Theorem infdif 8837

Description: The cardinality of an infinite set does not change after subtracting a strictly smaller one. Example in [Enderton] p. 164.

Hypotheses

Ref	Expression
infunabs.1	|- A e. _V
infunabs.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
infdif	|- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> (A \ B) ~~ A)

Proof of Theorem infdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 5520	. 2 |- (((A \ B) ~<_ A /\ A ~<_ (A \ B)) -> (A \ B) ~~ A)
2		infunabs.1	. . 3 |- A e. _V
3		difss 2735	. . 3 |- (A \ B) C_ A
4		ssdom2g 5468	. . 3 |- (A e. _V -> ((A \ B) C_ A -> (A \ B) ~<_ A))
5	2, 3, 4	mp2 54	. 2 |- (A \ B) ~<_ A
6		infunabs.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
7	2, 6	infunabs 8834	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A u. B) ~~ A)
8	2	ensym 5471	. . . . . 6 |- ((A u. B) ~~ A -> A ~~ (A u. B))
9	7, 8	syl 12	. . . . 5 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> A ~~ (A u. B))
10		sdomdom 5445	. . . . 5 |- (B ~< A -> B ~<_ A)
11	9, 10	sylan2 500	. . . 4 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> A ~~ (A u. B))
12		omex 5733	. . . . . . . 8 |- om e. _V
13		entri2 5991	. . . . . . . 8 |- ((om e. _V /\ B e. _V) -> (om ~<_ B \/ B ~< om))
14	12, 6, 13	mp2an 761	. . . . . . 7 |- (om ~<_ B \/ B ~< om)
15		ssun1 2767	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ (A u. B)
16		ssdomg 5467	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. _V -> (A C_ (A u. B) -> A ~<_ (A u. B)))
17	2, 15, 16	mp2 54	. . . . . . . . . . . 12 |- A ~<_ (A u. B)
18	2, 6	unex 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A u. B) e. _V
19		domtri 5989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. _V /\ (A u. B) e. _V) -> (A ~<_ (A u. B) <-> -. (A u. B) ~< A))
20	2, 18, 19	mp2an 761	. . . . . . . . . . . 12 |- (A ~<_ (A u. B) <-> -. (A u. B) ~< A)
21	17, 20	mpbi 206	. . . . . . . . . . 11 |- -. (A u. B) ~< A
22		domsdomtr 5539	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A u. B) ~<_ (B +c B) /\ (B +c B) ~< A) -> (A u. B) ~< A)
23		domtr 5474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((A \ B) u. B) ~<_ ((A \ B) +c B) /\ ((A \ B) +c B) ~<_ (B +c B)) -> ((A \ B) u. B) ~<_ (B +c B))
24		difexg 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A e. _V -> (A \ B) e. _V)
25	2, 24	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A \ B) e. _V
26	25, 6	uncdadom 6069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A \ B) u. B) ~<_ ((A \ B) +c B)
27	25, 6, 6	cdadom1 6083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A \ B) ~<_ B -> ((A \ B) +c B) ~<_ (B +c B))
28	23, 26, 27	sylancr 526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A \ B) ~<_ B -> ((A \ B) u. B) ~<_ (B +c B))
29		undif1 2949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A \ B) u. B) = (A u. B)
30	28, 29	syl5eqbrr 3371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A \ B) ~<_ B -> (A u. B) ~<_ (B +c B))
31		ensdomtr 5534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((B +c B) ~~ B /\ B ~< A) -> (B +c B) ~< A)
32		domrefg 5452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (B e. _V -> B ~<_ B)
33	6, 32	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B ~<_ B
34	6, 6	infcdaabs 8835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((om ~<_ B /\ B ~<_ B) -> (B +c B) ~~ B)
35	33, 34	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (om ~<_ B -> (B +c B) ~~ B)
36	31, 35	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((om ~<_ B /\ B ~< A) -> (B +c B) ~< A)
37	36	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B ~< A /\ om ~<_ B) -> (B +c B) ~< A)
38	22, 30, 37	syl2an 503	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A \ B) ~<_ B /\ (B ~< A /\ om ~<_ B)) -> (A u. B) ~< A)
39	38	expcom 403	. . . . . . . . . . 11 |- ((B ~< A /\ om ~<_ B) -> ((A \ B) ~<_ B -> (A u. B) ~< A))
40	21, 39	mtoi 122	. . . . . . . . . 10 |- ((B ~< A /\ om ~<_ B) -> -. (A \ B) ~<_ B)
41	40	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (B ~< A -> (om ~<_ B -> -. (A \ B) ~<_ B))
42	41	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> (om ~<_ B -> -. (A \ B) ~<_ B))
43		simpll 448	. . . . . . . . . 10 |- (((om ~<_ A /\ B ~< A) /\ B ~< om) -> om ~<_ A)
44		domsdomtr 5539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A ~<_ (B +c B) /\ (B +c B) ~< om) -> A ~< om)
45		endomtr 5479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A ~~ (A u. B) /\ (A u. B) ~<_ (B +c B)) -> A ~<_ (B +c B))
