MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcvgaux2i Structured version   Unicode version

Theorem infcvgaux2i 13319
Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 13317. (Contributed by NM, 4-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
infcvg.1  |-  R  =  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }
infcvg.2  |-  ( y  e.  X  ->  A  e.  RR )
infcvg.3  |-  Z  e.  X
infcvg.4  |-  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
infcvg.5a  |-  S  = 
-u sup ( R ,  RR ,  <  )
infcvg.13  |-  ( y  =  C  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
infcvgaux2i  |-  ( C  e.  X  ->  S  <_  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    z, w, R    x, X, y    x, Z, y    y, C
Allowed substitution hints:    A( y, z, w)    B( z, w)    C( x, z, w)    R( x, y)    S( x, y, z, w)    X( z, w)    Z( z, w)

Proof of Theorem infcvgaux2i
StepHypRef Expression
1 infcvg.5a . 2  |-  S  = 
-u sup ( R ,  RR ,  <  )
2 eqid 2442 . . . . . 6  |-  -u B  =  -u B
3 infcvg.13 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  C  ->  A  =  B )
43negeqd 9603 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  C  ->  -u A  =  -u B )
54eqeq2d 2453 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  ( -u B  =  -u A  <->  -u B  =  -u B
) )
65rspcev 3072 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  -u B  =  -u B
)  ->  E. y  e.  X  -u B  = 
-u A )
72, 6mpan2 671 . . . . 5  |-  ( C  e.  X  ->  E. y  e.  X  -u B  = 
-u A )
8 negex 9607 . . . . . 6  |-  -u B  e.  _V
9 eqeq1 2448 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u B  ->  (
x  =  -u A  <->  -u B  =  -u A
) )
109rexbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u B  ->  ( E. y  e.  X  x  =  -u A  <->  E. y  e.  X  -u B  = 
-u A ) )
11 infcvg.1 . . . . . 6  |-  R  =  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }
128, 10, 11elab2 3108 . . . . 5  |-  ( -u B  e.  R  <->  E. y  e.  X  -u B  = 
-u A )
137, 12sylibr 212 . . . 4  |-  ( C  e.  X  ->  -u B  e.  R )
14 infcvg.2 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X  ->  A  e.  RR )
15 infcvg.3 . . . . . 6  |-  Z  e.  X
16 infcvg.4 . . . . . 6  |-  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
1711, 14, 15, 16infcvgaux1i 13318 . . . . 5  |-  ( R 
C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
)
1817suprubii 10300 . . . 4  |-  ( -u B  e.  R  ->  -u B  <_  sup ( R ,  RR ,  <  ) )
1913, 18syl 16 . . 3  |-  ( C  e.  X  ->  -u B  <_  sup ( R ,  RR ,  <  ) )
203eleq1d 2508 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( A  e.  RR  <->  B  e.  RR ) )
2120, 14vtoclga 3035 . . . 4  |-  ( C  e.  X  ->  B  e.  RR )
2217suprclii 10299 . . . 4  |-  sup ( R ,  RR ,  <  )  e.  RR
23 lenegcon1 9842 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( R ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( -u B  <_  sup ( R ,  RR ,  <  )  <->  -u sup ( R ,  RR ,  <  )  <_  B )
)
2421, 22, 23sylancl 662 . . 3  |-  ( C  e.  X  ->  ( -u B  <_  sup ( R ,  RR ,  <  )  <->  -u sup ( R ,  RR ,  <  )  <_  B ) )
2519, 24mpbid 210 . 2  |-  ( C  e.  X  ->  -u sup ( R ,  RR ,  <  )  <_  B )
261, 25syl5eqbr 4324 1  |-  ( C  e.  X  ->  S  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2428   A.wral 2714   E.wrex 2715   class class class wbr 4291   supcsup 7689   RRcr 9280    < clt 9417    <_ cle 9418   -ucneg 9595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator