Theorem infemb 15207

Description: The inclusion functor is an embedding.

Hypotheses

Ref	Expression
infemb.1	|- M1 = dom (dom` T)
infemb.2	|- M2 = dom (dom` U)

Assertion

Ref	Expression
infemb	|- (U e. ( SubCat ` T) -> ( _I |` M2):M2-1-1->M1)

Proof of Theorem infemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infemb.1	. . . . 5 |- M1 = dom (dom` T)
2		infemb.2	. . . . 5 |- M2 = dom (dom` U)
3	1, 2	morsubc 15203	. . . 4 |- (U e. ( SubCat ` T) -> M2 C_ M1)
4		f1oi 4671	. . . 4 |- ( _I |` M2):M2-1-1-onto->M2
5	3, 4	jctil 316	. . 3 |- (U e. ( SubCat ` T) -> (( _I |` M2):M2-1-1-onto->M2 /\ M2 C_ M1))
6		fvex 4689	. . . . . 6 |- (dom` U) e. _V
7	6	dmex 4208	. . . . 5 |- dom (dom` U) e. _V
8	2, 7	eqeltri 1967	. . . 4 |- M2 e. _V
9		f1oeq3 4632	. . . . 5 |- (x = M2 -> (( _I |` M2):M2-1-1-onto->x <-> ( _I |` M2):M2-1-1-onto->M2))
10		sseq1 2637	. . . . 5 |- (x = M2 -> (x C_ M1 <-> M2 C_ M1))
11	9, 10	anbi12d 690	. . . 4 |- (x = M2 -> ((( _I |` M2):M2-1-1-onto->x /\ x C_ M1) <-> (( _I |` M2):M2-1-1-onto->M2 /\ M2 C_ M1)))
12	8, 11	cla4ev 2371	. . 3 |- ((( _I |` M2):M2-1-1-onto->M2 /\ M2 C_ M1) -> E.x(( _I |` M2):M2-1-1-onto->x /\ x C_ M1))
13	5, 12	syl 12	. 2 |- (U e. ( SubCat ` T) -> E.x(( _I |` M2):M2-1-1-onto->x /\ x C_ M1))
14		resiexg 4253	. . . 4 |- (M2 e. _V -> ( _I |` M2) e. _V)
15	8, 14	ax-mp 7	. . 3 |- ( _I |` M2) e. _V
16	15	f11o 4666	. 2 |- (( _I |` M2):M2-1-1->M1 <-> E.x(( _I |` M2):M2-1-1-onto->x /\ x C_ M1))
17	13, 16	sylibr 217	1 |- (U e. ( SubCat ` T) -> ( _I |` M2):M2-1-1->M1)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   _I cid 3582  dom cdm 3986   |` cres 3988  -1-1->wf1 3995  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  domcdom_ 15059   SubCat csubc 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-cat 15100  df-subc 15192

Copyright terms: Public domain