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Theorem inf3lem2 7938
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 7944 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
inf3lem.2  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
inf3lem.3  |-  A  e. 
_V
inf3lem.4  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
inf3lem2  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( A  e.  om  ->  ( F `  A
)  =/=  x ) )
Distinct variable group:    x, y, w
Allowed substitution hints:    A( x, y, w)    B( x, y, w)    F( x, y, w)    G( x, y, w)

Proof of Theorem inf3lem2
Dummy variables  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5791 . . . . 5  |-  ( v  =  (/)  ->  ( F `
 v )  =  ( F `  (/) ) )
21neeq1d 2725 . . . 4  |-  ( v  =  (/)  ->  ( ( F `  v )  =/=  x  <->  ( F `  (/) )  =/=  x
) )
32imbi2d 316 . . 3  |-  ( v  =  (/)  ->  ( ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  v
)  =/=  x )  <-> 
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  ( F `  (/) )  =/=  x
) ) )
4 fveq2 5791 . . . . 5  |-  ( v  =  u  ->  ( F `  v )  =  ( F `  u ) )
54neeq1d 2725 . . . 4  |-  ( v  =  u  ->  (
( F `  v
)  =/=  x  <->  ( F `  u )  =/=  x
) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( v  =  u  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  ( F `  v )  =/=  x
)  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x )  ->  ( F `  u )  =/=  x ) ) )
7 fveq2 5791 . . . . 5  |-  ( v  =  suc  u  -> 
( F `  v
)  =  ( F `
 suc  u )
)
87neeq1d 2725 . . . 4  |-  ( v  =  suc  u  -> 
( ( F `  v )  =/=  x  <->  ( F `  suc  u
)  =/=  x ) )
98imbi2d 316 . . 3  |-  ( v  =  suc  u  -> 
( ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x )  ->  ( F `  v )  =/=  x )  <->  ( (
x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  suc  u )  =/=  x
) ) )
10 fveq2 5791 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )
1110neeq1d 2725 . . . 4  |-  ( v  =  A  ->  (
( F `  v
)  =/=  x  <->  ( F `  A )  =/=  x
) )
1211imbi2d 316 . . 3  |-  ( v  =  A  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  ( F `  v )  =/=  x
)  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x )  ->  ( F `  A )  =/=  x ) ) )
13 inf3lem.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
14 inf3lem.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
15 inf3lem.3 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
16 inf3lem.4 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
1713, 14, 15, 16inf3lemb 7934 . . . . . . 7  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
1817eqeq1i 2458 . . . . . 6  |-  ( ( F `  (/) )  =  x  <->  (/)  =  x )
19 eqcom 2460 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  x  <->  x  =  (/) )
2018, 19sylbb 197 . . . . 5  |-  ( ( F `  (/) )  =  x  ->  x  =  (/) )
2120necon3i 2688 . . . 4  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ( F `  (/) )  =/=  x
)
2221adantr 465 . . 3  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  (/) )  =/=  x )
23 vex 3073 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
2413, 14, 23, 16inf3lemd 7936 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  om  ->  ( F `  u )  C_  x )
25 df-pss 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) 
C.  x  <->  ( ( F `  u )  C_  x  /\  ( F `
 u )  =/=  x ) )
26 pssnel 3844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) 
C.  x  ->  E. v
( v  e.  x  /\  -.  v  e.  ( F `  u ) ) )
2725, 26sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  u
)  C_  x  /\  ( F `  u )  =/=  x )  ->  E. v ( v  e.  x  /\  -.  v  e.  ( F `  u
) ) )
28 ssel 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  U. x  ->  (
v  e.  x  -> 
v  e.  U. x
) )
29 eluni 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  U. x  <->  E. f
( v  e.  f  /\  f  e.  x
) )
3028, 29syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  U. x  ->  (
v  e.  x  ->  E. f ( v  e.  f  /\  f  e.  x ) ) )
31 eleq2 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  suc  u
)  =  x  -> 
( f  e.  ( F `  suc  u
)  <->  f  e.  x
) )
3231biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  x  /\  ( F `  suc  u
)  =  x )  ->  f  e.  ( F `  suc  u
) )
3313, 14, 23, 16inf3lemc 7935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  om  ->  ( F `  suc  u )  =  ( G `  ( F `  u ) ) )
3433eleq2d 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  om  ->  (
f  e.  ( F `
 suc  u )  <->  f  e.  ( G `  ( F `  u ) ) ) )
35 elin 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  ( f  i^i  x )  <->  ( v  e.  f  /\  v  e.  x ) )
36 vex 3073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  f  e. 
