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Theorem infensuc 7747
Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88. Proved without the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
infensuc  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem infensuc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onprc 6608 . . . . 5  |-  -.  On  e.  _V
2 eleq1 2516 . . . . 5  |-  ( om  =  On  ->  ( om  e.  _V  <->  On  e.  _V ) )
31, 2mtbiri 305 . . . 4  |-  ( om  =  On  ->  -.  om  e.  _V )
4 ssexg 4548 . . . . 5  |-  ( ( om  C_  A  /\  A  e.  On )  ->  om  e.  _V )
54ancoms 455 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  om  e.  _V )
63, 5nsyl3 123 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  -.  om  =  On )
7 omon 6700 . . . 4  |-  ( om  e.  On  \/  om  =  On )
87ori 377 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  On  ->  om  =  On )
96, 8nsyl2 131 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  om  e.  On )
10 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  x  =  om )
11 suceq 5487 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  suc  x  =  suc  om )
1210, 11breq12d 4414 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  om  ~~  suc  om ) )
13 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
14 suceq 5487 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
1513, 14breq12d 4414 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  y  ~~  suc  y ) )
16 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
17 suceq 5487 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  x  =  suc  suc  y )
1816, 17breq12d 4414 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  ~~  suc  x 
<->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
19 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
20 suceq 5487 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  suc  x  =  suc  A )
2119, 20breq12d 4414 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  A  ~~  suc  A ) )
22 limom 6704 . . . . . . 7  |-  Lim  om
2322limensuci 7745 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  om  ~~  suc  om )
24 vex 3047 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2524sucex 6635 . . . . . . . . . 10  |-  suc  y  e.  _V
26 en2sn 7646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  _V  /\  suc  y  e.  _V )  ->  { y } 
~~  { suc  y } )
2724, 25, 26mp2an 677 . . . . . . . . 9  |-  { y }  ~~  { suc  y }
28 eloni 5432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
29 ordirr 5440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  y  ->  -.  y  e.  y )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  -.  y  e.  y )
31 disjsn 4031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  y )
3230, 31sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  i^i  { y } )  =  (/) )
33 eloni 5432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  y  e.  On  ->  Ord 
suc  y )
34 ordirr 5440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
suc  y  ->  -.  suc  y  e.  suc  y )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  On  ->  -. 
suc  y  e.  suc  y )
36 sucelon 6641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  <->  suc  y  e.  On )
37 disjsn 4031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) 
<->  -.  suc  y  e. 
suc  y )
3835, 36, 373imtr4i 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) )
3932, 38jca 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )
40 unen 7649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y } 
~~  { suc  y } )  /\  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )  ->  ( y  u. 
{ y } ) 
~~  ( suc  y  u.  { suc  y } ) )
41 df-suc 5428 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  y  =  ( y  u. 
{ y } )
42 df-suc 5428 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  suc  y  =  ( suc  y  u.  { suc  y } )
4340, 41, 423brtr4g 4434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y } 
~~  { suc  y } )  /\  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y )
4443ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y }  ~~  { suc  y } )  ->  ( ( ( y  i^i  { y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i 
{ suc  y }
)  =  (/) )  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4539, 44syl5 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y }  ~~  { suc  y } )  ->  ( y  e.  On  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4627, 45mpan2 676 . . . . . . . 8  |-  ( y 
~~  suc  y  ->  ( y  e.  On  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4746com12 32 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  ~~  suc  y  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4847ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
om  e.  On )  /\  om  C_  y
)  ->  ( y  ~~  suc  y  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y
) )
49 vex 3047 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
50 limensuc 7746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  ~~  suc  x )
5149, 50mpan 675 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  x  ~~  suc  x )
5251ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  om  e.  On )  /\  om  C_  x )  ->  x  ~~  suc  x )
5352a1d 26 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  om  e.  On )  /\  om  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( om  C_  y  ->  y 
~~  suc  y )  ->  x  ~~  suc  x
) )
5412, 15, 18, 21, 23, 48, 53tfindsg 6684 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
om  e.  On )  /\  om  C_  A
)  ->  A  ~~  suc  A )
5554exp31 608 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  e.  On  ->  ( om  C_  A  ->  A  ~~  suc  A ) ) )
5655com23 81 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  C_  A  ->  ( om  e.  On  ->  A  ~~  suc  A ) ) )
5756imp 431 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  ( om  e.  On  ->  A  ~~  suc  A ) )
589, 57mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   _Vcvv 3044    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   {csn 3967   class class class wbr 4401   Ord word 5421   Oncon0 5422   Lim wlim 5423   suc csuc 5424   omcom 6689    ~~ cen 7563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6690  df-1o 7179  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568
This theorem is referenced by:  cardlim  8403  cardsucinf  8415
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