MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lemb Structured version   Unicode version

Theorem inf3lemb 7941
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 7951 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
inf3lem.2  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
inf3lem.3  |-  A  e. 
_V
inf3lem.4  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
inf3lemb  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
Distinct variable group:    x, y, w
Allowed substitution hints:    A( x, y, w)    B( x, y, w)    F( x, y, w)    G( x, y, w)

Proof of Theorem inf3lemb
StepHypRef Expression
1 inf3lem.2 . . 3  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
21fveq1i 5799 . 2  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )
3 0ex 4529 . . 3  |-  (/)  e.  _V
4 fr0g 7000 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
53, 4ax-mp 5 . 2  |-  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )  =  (/)
62, 5eqtri 2483 1  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2802   _Vcvv 3076    i^i cin 3434    C_ wss 3435   (/)c0 3744    |-> cmpt 4457    |` cres 4949   ` cfv 5525   omcom 6585   reccrdg 6974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975
This theorem is referenced by:  inf3lemd  7943  inf3lem1  7944  inf3lem2  7945
  Copyright terms: Public domain W3C validator