Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inffz Structured version   Unicode version

Theorem inffz 28981
Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
inffz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  `'  <  )  =  M )

Proof of Theorem inffz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 10877 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
2 ltso 9668 . . . . 5  |-  <  Or  RR
3 soss 4808 . . . . 5  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  ZZ ) )
41, 2, 3mp2 9 . . . 4  |-  <  Or  ZZ
5 cnvso 5536 . . . 4  |-  (  < 
Or  ZZ  <->  `'  <  Or  ZZ )
64, 5mpbi 208 . . 3  |-  `'  <  Or  ZZ
76a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  `'  <  Or  ZZ )
8 eluzel2 11095 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
9 eluzfz1 11702 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
10 elfzle1 11698 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  x )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  M  <_  x )
128zred 10974 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
13 elfzelz 11697 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
1413zred 10974 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
15 lenlt 9666 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  <_  x  <->  -.  x  <  M ) )
1612, 14, 15syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( M  <_  x  <->  -.  x  <  M ) )
1711, 16mpbid 210 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  x  <  M )
18 brcnvg 5173 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( M `'  <  x  <-> 
x  <  M )
)
1918notbid 294 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( -.  M `'  <  x  <->  -.  x  <  M ) )
208, 19sylan 471 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( -.  M `'  <  x  <->  -.  x  <  M ) )
2117, 20mpbird 232 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  M `'  <  x )
227, 8, 9, 21supmax 7926 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  `'  <  )  =  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   class class class wbr 4437    Or wor 4789   `'ccnv 4988   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supcsup 7902   RRcr 9494    < clt 9631    <_ cle 9632   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-neg 9813  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator