MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infeq5i Structured version   Unicode version

Theorem infeq5i 8094
Description: Half of infeq5 8095. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
infeq5i  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x  x  C.  U. x )

Proof of Theorem infeq5i
StepHypRef Expression
1 difexg 4515 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  \  { (/) } )  e.  _V )
2 0ex 4499 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
32snid 3969 . . . 4  |-  (/)  e.  { (/)
}
4 disj4 3786 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  ( om  \  { (/) } ) 
C.  om )
5 disj3 3782 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  om  =  ( om  \  { (/) } ) )
64, 5bitr3i 254 . . . . 5  |-  ( -.  ( om  \  { (/)
} )  C.  om  <->  om  =  ( om  \  { (/) } ) )
7 peano1 6670 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
8 eleq2 2495 . . . . . . 7  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  ( (/) 
e.  om  <->  (/)  e.  ( om 
\  { (/) } ) ) )
97, 8mpbii 214 . . . . . 6  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (/)  e.  ( om  \  { (/) } ) )
109eldifbd 3392 . . . . 5  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  -.  (/) 
e.  { (/) } )
116, 10sylbi 198 . . . 4  |-  ( -.  ( om  \  { (/)
} )  C.  om  ->  -.  (/)  e.  { (/) } )
123, 11mt4 142 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  om
13 unidif0 4540 . . . . 5  |-  U. ( om  \  { (/) } )  =  U. om
14 limom 6665 . . . . . 6  |-  Lim  om
15 limuni 5445 . . . . . 6  |-  ( Lim 
om  ->  om  =  U. om )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  om  =  U. om
1713, 16eqtr4i 2453 . . . 4  |-  U. ( om  \  { (/) } )  =  om
1817psseq2i 3498 . . 3  |-  ( ( om  \  { (/) } )  C.  U. ( om  \  { (/) } )  <-> 
( om  \  { (/)
} )  C.  om )
1912, 18mpbir 212 . 2  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  U. ( om  \  { (/)
} )
20 psseq1 3495 . . . 4  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
x  C.  U. x  <->  ( om  \  { (/) } )  C.  U. x
) )
21 unieq 4170 . . . . 5  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  U. x  =  U. ( om  \  { (/)
} ) )
2221psseq2d 3501 . . . 4  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
( om  \  { (/)
} )  C.  U. x  <->  ( om  \  { (/) } )  C.  U. ( om  \  { (/) } ) ) )
2320, 22bitrd 256 . . 3  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
x  C.  U. x  <->  ( om  \  { (/) } )  C.  U. ( om  \  { (/) } ) ) )
2423spcegv 3110 . 2  |-  ( ( om  \  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( om  \  { (/)
} )  C.  U. ( om  \  { (/) } )  ->  E. x  x  C.  U. x ) )
251, 19, 24mpisyl 21 1  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x  x  C.  U. x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   _Vcvv 3022    \ cdif 3376    i^i cin 3378    C. wpss 3380   (/)c0 3704   {csn 3941   U.cuni 4162   Lim wlim 5386   omcom 6650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-om 6651
This theorem is referenced by:  infeq5  8095  inf5  8103
  Copyright terms: Public domain W3C validator