Theorem infensuc 7768

Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88. Proved without the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
infensuc	|- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )

Proof of Theorem infensuc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onprc 6630	. . . . 5 |- -. On e. _V
2		eleq1 2537	. . . . 5 |- ( om = On -> ( om e. _V <-> On e. _V ) )
3	1, 2	mtbiri 310	. . . 4 |- ( om = On -> -. om e. _V )
4		ssexg 4542	. . . . 5 |- ( ( om C_ A /\ A e. On ) -> om e. _V )
5	4	ancoms 460	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> om e. _V )
6	3, 5	nsyl3 123	. . 3 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> -. om = On )
7		omon 6722	. . . 4 |- ( om e. On \/ om = On )
8	7	ori 382	. . 3 |- ( -. om e. On -> om = On )
9	6, 8	nsyl2 132	. 2 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> om e. On )
10		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = om -> x = om )
11		suceq 5495	. . . . . . 7 |- ( x = om -> suc x = suc om )
12	10, 11	breq12d 4408	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( x ~~ suc x <-> om ~~ suc om ) )
13		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = y -> x = y )
14		suceq 5495	. . . . . . 7 |- ( x = y -> suc x = suc y )
15	13, 14	breq12d 4408	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x ~~ suc x <-> y ~~ suc y ) )
16		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> x = suc y )
17		suceq 5495	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> suc x = suc suc y )
18	16, 17	breq12d 4408	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x ~~ suc x <-> suc y ~~ suc suc y ) )
19		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = A -> x = A )
20		suceq 5495	. . . . . . 7 |- ( x = A -> suc x = suc A )
21	19, 20	breq12d 4408	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x ~~ suc x <-> A ~~ suc A ) )
22		limom 6726	. . . . . . 7 |- Lim om
23	22	limensuci 7766	. . . . . 6 |- ( om e. On -> om ~~ suc om )
24		vex 3034	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
25	24	sucex 6657	. . . . . . . . . 10 |- suc y e. _V
26		en2sn 7667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. _V /\ suc y e. _V ) -> { y } ~~ { suc y } )
27	24, 25, 26	mp2an 686	. . . . . . . . 9 |- { y } ~~ { suc y }
28		eloni 5440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. On -> Ord y )
29		ordirr 5448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord y -> -. y e. y )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On -> -. y e. y )
31		disjsn 4023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. y )
32	30, 31	sylibr 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> ( y i^i { y } ) = (/) )
33		eloni 5440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc y e. On -> Ord suc y )
34		ordirr 5448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord suc y -> -. suc y e. suc y )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. On -> -. suc y e. suc y )
36		sucelon 6663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On <-> suc y e. On )
37		disjsn 4023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc y i^i { suc y } ) = (/) <-> -. suc y e. suc y )
38	35, 36, 37	3imtr4i 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> ( suc y i^i { suc y } ) = (/) )
39	32, 38	jca 541	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) )
40		unen 7670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) /\ ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) ) -> ( y u. { y } ) ~~ ( suc y u. { suc y } ) )
41		df-suc 5436	. . . . . . . . . . . 12 |- suc y = ( y u. { y } )
42		df-suc 5436	. . . . . . . . . . . 12 |- suc suc y = ( suc y u. { suc y } )
43	40, 41, 42	3brtr4g 4428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) /\ ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) ) -> suc y ~~ suc suc y )
44	43	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) -> ( ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) -> suc y ~~ suc suc y ) )
45	39, 44	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) -> ( y e. On -> suc y ~~ suc suc y ) )
46	27, 45	mpan2 685	. . . . . . . 8 |- ( y ~~ suc y -> ( y e. On -> suc y ~~ suc suc y ) )
47	46	com12 31	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y ) )
48	47	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. On /\ om e. On ) /\ om C_ y ) -> ( y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y ) )
49		vex 3034	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
50		limensuc 7767	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x ~~ suc x )
51	49, 50	mpan 684	. . . . . . . 8 |- ( Lim x -> x ~~ suc x )
52	51	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ om e. On ) /\ om C_ x ) -> x ~~ suc x )
53	52	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ om e. On ) /\ om C_ x ) -> ( A. y e. x ( om C_ y -> y ~~ suc y ) -> x ~~ suc x ) )
54	12, 15, 18, 21, 23, 48, 53	tfindsg 6706	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ om e. On ) /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )
55	54	exp31 615	. . . 4 |- ( A e. On -> ( om e. On -> ( om C_ A -> A ~~ suc A ) ) )
56	55	com23 80	. . 3 |- ( A e. On -> ( om C_ A -> ( om e. On -> A ~~ suc A ) ) )
57	56	imp 436	. 2 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> ( om e. On -> A ~~ suc A ) )
58	9, 57	mpd 15	1 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395   Ord word 5429   Oncon0 5430   Lim wlim 5431   suc csuc 5432   omcom 6711   ~~ cen 7584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589

This theorem is referenced by:  cardlim  8424  cardsucinf  8436