A -> ( ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> ( x i^i y ) e. A ) )
20	19	raleqbi1dv 2995	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) = A -> ( A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
21	20	raleqbi1dv 2995	. . 3 |- ( ( fi ` A ) = A -> ( A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
22	18, 21	mpbii 215	. 2 |- ( ( fi ` A ) = A -> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A )
23	16, 22	impbid1 207	1 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A <-> ( fi ` A ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   i^i cin 3403   C_ wss 3404   |^|cint 4234   ` cfv 5582   ficfi 7924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925

This theorem is referenced by:  fipwuni  7940  fisn  7941  fitop  19930  ordtbaslem  20204  ptbasin2  20593  filfi  20874  fmfnfmlem3  20971  ustuqtop2  21257  ldgenpisys  28988