Theorem inf3lemd 5718

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 5726 for detailed description.

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	|- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) C_ y}}
inf3lem.2	|- F = (rec(G, (/)) |` om)
inf3lem.3	|- A e. _V
inf3lem.4	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemd	|- (A e. om -> (F` A) C_ x)

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem inf3lemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 2900	. . . 4 |- (/) C_ x
2		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (A = (/) -> (F` A) = (F` (/)))
3		inf3lem.1	. . . . . . 7 |- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) C_ y}}
4		inf3lem.2	. . . . . . 7 |- F = (rec(G, (/)) |` om)
5		inf3lem.3	. . . . . . 7 |- A e. _V
6		inf3lem.4	. . . . . . 7 |- B e. _V
7	3, 4, 5, 6	inf3lemb 5716	. . . . . 6 |- (F` (/)) = (/)
8	2, 7	syl6eq 1944	. . . . 5 |- (A = (/) -> (F` A) = (/))
9	8	sseq1d 2644	. . . 4 |- (A = (/) -> ((F` A) C_ x <-> (/) C_ x))
10	1, 9	mpbiri 211	. . 3 |- (A = (/) -> (F` A) C_ x)
11	10	a1d 15	. 2 |- (A = (/) -> (A e. om -> (F` A) C_ x))
12		nnsuc 3969	. . . 4 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> E.v e. om A = suc v)
13		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (A = suc v -> (F` A) = (F` suc v))
14	13	sseq1d 2644	. . . . . 6 |- (A = suc v -> ((F` A) C_ x <-> (F` suc v) C_ x))
15		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- v e. _V
16	3, 4, 15, 6	inf3lemc 5717	. . . . . . . . 9 |- (v e. om -> (F` suc v) = (G` (F` v)))
17	16	eleq2d 1964	. . . . . . . 8 |- (v e. om -> (u e. (F` suc v) <-> u e. (G` (F` v))))
18		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
19		fvex 4689	. . . . . . . . . 10 |- (F` v) e. _V
20	3, 4, 18, 19	inf3lema 5715	. . . . . . . . 9 |- (u e. (G` (F` v)) <-> (u e. x /\ (u i^i x) C_ (F` v)))
21	20	simplbi 349	. . . . . . . 8 |- (u e. (G` (F` v)) -> u e. x)
22	17, 21	syl6bi 231	. . . . . . 7 |- (v e. om -> (u e. (F` suc v) -> u e. x))
23	22	ssrdv 2622	. . . . . 6 |- (v e. om -> (F` suc v) C_ x)
24	14, 23	syl5cbir 228	. . . . 5 |- (v e. om -> (A = suc v -> (F` A) C_ x))
25	24	r19.23aiv 2211	. . . 4 |- (E.v e. om A = suc v -> (F` A) C_ x)
26	12, 25	syl 12	. . 3 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> (F` A) C_ x)
27	26	expcom 403	. 2 |- (A =/= (/) -> (A e. om -> (F` A) C_ x))
28	11, 27	pm2.61ine 2089	1 |- (A e. om -> (F` A) C_ x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {copab 3395  suc csuc 3659  omcom 3949   |` cres 3988  ` cfv 3998  reccrdg 5139

This theorem is referenced by:  inf3lem2 5720  inf3lem3 5721  inf3lem6 5724

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140

Copyright terms: Public domain