MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infi Structured version   Unicode version

Theorem infi 7755
Description: The intersection of two sets is finite if one of them is. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
infi  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  i^i  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem infi
StepHypRef Expression
1 inss1 3723 . 2  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
2 ssfi 7752 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  A )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  Fin )
31, 2mpan2 671 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  i^i  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    i^i cin 3480    C_ wss 3481   Fincfn 7528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-om 6696  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532
This theorem is referenced by:  rabfi  7756  resfifsupp  7869  fin23lem22  8719  pmatcoe1fsupp  19069  eulerpartlemt  28142  ballotlemgun  28295  fourierdlem50  31786  fourierdlem71  31807  fourierdlem76  31812  fourierdlem80  31816  fourierdlem103  31839  fourierdlem104  31840  resfnfinfin  32106
  Copyright terms: Public domain W3C validator