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Theorem inficl 7675
Description: A set which is closed under pairwise intersection is closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
inficl  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, V
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem inficl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfii 7669 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
2 eqimss2 3409 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  A  C_  z )
32biantrurd 508 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) ) )
4 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
54raleqbi1dv 2925 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  ( A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
65raleqbi1dv 2925 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
73, 6bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A ) )
87elabg 3107 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
9 intss1 4143 . . . . 5  |-  ( A  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  A
)
108, 9syl6bir 229 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  A ) )
11 dffi2 7673 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
1211sseq1d 3383 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( fi `  A
)  C_  A  <->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  A
) )
1310, 12sylibrd 234 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  -> 
( fi `  A
)  C_  A )
)
14 eqss 3371 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  =  A  <->  ( ( fi `  A )  C_  A  /\  A  C_  ( fi `  A ) ) )
1514simplbi2com 627 . . 3  |-  ( A 
C_  ( fi `  A )  ->  (
( fi `  A
)  C_  A  ->  ( fi `  A )  =  A ) )
161, 13, 15sylsyld 56 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  -> 
( fi `  A
)  =  A ) )
17 fiin 7672 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
1817rgen2a 2782 . . 3  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
19 eleq2 2504 . . . . 5  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A )  <->  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
2019raleqbi1dv 2925 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  ( A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )  <->  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
2120raleqbi1dv 2925 . . 3  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  ( A. x  e.  ( fi `  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
)  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A ) )
2218, 21mpbii 211 . 2  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
)
2316, 22impbid1 203 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2715    i^i cin 3327    C_ wss 3328   |^|cint 4128   ` cfv 5418   ficfi 7660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-fi 7661
This theorem is referenced by:  fipwuni  7676  fisn  7677  fitop  18513  ordtbaslem  18792  ptbasin2  19151  filfi  19432  fmfnfmlem3  19529  ustuqtop2  19817
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