Theorem infi1 14343

Description: The intersection of two finite intersections is finite.

Assertion

Ref	Expression
infi1	|- ((A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}) -> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem infi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inex1g 3454	. . . 4 |- (A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} -> (A i^i B) e. _V)
2	1	adantr 425	. . 3 |- ((A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}) -> (A i^i B) e. _V)
3		spfi 10217	. . . . . . 7 |- (A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} -> (A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} <-> E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ A = |^|y)))
4		spfi 10217	. . . . . . . . . 10 |- (B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} -> (B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} <-> E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ B = |^|y)))
5		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- a e. _V
6		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- b e. _V
7	5, 6	unex 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (a u. b) e. _V
8	7	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((a C_ C /\ a e. Fin /\ B = |^|a) /\ (b C_ C /\ b e. Fin /\ A = |^|b)) -> (a u. b) e. _V)
9		an6 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((a C_ C /\ a e. Fin /\ B = |^|a) /\ (b C_ C /\ b e. Fin /\ A = |^|b)) <-> ((a C_ C /\ b C_ C) /\ (a e. Fin /\ b e. Fin) /\ (B = |^|a /\ A = |^|b)))
10		unss 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((a C_ C /\ b C_ C) <-> (a u. b) C_ C)
11	10	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((a C_ C /\ b C_ C) -> (a u. b) C_ C)
12		unfi 5644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((a e. Fin /\ b e. Fin) -> (a u. b) e. Fin)
13		ineq2 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (B = |^|a -> (A i^i B) = (A i^i |^|a))
14	13	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((B = |^|a /\ A = |^|b) -> (A i^i B) = (A i^i |^|a))
15		ineq1 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (A = |^|b -> (A i^i |^|a) = (|^|b i^i |^|a))
16	15	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((B = |^|a /\ A = |^|b) -> (A i^i |^|a) = (|^|b i^i |^|a))
17		incom 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (|^|b i^i |^|a) = (|^|a i^i |^|b)
18		intun 3249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- |^|(a u. b) = (|^|a i^i |^|b)
19	17, 18	eqtr4i 1911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (|^|b i^i |^|a) = |^|(a u. b)
20	19	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((B = |^|a /\ A = |^|b) -> (|^|b i^i |^|a) = |^|(a u. b))
21	14, 16, 20	3eqtrd 1929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((B = |^|a /\ A = |^|b) -> (A i^i B) = |^|(a u. b))
22	11, 12, 21	3anim123i 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((a C_ C /\ b C_ C) /\ (a e. Fin /\ b e. Fin) /\ (B = |^|a /\ A = |^|b)) -> ((a u. b) C_ C /\ (a u. b) e. Fin /\ (A i^i B) = |^|(a u. b)))
23	9, 22	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((a C_ C /\ a e. Fin /\ B = |^|a) /\ (b C_ C /\ b e. Fin /\ A = |^|b)) -> ((a u. b) C_ C /\ (a u. b) e. Fin /\ (A i^i B) = |^|(a u. b)))
24		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y = (a u. b) -> (y C_ C <-> (a u. b) C_ C))
25		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y = (a u. b) -> (y e. Fin <-> (a u. b) e. Fin))
26		inteq 3217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y = (a u. b) -> |^|y = |^|(a u. b))
27	26	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y = (a u. b) -> ((A i^i B) = |^|y <-> (A i^i B) = |^|(a u. b)))
28	24, 25, 27	3anbi123d 1168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y = (a u. b) -> ((y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y) <-> ((a u. b) C_ C /\ (a u. b) e. Fin /\ (A i^i B) = |^|(a u. b))))
29	28	cla4egv 2365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((a u. b) e. _V -> (((a u. b) C_ C /\ (a u. b) e. Fin /\ (A i^i B) = |^|(a u. b)) -> E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y)))
30	8, 23, 29	sylc 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((a C_ C /\ a e. Fin /\ B = |^|a) /\ (b C_ C /\ b e. Fin /\ A = |^|b)) -> E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y))
31	30	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((b C_ C /\ b e. Fin /\ A = |^|b) -> ((a C_ C /\ a e. Fin /\ B = |^|a) -> E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y)))
32	31	19.23aiv 1674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.b(b C_ C /\ b e. Fin /\ A = |^|b) -> ((a C_ C /\ a e. Fin /\ B = |^|a) -> E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y)))
33	32	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((a C_ C /\ a e. Fin /\ B = |^|a) -> (E.b(b C_ C /\ b e. Fin /\ A = |^|b) -> E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y)))
34	33	19.23aiv 1674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.a(a C_ C /\ a e. Fin /\ B = |^|a) -> (E.b(b C_ C /\ b e. Fin /\ A = |^|b) -> E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y)))
35	34	imp 377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((E.a(a C_ C /\ a e. Fin /\ B = |^|a) /\ E.b(b C_ C /\ b e. Fin /\ A = |^|b)) -> E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y))
36		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = a -> (y C_ C <-> a C_ C))
