MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lemc Structured version   Unicode version

Theorem inf3lemc 8034
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8043 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
inf3lem.2  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
inf3lem.3  |-  A  e. 
_V
inf3lem.4  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
inf3lemc  |-  ( A  e.  om  ->  ( F `  suc  A )  =  ( G `  ( F `  A ) ) )
Distinct variable group:    x, y, w
Allowed substitution hints:    A( x, y, w)    B( x, y, w)    F( x, y, w)    G( x, y, w)

Proof of Theorem inf3lemc
StepHypRef Expression
1 frsuc 7094 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  A )  =  ( G `  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  A ) ) )
2 inf3lem.2 . . 3  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
32fveq1i 5849 . 2  |-  ( F `
 suc  A )  =  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  A )
42fveq1i 5849 . . 3  |-  ( F `
 A )  =  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  A )
54fveq2i 5851 . 2  |-  ( G `
 ( F `  A ) )  =  ( G `  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  A ) )
61, 3, 53eqtr4g 2520 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( F `  suc  A )  =  ( G `  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   {crab 2808   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783    |-> cmpt 4497   suc csuc 4869    |` cres 4990   ` cfv 5570   omcom 6673   reccrdg 7067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068
This theorem is referenced by:  inf3lemd  8035  inf3lem1  8036  inf3lem2  8037  inf3lem3  8038
  Copyright terms: Public domain W3C validator