Theorem infensuc 5745

Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88.

Assertion

Ref	Expression
infensuc	|- ((A e. On /\ om C_ A) -> A ~~ suc A)

Proof of Theorem infensuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 5736	. 2 |- om e. On
2		id 73	. . . 4 |- (x = om -> x = om)
3		suceq 3729	. . . 4 |- (x = om -> suc x = suc om)
4	2, 3	breq12d 3351	. . 3 |- (x = om -> (x ~~ suc x <-> om ~~ suc om))
5		id 73	. . . 4 |- (x = y -> x = y)
6		suceq 3729	. . . 4 |- (x = y -> suc x = suc y)
7	5, 6	breq12d 3351	. . 3 |- (x = y -> (x ~~ suc x <-> y ~~ suc y))
8		id 73	. . . 4 |- (x = suc y -> x = suc y)
9		suceq 3729	. . . 4 |- (x = suc y -> suc x = suc suc y)
10	8, 9	breq12d 3351	. . 3 |- (x = suc y -> (x ~~ suc x <-> suc y ~~ suc suc y))
11		id 73	. . . 4 |- (x = A -> x = A)
12		suceq 3729	. . . 4 |- (x = A -> suc x = suc A)
13	11, 12	breq12d 3351	. . 3 |- (x = A -> (x ~~ suc x <-> A ~~ suc A))
14		omensuc 5744	. . . 4 |- om ~~ suc om
15	14	a1i 8	. . 3 |- (om e. On -> om ~~ suc om)
16		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
17	16	sucex 3892	. . . . . . 7 |- suc y e. _V
18		en2sn 5490	. . . . . . 7 |- ((y e. _V /\ suc y e. _V) -> {y} ~~ {suc y})
19	16, 17, 18	mp2an 761	. . . . . 6 |- {y} ~~ {suc y}
20		unen 5493	. . . . . . . . 9 |- (((y ~~ suc y /\ {y} ~~ {suc y}) /\ ((y i^i {y}) = (/) /\ (suc y i^i {suc y}) = (/))) -> (y u. {y}) ~~ (suc y u. {suc y}))
21		df-suc 3663	. . . . . . . . 9 |- suc y = (y u. {y})
22		df-suc 3663	. . . . . . . . 9 |- suc suc y = (suc y u. {suc y})
23	20, 21, 22	3brtr4g 3369	. . . . . . . 8 |- (((y ~~ suc y /\ {y} ~~ {suc y}) /\ ((y i^i {y}) = (/) /\ (suc y i^i {suc y}) = (/))) -> suc y ~~ suc suc y)
24	23	ex 402	. . . . . . 7 |- ((y ~~ suc y /\ {y} ~~ {suc y}) -> (((y i^i {y}) = (/) /\ (suc y i^i {suc y}) = (/)) -> suc y ~~ suc suc y))
25		eloni 3667	. . . . . . . . . 10 |- (y e. On -> Ord y)
26		ordirr 3676	. . . . . . . . . 10 |- (Ord y -> -. y e. y)
27	25, 26	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (y e. On -> -. y e. y)
28		disjsn 3089	. . . . . . . . 9 |- ((y i^i {y}) = (/) <-> -. y e. y)
29	27, 28	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- (y e. On -> (y i^i {y}) = (/))
30		eloni 3667	. . . . . . . . . 10 |- (suc y e. On -> Ord suc y)
31		ordirr 3676	. . . . . . . . . 10 |- (Ord suc y -> -. suc y e. suc y)
32	30, 31	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (suc y e. On -> -. suc y e. suc y)
33		sucelon 3898	. . . . . . . . 9 |- (y e. On <-> suc y e. On)
34		disjsn 3089	. . . . . . . . 9 |- ((suc y i^i {suc y}) = (/) <-> -. suc y e. suc y)
35	32, 33, 34	3imtr4i 236	. . . . . . . 8 |- (y e. On -> (suc y i^i {suc y}) = (/))
36	29, 35	jca 310	. . . . . . 7 |- (y e. On -> ((y i^i {y}) = (/) /\ (suc y i^i {suc y}) = (/)))
37	24, 36	syl5 20	. . . . . 6 |- ((y ~~ suc y /\ {y} ~~ {suc y}) -> (y e. On -> suc y ~~ suc suc y))
38	19, 37	mpan2 760	. . . . 5 |- (y ~~ suc y -> (y e. On -> suc y ~~ suc suc y))
39	38	com12 14	. . . 4 |- (y e. On -> (y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y))
40	39	ad2antrr 440	. . 3 |- (((y e. On /\ om e. On) /\ om C_ y) -> (y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y))
41		visset 2295	. . . . . 6 |- x e. _V
42		limensuc 5601	. . . . . 6 |- ((x e. _V /\ Lim x) -> x ~~ suc x)
43	41, 42	mpan 759	. . . . 5 |- (Lim x -> x ~~ suc x)
44	43	ad2antrr 440	. . . 4 |- (((Lim x /\ om e. On) /\ om C_ x) -> x ~~ suc x)
45	44	a1d 15	. . 3 |- (((Lim x /\ om e. On) /\ om C_ x) -> (A.y e. x (om C_ y -> y ~~ suc y) -> x ~~ suc x))
46	4, 7, 10, 13, 15, 40, 45	tfindsg 3944	. 2 |- (((A e. On /\ om e. On) /\ om C_ A) -> A ~~ suc A)
47	1, 46	mpanl2 771	1 |- ((A e. On /\ om C_ A) -> A ~~ suc A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044   class class class wbr 3338  Ord word 3656  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659  omcom 3949   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  omsublim 5887  cardsucinf 5993  cardlim 6003  omsublimOLD 15396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1o 5177  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428

Copyright terms: Public domain