37		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = a -> (y e. Fin <-> a e. Fin))
38		inteq 3217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = a -> |^|y = |^|a)
39	38	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = a -> (B = |^|y <-> B = |^|a))
40	36, 37, 39	3anbi123d 1168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = a -> ((y C_ C /\ y e. Fin /\ B = |^|y) <-> (a C_ C /\ a e. Fin /\ B = |^|a)))
41	40	cbvexv 1697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ B = |^|y) <-> E.a(a C_ C /\ a e. Fin /\ B = |^|a))
42		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = b -> (y C_ C <-> b C_ C))
43		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = b -> (y e. Fin <-> b e. Fin))
44		inteq 3217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = b -> |^|y = |^|b)
45	44	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = b -> (A = |^|y <-> A = |^|b))
46	42, 43, 45	3anbi123d 1168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = b -> ((y C_ C /\ y e. Fin /\ A = |^|y) <-> (b C_ C /\ b e. Fin /\ A = |^|b)))
47	46	cbvexv 1697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ A = |^|y) <-> E.b(b C_ C /\ b e. Fin /\ A = |^|b))
48	35, 41, 47	syl2anb 504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ B = |^|y) /\ E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ A = |^|y)) -> E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y))
49	48	3adant3 896	. . . . . . . . . . . 12 |- ((E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ B = |^|y) /\ E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ A = |^|y) /\ (A i^i B) e. _V) -> E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y))
50		spfi 10217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A i^i B) e. _V -> ((A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} <-> E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y)))
51	50	bicomd 580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A i^i B) e. _V -> (E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y) <-> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}))
52	51	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . 12 |- ((E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ B = |^|y) /\ E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ A = |^|y) /\ (A i^i B) e. _V) -> (E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ (A i^i B) = |^|y) <-> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}))
53	49, 52	mpbid 212	. . . . . . . . . . 11 |- ((E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ B = |^|y) /\ E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ A = |^|y) /\ (A i^i B) e. _V) -> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})
54	53	3exp 1066	. . . . . . . . . 10 |- (E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ B = |^|y) -> (E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ A = |^|y) -> ((A i^i B) e. _V -> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})))
55	4, 54	syl6bi 231	. . . . . . . . 9 |- (B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} -> (B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} -> (E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ A = |^|y) -> ((A i^i B) e. _V -> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}))))
56	55	imp 377	. . . . . . . 8 |- ((B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}) -> (E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ A = |^|y) -> ((A i^i B) e. _V -> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})))
57	56	com12 14	. . . . . . 7 |- (E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ A = |^|y) -> ((B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}) -> ((A i^i B) e. _V -> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})))
58	3, 57	syl6bi 231	. . . . . 6 |- (A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} -> (A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} -> ((B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}) -> ((A i^i B) e. _V -> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}))))
59	58	imp31 389	. . . . 5 |- (((A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}) /\ (B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})) -> ((A i^i B) e. _V -> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}))
60	59	an4s 566	. . . 4 |- (((A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}) /\ (A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})) -> ((A i^i B) e. _V -> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}))
61	60	ex 402	. . 3 |- ((A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}) -> ((A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}) -> ((A i^i B) e. _V -> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})))
62	2, 61	mpid 58	. 2 |- ((A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}) -> ((A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}) -> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}))
63	62	pm2.43i 78	1 |- ((A e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} /\ B e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)}) -> (A i^i B) e. {x | E.y(y C_ C /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  |^|cint 3214  Fincfn 5426

This theorem is referenced by:  fgsb 14921

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430

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