MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcvgaux1i Structured version   Unicode version

Theorem infcvgaux1i 13338
Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 13337. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
infcvg.1  |-  R  =  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }
infcvg.2  |-  ( y  e.  X  ->  A  e.  RR )
infcvg.3  |-  Z  e.  X
infcvg.4  |-  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
Assertion
Ref Expression
infcvgaux1i  |-  ( R 
C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
)
Distinct variable groups:    x, A    x, y    z, w, R   
x, X, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    A( y, z, w)    R( x, y)    X( z, w)    Z( z, w)

Proof of Theorem infcvgaux1i
StepHypRef Expression
1 infcvg.1 . . 3  |-  R  =  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }
2 infcvg.2 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  A  e.  RR )
32renegcld 9794 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X  ->  -u A  e.  RR )
4 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u A  ->  (
x  e.  RR  <->  -u A  e.  RR ) )
53, 4syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  ->  (
x  =  -u A  ->  x  e.  RR ) )
65rexlimiv 2854 . . . 4  |-  ( E. y  e.  X  x  =  -u A  ->  x  e.  RR )
76abssi 3446 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }  C_  RR
81, 7eqsstri 3405 . 2  |-  R  C_  RR
9 infcvg.3 . . . . . 6  |-  Z  e.  X
10 eqid 2443 . . . . . 6  |-  -u [_ Z  /  y ]_ A  =  -u [_ Z  / 
y ]_ A
1110nfth 1598 . . . . . . 7  |-  F/ y
-u [_ Z  /  y ]_ A  =  -u [_ Z  /  y ]_ A
12 csbeq1a 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Z  ->  A  =  [_ Z  /  y ]_ A )
1312negeqd 9623 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Z  ->  -u A  =  -u [_ Z  / 
y ]_ A )
1413eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Z  ->  ( -u
[_ Z  /  y ]_ A  =  -u A  <->  -u
[_ Z  /  y ]_ A  =  -u [_ Z  /  y ]_ A
) )
1511, 14rspce 3087 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  X  /\  -u
[_ Z  /  y ]_ A  =  -u [_ Z  /  y ]_ A
)  ->  E. y  e.  X  -u [_ Z  /  y ]_ A  =  -u A )
169, 10, 15mp2an 672 . . . . 5  |-  E. y  e.  X  -u [_ Z  /  y ]_ A  =  -u A
17 negex 9627 . . . . . 6  |-  -u [_ Z  /  y ]_ A  e.  _V
18 nfcsb1v 3323 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y [_ Z  /  y ]_ A
1918nfneg 9625 . . . . . . . 8  |-  F/_ y -u
[_ Z  /  y ]_ A
2019nfeq2 2605 . . . . . . 7  |-  F/ y  x  =  -u [_ Z  /  y ]_ A
21 eqeq1 2449 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u [_ Z  / 
y ]_ A  ->  (
x  =  -u A  <->  -u
[_ Z  /  y ]_ A  =  -u A
) )
2220, 21rexbid 2753 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u [_ Z  / 
y ]_ A  ->  ( E. y  e.  X  x  =  -u A  <->  E. y  e.  X  -u [_ Z  /  y ]_ A  =  -u A ) )
2317, 22elab 3125 . . . . 5  |-  ( -u [_ Z  /  y ]_ A  e.  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }  <->  E. y  e.  X  -u [_ Z  /  y ]_ A  =  -u A )
2416, 23mpbir 209 . . . 4  |-  -u [_ Z  /  y ]_ A  e.  { x  |  E. y  e.  X  x  =  -u A }
2524, 1eleqtrri 2516 . . 3  |-  -u [_ Z  /  y ]_ A  e.  R
26 ne0i 3662 . . 3  |-  ( -u [_ Z  /  y ]_ A  e.  R  ->  R  =/=  (/) )
2725, 26ax-mp 5 . 2  |-  R  =/=  (/)
28 infcvg.4 . 2  |-  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
298, 27, 283pm3.2i 1166 1  |-  ( R 
C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  R  w  <_  z
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2620   A.wral 2734   E.wrex 2735   [_csb 3307    C_ wss 3347   (/)c0 3656   class class class wbr 4311   RRcr 9300    <_ cle 9438   -ucneg 9615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-op 3903  df-uni 4111  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-ltxr 9442  df-sub 9616  df-neg 9617
This theorem is referenced by:  infcvgaux2i  13339
  Copyright terms: Public domain W3C validator