MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcvgaux2i Structured version   Unicode version

Theorem infcvgaux2i 13726
Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 13724. (Contributed by NM, 4-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
infcvg.1  |-  R  =  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }
infcvg.2  |-  ( y  e.  X  ->  A  e.  RR )
infcvg.3  |-  Z  e.  X
infcvg.4  |-  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
infcvg.5a  |-  S  = 
-u sup ( R ,  RR ,  <  )
infcvg.13  |-  ( y  =  C  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
infcvgaux2i  |-  ( C  e.  X  ->  S  <_  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    z, w, R    x, X, y    x, Z, y    y, C
Allowed substitution hints:    A( y, z, w)    B( z, w)    C( x, z, w)    R( x, y)    S( x, y, z, w)    X( z, w)    Z( z, w)

Proof of Theorem infcvgaux2i
StepHypRef Expression
1 infcvg.5a . 2  |-  S  = 
-u sup ( R ,  RR ,  <  )
2 eqid 2400 . . . . . 6  |-  -u B  =  -u B
3 infcvg.13 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  C  ->  A  =  B )
43negeqd 9768 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  C  ->  -u A  =  -u B )
54eqeq2d 2414 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  ( -u B  =  -u A  <->  -u B  =  -u B
) )
65rspcev 3157 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  -u B  =  -u B
)  ->  E. y  e.  X  -u B  = 
-u A )
72, 6mpan2 669 . . . . 5  |-  ( C  e.  X  ->  E. y  e.  X  -u B  = 
-u A )
8 negex 9772 . . . . . 6  |-  -u B  e.  _V
9 eqeq1 2404 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u B  ->  (
x  =  -u A  <->  -u B  =  -u A
) )
109rexbidv 2915 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u B  ->  ( E. y  e.  X  x  =  -u A  <->  E. y  e.  X  -u B  = 
-u A ) )
11 infcvg.1 . . . . . 6  |-  R  =  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }
128, 10, 11elab2 3196 . . . . 5  |-  ( -u B  e.  R  <->  E. y  e.  X  -u B  = 
-u A )
137, 12sylibr 212 . . . 4  |-  ( C  e.  X  ->  -u B  e.  R )
14 infcvg.2 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X  ->  A  e.  RR )
15 infcvg.3 . . . . . 6  |-  Z  e.  X
16 infcvg.4 . . . . . 6  |-  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
1711, 14, 15, 16infcvgaux1i 13725 . . . . 5  |-  ( R 
C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
)
1817suprubii 10472 . . . 4  |-  ( -u B  e.  R  ->  -u B  <_  sup ( R ,  RR ,  <  ) )
1913, 18syl 17 . . 3  |-  ( C  e.  X  ->  -u B  <_  sup ( R ,  RR ,  <  ) )
203eleq1d 2469 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( A  e.  RR  <->  B  e.  RR ) )
2120, 14vtoclga 3120 . . . 4  |-  ( C  e.  X  ->  B  e.  RR )
2217suprclii 10471 . . . 4  |-  sup ( R ,  RR ,  <  )  e.  RR
23 lenegcon1 10015 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( R ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( -u B  <_  sup ( R ,  RR ,  <  )  <->  -u sup ( R ,  RR ,  <  )  <_  B )
)
2421, 22, 23sylancl 660 . . 3  |-  ( C  e.  X  ->  ( -u B  <_  sup ( R ,  RR ,  <  )  <->  -u sup ( R ,  RR ,  <  )  <_  B ) )
2519, 24mpbid 210 . 2  |-  ( C  e.  X  ->  -u sup ( R ,  RR ,  <  )  <_  B )
261, 25syl5eqbr 4425 1  |-  ( C  e.  X  ->  S  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1403    e. wcel 1840   {cab 2385   A.wral 2751   E.wrex 2752   class class class wbr 4392   supcsup 7852   RRcr 9439    < clt 9576    <_ cle 9577   -ucneg 9760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator