Theorem infensuc 7752

Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88. Proved without the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
infensuc	|- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )

Proof of Theorem infensuc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onprc 6621	. . . . 5 |- -. On e. _V
2		eleq1 2494	. . . . 5 |- ( om = On -> ( om e. _V <-> On e. _V ) )
3	1, 2	mtbiri 304	. . . 4 |- ( om = On -> -. om e. _V )
4		ssexg 4566	. . . . 5 |- ( ( om C_ A /\ A e. On ) -> om e. _V )
5	4	ancoms 454	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> om e. _V )
6	3, 5	nsyl3 122	. . 3 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> -. om = On )
7		omon 6713	. . . 4 |- ( om e. On \/ om = On )
8	7	ori 376	. . 3 |- ( -. om e. On -> om = On )
9	6, 8	nsyl2 130	. 2 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> om e. On )
10		id 23	. . . . . . 7 |- ( x = om -> x = om )
11		suceq 5503	. . . . . . 7 |- ( x = om -> suc x = suc om )
12	10, 11	breq12d 4433	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( x ~~ suc x <-> om ~~ suc om ) )
13		id 23	. . . . . . 7 |- ( x = y -> x = y )
14		suceq 5503	. . . . . . 7 |- ( x = y -> suc x = suc y )
15	13, 14	breq12d 4433	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x ~~ suc x <-> y ~~ suc y ) )
16		id 23	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> x = suc y )
17		suceq 5503	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> suc x = suc suc y )
18	16, 17	breq12d 4433	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x ~~ suc x <-> suc y ~~ suc suc y ) )
19		id 23	. . . . . . 7 |- ( x = A -> x = A )
20		suceq 5503	. . . . . . 7 |- ( x = A -> suc x = suc A )
21	19, 20	breq12d 4433	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x ~~ suc x <-> A ~~ suc A ) )
22		limom 6717	. . . . . . 7 |- Lim om
23	22	limensuci 7750	. . . . . 6 |- ( om e. On -> om ~~ suc om )
24		vex 3084	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
25	24	sucex 6648	. . . . . . . . . 10 |- suc y e. _V
26		en2sn 7652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. _V /\ suc y e. _V ) -> { y } ~~ { suc y } )
27	24, 25, 26	mp2an 676	. . . . . . . . 9 |- { y } ~~ { suc y }
28		eloni 5448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. On -> Ord y )
29		ordirr 5456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord y -> -. y e. y )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On -> -. y e. y )
31		disjsn 4057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. y )
32	30, 31	sylibr 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> ( y i^i { y } ) = (/) )
33		eloni 5448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc y e. On -> Ord suc y )
34		ordirr 5456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord suc y -> -. suc y e. suc y )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. On -> -. suc y e. suc y )
36		sucelon 6654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On <-> suc y e. On )
37		disjsn 4057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc y i^i { suc y } ) = (/) <-> -. suc y e. suc y )
38	35, 36, 37	3imtr4i 269	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> ( suc y i^i { suc y } ) = (/) )
39	32, 38	jca 534	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) )
40		unen 7655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) /\ ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) ) -> ( y u. { y } ) ~~ ( suc y u. { suc y } ) )
41		df-suc 5444	. . . . . . . . . . . 12 |- suc y = ( y u. { y } )
42		df-suc 5444	. . . . . . . . . . . 12 |- suc suc y = ( suc y u. { suc y } )
43	40, 41, 42	3brtr4g 4453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) /\ ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) ) -> suc y ~~ suc suc y )
44	43	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) -> ( ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) -> suc y ~~ suc suc y ) )
45	39, 44	syl5 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) -> ( y e. On -> suc y ~~ suc suc y ) )
46	27, 45	mpan2 675	. . . . . . . 8 |- ( y ~~ suc y -> ( y e. On -> suc y ~~ suc suc y ) )
47	46	com12 32	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y ) )
48	47	ad2antrr 730	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. On /\ om e. On ) /\ om C_ y ) -> ( y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y ) )
49		vex 3084	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
50		limensuc 7751	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x ~~ suc x )
51	49, 50	mpan 674	. . . . . . . 8 |- ( Lim x -> x ~~ suc x )
52	51	ad2antrr 730	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ om e. On ) /\ om C_ x ) -> x ~~ suc x )
53	52	a1d 26	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ om e. On ) /\ om C_ x ) -> ( A. y e. x ( om C_ y -> y ~~ suc y ) -> x ~~ suc x ) )
54	12, 15, 18, 21, 23, 48, 53	tfindsg 6697	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ om e. On ) /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )
55	54	exp31 607	. . . 4 |- ( A e. On -> ( om e. On -> ( om C_ A -> A ~~ suc A ) ) )
56	55	com23 81	. . 3 |- ( A e. On -> ( om C_ A -> ( om e. On -> A ~~ suc A ) ) )
57	56	imp 430	. 2 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> ( om e. On -> A ~~ suc A ) )
58	9, 57	mpd 15	1 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996   class class class wbr 4420   Ord word 5437   Oncon0 5438   Lim wlim 5439   suc csuc 5440   omcom 6702   ~~ cen 7570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-om 6703  df-1o 7186  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575

This theorem is referenced by:  cardlim  8407  cardsucinf  8419