Theorem inficl 7903

Description: A set which is closed under pairwise intersection is closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inficl	|- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A <-> ( fi ` A ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem inficl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 7897	. . 3 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )
2		eqimss2 3552	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> A C_ z )
3	2	biantrurd 508	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) )
4		eleq2 2530	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. A ) )
5	4	raleqbi1dv 3062	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
6	5	raleqbi1dv 3062	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
7	3, 6	bitr3d 255	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
8	7	elabg 3247	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
9		intss1 4303	. . . . 5 |- ( A e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A )
10	8, 9	syl6bir 229	. . . 4 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A ) )
11		dffi2 7901	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
12	11	sseq1d 3526	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( fi ` A ) C_ A <-> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A ) )
13	10, 12	sylibrd 234	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> ( fi ` A ) C_ A ) )
14		eqss 3514	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) = A <-> ( ( fi ` A ) C_ A /\ A C_ ( fi ` A ) ) )
15	14	simplbi2com 627	. . 3 |- ( A C_ ( fi ` A ) -> ( ( fi ` A ) C_ A -> ( fi ` A ) = A ) )
16	1, 13, 15	sylsyld 56	. 2 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> ( fi ` A ) = A ) )
17		fiin 7900	. . . 4 |- ( ( x e. ( fi ` A ) /\ y e. ( fi ` A ) ) -> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
18	17	rgen2a 2884	. . 3 |- A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A )
19		eleq2 2530	. . . . 5 |- ( ( fi ` A ) = A -> ( ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> ( x i^i y ) e. A ) )
20	19	raleqbi1dv 3062	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) = A -> ( A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
21	20	raleqbi1dv 3062	. . 3 |- ( ( fi ` A ) = A -> ( A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
22	18, 21	mpbii 211	. 2 |- ( ( fi ` A ) = A -> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A )
23	16, 22	impbid1 203	1 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A <-> ( fi ` A ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   i^i cin 3470   C_ wss 3471   |^|cint 4288   ` cfv 5594   ficfi 7888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889

This theorem is referenced by:  fipwuni  7904  fisn  7905  fitop  19535  ordtbaslem  19815  ptbasin2  20204  filfi  20485  fmfnfmlem3  20582  ustuqtop2  20870