_V
37 fvex 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F `
 u )  e. 
_V
3813, 14, 36, 37inf3lema 7933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  e.  ( G `  ( F `  u ) )  <->  ( f  e.  x  /\  ( f  i^i  x )  C_  ( F `  u ) ) )
3938simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e.  ( G `  ( F `  u ) )  ->  ( f  i^i  x )  C_  ( F `  u )
)
4039sseld 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  e.  ( G `  ( F `  u ) )  ->  ( v  e.  ( f  i^i  x
)  ->  v  e.  ( F `  u ) ) )
4135, 40syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  ( G `  ( F `  u ) )  ->  ( (
v  e.  f  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  ( F `
 u ) ) )
4234, 41syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  om  ->  (
f  e.  ( F `
 suc  u )  ->  ( ( v  e.  f  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  ( F `  u
) ) ) )
4332, 42syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  om  ->  (
( f  e.  x  /\  ( F `  suc  u )  =  x )  ->  ( (
v  e.  f  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  ( F `
 u ) ) ) )
4443com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  om  ->  (
( v  e.  f  /\  v  e.  x
)  ->  ( (
f  e.  x  /\  ( F `  suc  u
)  =  x )  ->  v  e.  ( F `  u ) ) ) )
4544exp5c 616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  om  ->  (
v  e.  f  -> 
( v  e.  x  ->  ( f  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) ) ) ) ) )
4645com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  om  ->  (
v  e.  f  -> 
( f  e.  x  ->  ( v  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) ) ) ) ) )
4746impd 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  om  ->  (
( v  e.  f  /\  f  e.  x
)  ->  ( v  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u
)  =  x  -> 
v  e.  ( F `
 u ) ) ) ) )
4847exlimdv 1691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  om  ->  ( E. f ( v  e.  f  /\  f  e.  x )  ->  (
v  e.  x  -> 
( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) ) ) ) )
4930, 48sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( v  e.  x  ->  ( v  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u
)  =  x  -> 
v  e.  ( F `
 u ) ) ) ) )
5049pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( v  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u
) ) ) )
51 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) )  ->  ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u
) ) )
5251necon3bd 2660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) )  ->  ( -.  v  e.  ( F `  u )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) )
5350, 52syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( v  e.  x  ->  ( -.  v  e.  ( F `  u )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) ) )
5453impd 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( ( v  e.  x  /\  -.  v  e.  ( F `  u ) )  -> 
( F `  suc  u )  =/=  x
) )
5554exlimdv 1691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( E. v
( v  e.  x  /\  -.  v  e.  ( F `  u ) )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) )
5627, 55syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( ( ( F `  u ) 
C_  x  /\  ( F `  u )  =/=  x )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) )
5724, 56sylani 654 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( ( u  e.  om  /\  ( F `  u )  =/=  x )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) )
5857exp4b 607 . . . . . 6  |-  ( u  e.  om  ->  (
x  C_  U. x  ->  ( u  e.  om  ->  ( ( F `  u )  =/=  x  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x
) ) ) )
5958pm2.43a 49 . . . . 5  |-  ( u  e.  om  ->  (
x  C_  U. x  ->  ( ( F `  u )  =/=  x  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x
) ) )
6059adantld 467 . . . 4  |-  ( u  e.  om  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( ( F `  u )  =/=  x  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x
) ) )
6160a2d 26 . . 3  |-  ( u  e.  om  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  ( F `  u )  =/=  x
)  ->  ( (
x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  suc  u )  =/=  x
) ) )
623, 6, 9, 12, 22, 61finds 6604 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  A
)  =/=  x ) )
6362com12 31 1  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( A  e.  om  ->  ( F `  A
)  =/=  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2644   {crab 2799   _Vcvv 3070    i^i cin 3427    C_ wss 3428    C. wpss 3429   (/)c0 3737   U.cuni 4191    |-> cmpt 4450   suc csuc 4821    |` cres 4942   ` cfv 5518   omcom 6578   reccrdg 6967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968
This theorem is referenced by:  inf3lem3  7939
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