Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem3 Structured version   Unicode version

Theorem inf3lem3 8144
 Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8149 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Regularity in the form of zfreg 8119. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4
Assertion
Ref Expression
inf3lem3
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem inf3lem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . . 5
2 inf3lem.2 . . . . 5
3 inf3lem.3 . . . . 5
4 inf3lem.4 . . . . 5
51, 2, 3, 4inf3lemd 8141 . . . 4
61, 2, 3, 4inf3lem2 8143 . . . . 5
76com12 32 . . . 4
8 pssdifn0 3857 . . . 4
95, 7, 8syl6an 547 . . 3
10 vex 3083 . . . . . 6
11 difss 3592 . . . . . 6
1210, 11ssexi 4569 . . . . 5
1312zfreg 8119 . . . 4
14 eldifi 3587 . . . . . . . . . . 11
15 inssdif0 3864 . . . . . . . . . . . 12
1615biimpri 209 . . . . . . . . . . 11
1714, 16anim12i 568 . . . . . . . . . 10
18 vex 3083 . . . . . . . . . . 11
19 fvex 5891 . . . . . . . . . . 11
201, 2, 18, 19inf3lema 8138 . . . . . . . . . 10
2117, 20sylibr 215 . . . . . . . . 9
221, 2, 3, 4inf3lemc 8140 . . . . . . . . . 10
2322eleq2d 2492 . . . . . . . . 9
2421, 23syl5ibr 224 . . . . . . . 8
25 eldifn 3588 . . . . . . . . . 10
2625adantr 466 . . . . . . . . 9
2726a1i 11 . . . . . . . 8
2824, 27jcad 535 . . . . . . 7
29 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10
3029biimprd 226 . . . . . . . . 9
31 iman 425 . . . . . . . . 9
3230, 31sylib 199 . . . . . . . 8
3332necon2ai 2655 . . . . . . 7
3428, 33syl6 34 . . . . . 6
3534expd 437 . . . . 5
3635rexlimdv 2912 . . . 4
3713, 36syl5 33 . . 3
389, 37syld 45 . 2
3938com12 32 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wrex 2772  crab 2775  cvv 3080   cdif 3433   cin 3435   wss 3436  c0 3761  cuni 4219   cmpt 4482   cres 4855   csuc 5444  cfv 5601  com 6706  crdg 7138 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-reg 8116 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139 This theorem is referenced by:  inf3lem4  8145
 Copyright terms: Public domain W3C validator