46	45, 11, 30	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((om ~<_ A /\ B ~< A) /\ (A \ B) ~<_ B) -> A ~<_ (B +c B))
47		cdafi 6086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((B ~< om /\ B ~< om) -> (B +c B) ~< om)
48	47	anidms 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B ~< om -> (B +c B) ~< om)
49	44, 46, 48	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((om ~<_ A /\ B ~< A) /\ (A \ B) ~<_ B) /\ B ~< om) -> A ~< om)
50	49	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((om ~<_ A /\ B ~< A) /\ B ~< om) /\ (A \ B) ~<_ B) -> A ~< om)
51	50	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- (((om ~<_ A /\ B ~< A) /\ B ~< om) -> ((A \ B) ~<_ B -> A ~< om))
52	51	con3d 111	. . . . . . . . . . 11 |- (((om ~<_ A /\ B ~< A) /\ B ~< om) -> (-. A ~< om -> -. (A \ B) ~<_ B))
53		domtri 5989	. . . . . . . . . . . 12 |- ((om e. _V /\ A e. _V) -> (om ~<_ A <-> -. A ~< om))
54	12, 2, 53	mp2an 761	. . . . . . . . . . 11 |- (om ~<_ A <-> -. A ~< om)
55	52, 54	syl5ib 223	. . . . . . . . . 10 |- (((om ~<_ A /\ B ~< A) /\ B ~< om) -> (om ~<_ A -> -. (A \ B) ~<_ B))
56	43, 55	mpd 29	. . . . . . . . 9 |- (((om ~<_ A /\ B ~< A) /\ B ~< om) -> -. (A \ B) ~<_ B)
57	56	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> (B ~< om -> -. (A \ B) ~<_ B))
58	42, 57	jaod 469	. . . . . . 7 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> ((om ~<_ B \/ B ~< om) -> -. (A \ B) ~<_ B))
59	14, 58	mpi 55	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> -. (A \ B) ~<_ B)
60		domtri 5989	. . . . . . . 8 |- (((A \ B) e. _V /\ B e. _V) -> ((A \ B) ~<_ B <-> -. B ~< (A \ B)))
61	25, 6, 60	mp2an 761	. . . . . . 7 |- ((A \ B) ~<_ B <-> -. B ~< (A \ B))
62	61	con2bii 238	. . . . . 6 |- (B ~< (A \ B) <-> -. (A \ B) ~<_ B)
63	59, 62	sylibr 217	. . . . 5 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> B ~< (A \ B))
64		sdomdom 5445	. . . . 5 |- (B ~< (A \ B) -> B ~<_ (A \ B))
65		domtr 5474	. . . . . 6 |- (((A u. B) ~<_ ((A \ B) +c B) /\ ((A \ B) +c B) ~<_ ((A \ B) +c (A \ B))) -> (A u. B) ~<_ ((A \ B) +c (A \ B)))
66	29, 26	eqbrtrri 3358	. . . . . 6 |- (A u. B) ~<_ ((A \ B) +c B)
67	6, 25, 25	cdadom2 6084	. . . . . 6 |- (B ~<_ (A \ B) -> ((A \ B) +c B) ~<_ ((A \ B) +c (A \ B)))
68	65, 66, 67	sylancr 526	. . . . 5 |- (B ~<_ (A \ B) -> (A u. B) ~<_ ((A \ B) +c (A \ B)))
69	63, 64, 68	3syl 24	. . . 4 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> (A u. B) ~<_ ((A \ B) +c (A \ B)))
70		endomtr 5479	. . . 4 |- ((A ~~ (A u. B) /\ (A u. B) ~<_ ((A \ B) +c (A \ B))) -> A ~<_ ((A \ B) +c (A \ B)))
71	11, 69, 70	syl11anc 524	. . 3 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> A ~<_ ((A \ B) +c (A \ B)))
72	25, 25	infcdaabs 8835	. . . . 5 |- ((om ~<_ (A \ B) /\ (A \ B) ~<_ (A \ B)) -> ((A \ B) +c (A \ B)) ~~ (A \ B))
73		domtr 5474	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ ((A \ B) +c (A \ B))) -> om ~<_ ((A \ B) +c (A \ B)))
74	25	cdainf 6087	. . . . . 6 |- (om ~<_ (A \ B) <-> om ~<_ ((A \ B) +c (A \ B)))
75	73, 74	sylibr 217	. . . . 5 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ ((A \ B) +c (A \ B))) -> om ~<_ (A \ B))
76		domrefg 5452	. . . . . 6 |- ((A \ B) e. _V -> (A \ B) ~<_ (A \ B))
77	25, 76	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A \ B) ~<_ (A \ B)
78	72, 75, 77	sylancl 525	. . . 4 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ ((A \ B) +c (A \ B))) -> ((A \ B) +c (A \ B)) ~~ (A \ B))
79		domentr 5480	. . . . . 6 |- ((A ~<_ ((A \ B) +c (A \ B)) /\ ((A \ B) +c (A \ B)) ~~ (A \ B)) -> A ~<_ (A \ B))
80	79	ex 402	. . . . 5 |- (A ~<_ ((A \ B) +c (A \ B)) -> (((A \ B) +c (A \ B)) ~~ (A \ B) -> A ~<_ (A \ B)))
81	80	adantl 424	. . . 4 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ ((A \ B) +c (A \ B))) -> (((A \ B) +c (A \ B)) ~~ (A \ B) -> A ~<_ (A \ B)))
82	78, 81	mpd 29	. . 3 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ ((A \ B) +c (A \ B))) -> A ~<_ (A \ B))
83	71, 82	syldan 516	. 2 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> A ~<_ (A \ B))
84	1, 5, 83	sylancr 526	1 |- ((om ~<_ A /\ B ~< A) -> (A \ B) ~~ A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   u. cun 2591   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  omcom 3949  (class class class)co 4884   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425   +c ccda 6065

This theorem is referenced by:  infdif2 8838  infpss 8843  aleph1irr 8847  alephsuc3 8854

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-card 5862  df-cda 6066  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain