MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infeq5i Structured version   Unicode version

Theorem infeq5i 8070
Description: Half of infeq5 8071. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
infeq5i  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x  x  C.  U. x )

Proof of Theorem infeq5i
StepHypRef Expression
1 difexg 4604 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  \  { (/) } )  e.  _V )
2 0ex 4587 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
32snid 4060 . . . 4  |-  (/)  e.  { (/)
}
4 disj4 3878 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  ( om  \  { (/) } ) 
C.  om )
5 disj3 3874 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  om  =  ( om  \  { (/) } ) )
64, 5bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( -.  ( om  \  { (/)
} )  C.  om  <->  om  =  ( om  \  { (/) } ) )
7 peano1 6718 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
8 eleq2 2530 . . . . . . 7  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  ( (/) 
e.  om  <->  (/)  e.  ( om 
\  { (/) } ) ) )
97, 8mpbii 211 . . . . . 6  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (/)  e.  ( om  \  { (/) } ) )
109eldifbd 3484 . . . . 5  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  -.  (/) 
e.  { (/) } )
116, 10sylbi 195 . . . 4  |-  ( -.  ( om  \  { (/)
} )  C.  om  ->  -.  (/)  e.  { (/) } )
123, 11mt4 137 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  om
13 unidif0 4629 . . . . 5  |-  U. ( om  \  { (/) } )  =  U. om
14 limom 6714 . . . . . 6  |-  Lim  om
15 limuni 4947 . . . . . 6  |-  ( Lim 
om  ->  om  =  U. om )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  om  =  U. om
1713, 16eqtr4i 2489 . . . 4  |-  U. ( om  \  { (/) } )  =  om
1817psseq2i 3590 . . 3  |-  ( ( om  \  { (/) } )  C.  U. ( om  \  { (/) } )  <-> 
( om  \  { (/)
} )  C.  om )
1912, 18mpbir 209 . 2  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  U. ( om  \  { (/)
} )
20 psseq1 3587 . . . 4  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
x  C.  U. x  <->  ( om  \  { (/) } )  C.  U. x
) )
21 unieq 4259 . . . . 5  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  U. x  =  U. ( om  \  { (/)
} ) )
2221psseq2d 3593 . . . 4  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
( om  \  { (/)
} )  C.  U. x  <->  ( om  \  { (/) } )  C.  U. ( om  \  { (/) } ) ) )
2320, 22bitrd 253 . . 3  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
x  C.  U. x  <->  ( om  \  { (/) } )  C.  U. ( om  \  { (/) } ) ) )
2423spcegv 3195 . 2  |-  ( ( om  \  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( om  \  { (/)
} )  C.  U. ( om  \  { (/) } )  ->  E. x  x  C.  U. x ) )
251, 19, 24mpisyl 18 1  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x  x  C.  U. x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C. wpss 3472   (/)c0 3793   {csn 4032   U.cuni 4251   Lim wlim 4888   omcom 6699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-om 6700
This theorem is referenced by:  infeq5  8071  inf5  8079
  Copyright terms: Public domain W3C validator