Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem6 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem inf3lem6 8135
 Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8137 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4
Assertion
Ref Expression
inf3lem6
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem inf3lem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . . . . . . . . 11
2 inf3lem.2 . . . . . . . . . . 11
3 vex 3047 . . . . . . . . . . 11
4 vex 3047 . . . . . . . . . . 11
51, 2, 3, 4inf3lem5 8134 . . . . . . . . . 10
6 dfpss2 3517 . . . . . . . . . . 11
76simprbi 466 . . . . . . . . . 10
85, 7syl6 34 . . . . . . . . 9
98expdimp 439 . . . . . . . 8
109adantrl 721 . . . . . . 7
111, 2, 4, 3inf3lem5 8134 . . . . . . . . . 10
12 dfpss2 3517 . . . . . . . . . . . 12
1312simprbi 466 . . . . . . . . . . 11
14 eqcom 2457 . . . . . . . . . . 11
1513, 14sylnib 306 . . . . . . . . . 10
1611, 15syl6 34 . . . . . . . . 9
1716expdimp 439 . . . . . . . 8
1817adantrr 722 . . . . . . 7
1910, 18jaod 382 . . . . . 6
2019con2d 119 . . . . 5
21 nnord 6697 . . . . . . 7
22 nnord 6697 . . . . . . 7
23 ordtri3 5458 . . . . . . 7
2421, 22, 23syl2an 480 . . . . . 6
2524adantl 468 . . . . 5
2620, 25sylibrd 238 . . . 4
2726ralrimivva 2808 . . 3
28 frfnom 7149 . . . . . 6
29 fneq1 5662 . . . . . 6
3028, 29mpbiri 237 . . . . 5
31 fvelrnb 5910 . . . . . . . 8
32 inf3lem.4 . . . . . . . . . . . 12
331, 2, 4, 32inf3lemd 8129 . . . . . . . . . . 11
34 fvex 5873 . . . . . . . . . . . 12
3534elpw 3956 . . . . . . . . . . 11
3633, 35sylibr 216 . . . . . . . . . 10
37 eleq1 2516 . . . . . . . . . 10
3836, 37syl5ibcom 224 . . . . . . . . 9
3938rexlimiv 2872 . . . . . . . 8
4031, 39syl6bi 232 . . . . . . 7
4140ssrdv 3437 . . . . . 6
4241ancli 554 . . . . 5
432, 30, 42mp2b 10 . . . 4
44 df-f 5585 . . . 4
4543, 44mpbir 213 . . 3
4627, 45jctil 540 . 2
47 dff13 6157 . 2
4846, 47sylibr 216 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  wral 2736  wrex 2737  crab 2740  cvv 3044   cin 3402   wss 3403   wpss 3404  c0 3730  cpw 3950  cuni 4197   cmpt 4460   crn 4834   cres 4835   word 5421   wfn 5576  wf 5577  wf1 5578  cfv 5581  com 6689  crdg 7124 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-reg 8104 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125 This theorem is referenced by:  inf3lem7  8136  dominf  8872  dominfac  8995
 Copyright terms: Public domain W3C validator