Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inffz Structured version   Unicode version

Theorem inffz 28571
Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
inffz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  `'  <  )  =  M )

Proof of Theorem inffz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 10862 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
2 ltso 9656 . . . . 5  |-  <  Or  RR
3 soss 4813 . . . . 5  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  ZZ ) )
41, 2, 3mp2 9 . . . 4  |-  <  Or  ZZ
5 cnvso 5539 . . . 4  |-  (  < 
Or  ZZ  <->  `'  <  Or  ZZ )
64, 5mpbi 208 . . 3  |-  `'  <  Or  ZZ
76a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  `'  <  Or  ZZ )
8 eluzel2 11078 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
9 eluzfz1 11684 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
10 elfzle1 11680 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  x )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  M  <_  x )
128zred 10957 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
13 elfzelz 11679 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
1413zred 10957 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
15 lenlt 9654 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  <_  x  <->  -.  x  <  M ) )
1612, 14, 15syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( M  <_  x  <->  -.  x  <  M ) )
1711, 16mpbid 210 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  x  <  M )
18 brcnvg 5176 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( M `'  <  x  <-> 
x  <  M )
)
1918notbid 294 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( -.  M `'  <  x  <->  -.  x  <  M ) )
208, 19sylan 471 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( -.  M `'  <  x  <->  -.  x  <  M ) )
2117, 20mpbird 232 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  M `'  <  x )
227, 8, 9, 21supmax 7916 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  `'  <  )  =  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3471   class class class wbr 4442    Or wor 4794   `'ccnv 4993   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   supcsup 7891   RRcr 9482    < clt 9619    <_ cle 9620   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073   ...cfz 11663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-neg 9799  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator