MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcvgaux1i Structured version   Unicode version

Theorem infcvgaux1i 13893
Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 13892. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
infcvg.1  |-  R  =  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }
infcvg.2  |-  ( y  e.  X  ->  A  e.  RR )
infcvg.3  |-  Z  e.  X
infcvg.4  |-  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
Assertion
Ref Expression
infcvgaux1i  |-  ( R 
C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
)
Distinct variable groups:    x, A    x, y    z, w, R   
x, X, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    A( y, z, w)    R( x, y)    X( z, w)    Z( z, w)

Proof of Theorem infcvgaux1i
StepHypRef Expression
1 infcvg.1 . . 3  |-  R  =  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }
2 infcvg.2 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  A  e.  RR )
32renegcld 10045 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X  ->  -u A  e.  RR )
4 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u A  ->  (
x  e.  RR  <->  -u A  e.  RR ) )
53, 4syl5ibrcom 225 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  ->  (
x  =  -u A  ->  x  e.  RR ) )
65rexlimiv 2918 . . . 4  |-  ( E. y  e.  X  x  =  -u A  ->  x  e.  RR )
76abssi 3542 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }  C_  RR
81, 7eqsstri 3500 . 2  |-  R  C_  RR
9 infcvg.3 . . . . . 6  |-  Z  e.  X
10 eqid 2429 . . . . . 6  |-  -u [_ Z  /  y ]_ A  =  -u [_ Z  / 
y ]_ A
1110nfth 1672 . . . . . . 7  |-  F/ y
-u [_ Z  /  y ]_ A  =  -u [_ Z  /  y ]_ A
12 csbeq1a 3410 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Z  ->  A  =  [_ Z  /  y ]_ A )
1312negeqd 9868 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Z  ->  -u A  =  -u [_ Z  / 
y ]_ A )
1413eqeq2d 2443 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Z  ->  ( -u
[_ Z  /  y ]_ A  =  -u A  <->  -u
[_ Z  /  y ]_ A  =  -u [_ Z  /  y ]_ A
) )
1511, 14rspce 3183 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  X  /\  -u
[_ Z  /  y ]_ A  =  -u [_ Z  /  y ]_ A
)  ->  E. y  e.  X  -u [_ Z  /  y ]_ A  =  -u A )
169, 10, 15mp2an 676 . . . . 5  |-  E. y  e.  X  -u [_ Z  /  y ]_ A  =  -u A
17 negex 9872 . . . . . 6  |-  -u [_ Z  /  y ]_ A  e.  _V
18 nfcsb1v 3417 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y [_ Z  /  y ]_ A
1918nfneg 9870 . . . . . . . 8  |-  F/_ y -u
[_ Z  /  y ]_ A
2019nfeq2 2608 . . . . . . 7  |-  F/ y  x  =  -u [_ Z  /  y ]_ A
21 eqeq1 2433 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u [_ Z  / 
y ]_ A  ->  (
x  =  -u A  <->  -u
[_ Z  /  y ]_ A  =  -u A
) )
2220, 21rexbid 2945 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u [_ Z  / 
y ]_ A  ->  ( E. y  e.  X  x  =  -u A  <->  E. y  e.  X  -u [_ Z  /  y ]_ A  =  -u A ) )
2317, 22elab 3224 . . . . 5  |-  ( -u [_ Z  /  y ]_ A  e.  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }  <->  E. y  e.  X  -u [_ Z  /  y ]_ A  =  -u A )
2416, 23mpbir 212 . . . 4  |-  -u [_ Z  /  y ]_ A  e.  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }
2524, 1eleqtrri 2516 . . 3  |-  -u [_ Z  /  y ]_ A  e.  R
2625ne0ii 3774 . 2  |-  R  =/=  (/)
27 infcvg.4 . 2  |-  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
288, 26, 273pm3.2i 1183 1  |-  ( R 
C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cab 2414    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   [_csb 3401    C_ wss 3442   (/)c0 3767   class class class wbr 4426   RRcr 9537    <_ cle 9675   -ucneg 9860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-ltxr 9679  df-sub 9861  df-neg 9862
This theorem is referenced by:  infcvgaux2i  13894
  Copyright terms: Public domain W3C validator