Theorem infensuc 7707

Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88. Proved without the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
infensuc	|- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )

Proof of Theorem infensuc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onprc 6615	. . . . 5 |- -. On e. _V
2		eleq1 2539	. . . . 5 |- ( om = On -> ( om e. _V <-> On e. _V ) )
3	1, 2	mtbiri 303	. . . 4 |- ( om = On -> -. om e. _V )
4		ssexg 4599	. . . . 5 |- ( ( om C_ A /\ A e. On ) -> om e. _V )
5	4	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> om e. _V )
6	3, 5	nsyl3 119	. . 3 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> -. om = On )
7		omon 6706	. . . 4 |- ( om e. On \/ om = On )
8	7	ori 375	. . 3 |- ( -. om e. On -> om = On )
9	6, 8	nsyl2 127	. 2 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> om e. On )
10		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = om -> x = om )
11		suceq 4949	. . . . . . 7 |- ( x = om -> suc x = suc om )
12	10, 11	breq12d 4466	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( x ~~ suc x <-> om ~~ suc om ) )
13		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = y -> x = y )
14		suceq 4949	. . . . . . 7 |- ( x = y -> suc x = suc y )
15	13, 14	breq12d 4466	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x ~~ suc x <-> y ~~ suc y ) )
16		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> x = suc y )
17		suceq 4949	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> suc x = suc suc y )
18	16, 17	breq12d 4466	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x ~~ suc x <-> suc y ~~ suc suc y ) )
19		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = A -> x = A )
20		suceq 4949	. . . . . . 7 |- ( x = A -> suc x = suc A )
21	19, 20	breq12d 4466	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x ~~ suc x <-> A ~~ suc A ) )
22		limom 6710	. . . . . . 7 |- Lim om
23	22	limensuci 7705	. . . . . 6 |- ( om e. On -> om ~~ suc om )
24		vex 3121	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
25	24	sucex 6641	. . . . . . . . . 10 |- suc y e. _V
26		en2sn 7607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. _V /\ suc y e. _V ) -> { y } ~~ { suc y } )
27	24, 25, 26	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- { y } ~~ { suc y }
28		eloni 4894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. On -> Ord y )
29		ordirr 4902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord y -> -. y e. y )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On -> -. y e. y )
31		disjsn 4094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. y )
32	30, 31	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> ( y i^i { y } ) = (/) )
33		eloni 4894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc y e. On -> Ord suc y )
34		ordirr 4902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord suc y -> -. suc y e. suc y )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. On -> -. suc y e. suc y )
36		sucelon 6647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On <-> suc y e. On )
37		disjsn 4094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc y i^i { suc y } ) = (/) <-> -. suc y e. suc y )
38	35, 36, 37	3imtr4i 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> ( suc y i^i { suc y } ) = (/) )
39	32, 38	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) )
40		unen 7610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) /\ ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) ) -> ( y u. { y } ) ~~ ( suc y u. { suc y } ) )
41		df-suc 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- suc y = ( y u. { y } )
42		df-suc 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- suc suc y = ( suc y u. { suc y } )
43	40, 41, 42	3brtr4g 4485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) /\ ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) ) -> suc y ~~ suc suc y )
44	43	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) -> ( ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) -> suc y ~~ suc suc y ) )
45	39, 44	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) -> ( y e. On -> suc y ~~ suc suc y ) )
46	27, 45	mpan2 671	. . . . . . . 8 |- ( y ~~ suc y -> ( y e. On -> suc y ~~ suc suc y ) )
47	46	com12 31	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y ) )
48	47	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. On /\ om e. On ) /\ om C_ y ) -> ( y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y ) )
49		vex 3121	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
50		limensuc 7706	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x ~~ suc x )
51	49, 50	mpan 670	. . . . . . . 8 |- ( Lim x -> x ~~ suc x )
52	51	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ om e. On ) /\ om C_ x ) -> x ~~ suc x )
53	52	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ om e. On ) /\ om C_ x ) -> ( A. y e. x ( om C_ y -> y ~~ suc y ) -> x ~~ suc x ) )
54	12, 15, 18, 21, 23, 48, 53	tfindsg 6690	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ om e. On ) /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )
55	54	exp31 604	. . . 4 |- ( A e. On -> ( om e. On -> ( om C_ A -> A ~~ suc A ) ) )
56	55	com23 78	. . 3 |- ( A e. On -> ( om C_ A -> ( om e. On -> A ~~ suc A ) ) )
57	56	imp 429	. 2 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> ( om e. On -> A ~~ suc A ) )
58	9, 57	mpd 15	1 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   u. cun 3479   i^i cin 3480   C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   class class class wbr 4453   Ord word 4883   Oncon0 4884   Lim wlim 4885   suc csuc 4886   omcom 6695   ~~ cen 7525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-1o 7142  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530

This theorem is referenced by:  cardlim  8365  cardsucinf  8377