MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lemc Structured version   Unicode version

Theorem inf3lemc 7936
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 7945 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
inf3lem.2  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
inf3lem.3  |-  A  e. 
_V
inf3lem.4  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
inf3lemc  |-  ( A  e.  om  ->  ( F `  suc  A )  =  ( G `  ( F `  A ) ) )
Distinct variable group:    x, y, w
Allowed substitution hints:    A( x, y, w)    B( x, y, w)    F( x, y, w)    G( x, y, w)

Proof of Theorem inf3lemc
StepHypRef Expression
1 frsuc 6995 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  A )  =  ( G `  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  A ) ) )
2 inf3lem.2 . . 3  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
32fveq1i 5793 . 2  |-  ( F `
 suc  A )  =  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  A )
42fveq1i 5793 . . 3  |-  ( F `
 A )  =  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  A )
54fveq2i 5795 . 2  |-  ( G `
 ( F `  A ) )  =  ( G `  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  A ) )
61, 3, 53eqtr4g 2517 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( F `  suc  A )  =  ( G `  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   _Vcvv 3071    i^i cin 3428    C_ wss 3429   (/)c0 3738    |-> cmpt 4451   suc csuc 4822    |` cres 4943   ` cfv 5519   omcom 6579   reccrdg 6968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969
This theorem is referenced by:  inf3lemd  7937  inf3lem1  7938  inf3lem2  7939  inf3lem3  7940
  Copyright terms: Public domain W3C validator