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Theorem infensuc 7707
Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88. Proved without the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
infensuc  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem infensuc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onprc 6615 . . . . 5  |-  -.  On  e.  _V
2 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( om  =  On  ->  ( om  e.  _V  <->  On  e.  _V ) )
31, 2mtbiri 303 . . . 4  |-  ( om  =  On  ->  -.  om  e.  _V )
4 ssexg 4599 . . . . 5  |-  ( ( om  C_  A  /\  A  e.  On )  ->  om  e.  _V )
54ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  om  e.  _V )
63, 5nsyl3 119 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  -.  om  =  On )
7 omon 6706 . . . 4  |-  ( om  e.  On  \/  om  =  On )
87ori 375 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  On  ->  om  =  On )
96, 8nsyl2 127 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  om  e.  On )
10 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  x  =  om )
11 suceq 4949 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  suc  x  =  suc  om )
1210, 11breq12d 4466 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  om  ~~  suc  om ) )
13 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
14 suceq 4949 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
1513, 14breq12d 4466 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  y  ~~  suc  y ) )
16 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
17 suceq 4949 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  x  =  suc  suc  y )
1816, 17breq12d 4466 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  ~~  suc  x 
<->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
19 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
20 suceq 4949 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  suc  x  =  suc  A )
2119, 20breq12d 4466 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  A  ~~  suc  A ) )
22 limom 6710 . . . . . . 7  |-  Lim  om
2322limensuci 7705 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  om  ~~  suc  om )
24 vex 3121 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2524sucex 6641 . . . . . . . . . 10  |-  suc  y  e.  _V
26 en2sn 7607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  _V  /\  suc  y  e.  _V )  ->  { y } 
~~  { suc  y } )
2724, 25, 26mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  { y }  ~~  { suc  y }
28 eloni 4894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
29 ordirr 4902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  y  ->  -.  y  e.  y )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  -.  y  e.  y )
31 disjsn 4094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  y )
3230, 31sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  i^i  { y } )  =  (/) )
33 eloni 4894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  y  e.  On  ->  Ord 
suc  y )
34 ordirr 4902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
suc  y  ->  -.  suc  y  e.  suc  y )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  On  ->  -. 
suc  y  e.  suc  y )
36 sucelon 6647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  <->  suc  y  e.  On )
37 disjsn 4094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) 
<->  -.  suc  y  e. 
suc  y )
3835, 36, 373imtr4i 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) )
3932, 38jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )
40 unen 7610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y } 
~~  { suc  y } )  /\  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )  ->  ( y  u. 
{ y } ) 
~~  ( suc  y  u.  { suc  y } ) )
41 df-suc 4890 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  y  =  ( y  u. 
{ y } )
42 df-suc 4890 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  suc  y  =  ( suc  y  u.  { suc  y } )
4340, 41, 423brtr4g 4485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y } 
~~  { suc  y } )  /\  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y )
4443ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y }  ~~  { suc  y } )  ->  ( ( ( y  i^i  { y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i 
{ suc  y }
)  =  (/) )  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4539, 44syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y }  ~~  { suc  y } )  ->  ( y  e.  On  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4627, 45mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( y 
~~  suc  y  ->  ( y  e.  On  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4746com12 31 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  ~~  suc  y  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4847ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
om  e.  On )  /\  om  C_  y
)  ->  ( y  ~~  suc  y  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y
) )
49 vex 3121 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
50 limensuc 7706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  ~~  suc  x )
5149, 50mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  x  ~~  suc  x )
5251ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  om  e.  On )  /\  om  C_  x )  ->  x  ~~  suc  x )
5352a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  om  e.  On )  /\  om  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( om  C_  y  ->  y 
~~  suc  y )  ->  x  ~~  suc  x
) )
5412, 15, 18, 21, 23, 48, 53tfindsg 6690 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
om  e.  On )  /\  om  C_  A
)  ->  A  ~~  suc  A )
5554exp31 604 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  e.  On  ->  ( om  C_  A  ->  A  ~~  suc  A ) ) )
5655com23 78 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  C_  A  ->  ( om  e.  On  ->  A  ~~  suc  A ) ) )
5756imp 429 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  ( om  e.  On  ->  A  ~~  suc  A ) )
589, 57mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   class class class wbr 4453   Ord word 4883   Oncon0 4884   Lim wlim 4885   suc csuc 4886   omcom 6695    ~~ cen 7525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-1o 7142  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530
This theorem is referenced by:  cardlim  8365  cardsucinf  8377
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