Theorem inficl 7675

Description: A set which is closed under pairwise intersection is closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inficl	|- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A <-> ( fi ` A ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem inficl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 7669	. . 3 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )
2		eqimss2 3409	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> A C_ z )
3	2	biantrurd 508	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) )
4		eleq2 2504	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. A ) )
5	4	raleqbi1dv 2925	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
6	5	raleqbi1dv 2925	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
7	3, 6	bitr3d 255	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
8	7	elabg 3107	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
9		intss1 4143	. . . . 5 |- ( A e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A )
10	8, 9	syl6bir 229	. . . 4 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A ) )
11		dffi2 7673	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
12	11	sseq1d 3383	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( fi ` A ) C_ A <-> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A ) )
13	10, 12	sylibrd 234	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> ( fi ` A ) C_ A ) )
14		eqss 3371	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) = A <-> ( ( fi ` A ) C_ A /\ A C_ ( fi ` A ) ) )
15	14	simplbi2com 627	. . 3 |- ( A C_ ( fi ` A ) -> ( ( fi ` A ) C_ A -> ( fi ` A ) = A ) )
16	1, 13, 15	sylsyld 56	. 2 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> ( fi ` A ) = A ) )
17		fiin 7672	. . . 4 |- ( ( x e. ( fi ` A ) /\ y e. ( fi ` A ) ) -> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
18	17	rgen2a 2782	. . 3 |- A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A )
19		eleq2 2504	. . . . 5 |- ( ( fi ` A ) = A -> ( ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> ( x i^i y ) e. A ) )
20	19	raleqbi1dv 2925	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) = A -> ( A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
21	20	raleqbi1dv 2925	. . 3 |- ( ( fi ` A ) = A -> ( A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
22	18, 21	mpbii 211	. 2 |- ( ( fi ` A ) = A -> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A )
23	16, 22	impbid1 203	1 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A <-> ( fi ` A ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2715   i^i cin 3327   C_ wss 3328   |^|cint 4128   ` cfv 5418   ficfi 7660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-fi 7661

This theorem is referenced by:  fipwuni  7676  fisn  7677  fitop  18513  ordtbaslem  18792  ptbasin2  19151  filfi  19432  fmfnfmlem3  19529  ustuqtop2  19817