Theorem infensuc 7602

Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88. Proved without the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
infensuc	|- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )

Proof of Theorem infensuc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onprc 6509	. . . . 5 |- -. On e. _V
2		eleq1 2526	. . . . 5 |- ( om = On -> ( om e. _V <-> On e. _V ) )
3	1, 2	mtbiri 303	. . . 4 |- ( om = On -> -. om e. _V )
4		ssexg 4549	. . . . 5 |- ( ( om C_ A /\ A e. On ) -> om e. _V )
5	4	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> om e. _V )
6	3, 5	nsyl3 119	. . 3 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> -. om = On )
7		omon 6600	. . . 4 |- ( om e. On \/ om = On )
8	7	ori 375	. . 3 |- ( -. om e. On -> om = On )
9	6, 8	nsyl2 127	. 2 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> om e. On )
10		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = om -> x = om )
11		suceq 4895	. . . . . . 7 |- ( x = om -> suc x = suc om )
12	10, 11	breq12d 4416	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( x ~~ suc x <-> om ~~ suc om ) )
13		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = y -> x = y )
14		suceq 4895	. . . . . . 7 |- ( x = y -> suc x = suc y )
15	13, 14	breq12d 4416	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x ~~ suc x <-> y ~~ suc y ) )
16		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> x = suc y )
17		suceq 4895	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> suc x = suc suc y )
18	16, 17	breq12d 4416	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x ~~ suc x <-> suc y ~~ suc suc y ) )
19		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = A -> x = A )
20		suceq 4895	. . . . . . 7 |- ( x = A -> suc x = suc A )
21	19, 20	breq12d 4416	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x ~~ suc x <-> A ~~ suc A ) )
22		limom 6604	. . . . . . 7 |- Lim om
23	22	limensuci 7600	. . . . . 6 |- ( om e. On -> om ~~ suc om )
24		vex 3081	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
25	24	sucex 6535	. . . . . . . . . 10 |- suc y e. _V
26		en2sn 7502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. _V /\ suc y e. _V ) -> { y } ~~ { suc y } )
27	24, 25, 26	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- { y } ~~ { suc y }
28		eloni 4840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. On -> Ord y )
29		ordirr 4848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord y -> -. y e. y )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On -> -. y e. y )
31		disjsn 4047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. y )
32	30, 31	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> ( y i^i { y } ) = (/) )
33		eloni 4840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc y e. On -> Ord suc y )
34		ordirr 4848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord suc y -> -. suc y e. suc y )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. On -> -. suc y e. suc y )
36		sucelon 6541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On <-> suc y e. On )
37		disjsn 4047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc y i^i { suc y } ) = (/) <-> -. suc y e. suc y )
38	35, 36, 37	3imtr4i 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> ( suc y i^i { suc y } ) = (/) )
39	32, 38	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) )
40		unen 7505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) /\ ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) ) -> ( y u. { y } ) ~~ ( suc y u. { suc y } ) )
41		df-suc 4836	. . . . . . . . . . . 12 |- suc y = ( y u. { y } )
42		df-suc 4836	. . . . . . . . . . . 12 |- suc suc y = ( suc y u. { suc y } )
43	40, 41, 42	3brtr4g 4435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) /\ ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) ) -> suc y ~~ suc suc y )
44	43	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) -> ( ( ( y i^i { y } ) = (/) /\ ( suc y i^i { suc y } ) = (/) ) -> suc y ~~ suc suc y ) )
45	39, 44	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( y ~~ suc y /\ { y } ~~ { suc y } ) -> ( y e. On -> suc y ~~ suc suc y ) )
46	27, 45	mpan2 671	. . . . . . . 8 |- ( y ~~ suc y -> ( y e. On -> suc y ~~ suc suc y ) )
47	46	com12 31	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y ) )
48	47	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. On /\ om e. On ) /\ om C_ y ) -> ( y ~~ suc y -> suc y ~~ suc suc y ) )
49		vex 3081	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
50		limensuc 7601	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x ~~ suc x )
51	49, 50	mpan 670	. . . . . . . 8 |- ( Lim x -> x ~~ suc x )
52	51	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ om e. On ) /\ om C_ x ) -> x ~~ suc x )
53	52	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ om e. On ) /\ om C_ x ) -> ( A. y e. x ( om C_ y -> y ~~ suc y ) -> x ~~ suc x ) )
54	12, 15, 18, 21, 23, 48, 53	tfindsg 6584	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ om e. On ) /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )
55	54	exp31 604	. . . 4 |- ( A e. On -> ( om e. On -> ( om C_ A -> A ~~ suc A ) ) )
56	55	com23 78	. . 3 |- ( A e. On -> ( om C_ A -> ( om e. On -> A ~~ suc A ) ) )
57	56	imp 429	. 2 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> ( om e. On -> A ~~ suc A ) )
58	9, 57	mpd 15	1 |- ( ( A e. On /\ om C_ A ) -> A ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   u. cun 3437   i^i cin 3438   C_ wss 3439   (/)c0 3748   {csn 3988   class class class wbr 4403   Ord word 4829   Oncon0 4830   Lim wlim 4831   suc csuc 4832   omcom 6589   ~~ cen 7420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-om 6590  df-1o 7033  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425

This theorem is referenced by:  cardlim  8256  cardsucinf  8268