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Theorem inf0 7532
Description: Our Axiom of Infinity derived from existence of omega. The proof shows that the especially contrived class " ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) " exists, is a subset of its union, and contains a given set  x (and thus is non-empty). Thus, it provides an example demonstrating that a set  y exists with the necessary properties demanded by ax-inf 7549. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Hypothesis
Ref Expression
inf0.1  |-  om  e.  _V
Assertion
Ref Expression
inf0  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem inf0
Dummy variables  v 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2919 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 fr0g 6652 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  (/) )  =  x )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  (/) )  =  x
4 frfnom 6651 . . . 4  |-  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  Fn  om
5 peano1 4823 . . . 4  |-  (/)  e.  om
6 fnfvelrn 5826 . . . 4  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  Fn 
om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  (/) )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
74, 5, 6mp2an 654 . . 3  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  (/) )  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )
83, 7eqeltrri 2475 . 2  |-  x  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )
9 fvelrnb 5733 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  Fn  om  ->  ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  <->  E. f  e.  om  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  f )  =  z ) )
104, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  <->  E. f  e.  om  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z )
11 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
)  e.  _V
1211sucid 4620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
)  e.  suc  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )
1311sucex 4750 . . . . . . . . . 10  |-  suc  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  e.  _V
14 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  =  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )
15 suceq 4606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  v  ->  suc  z  =  suc  v )
16 suceq 4606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  f )  ->  suc  z  =  suc  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
) )
1714, 15, 16frsucmpt2 6656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  om  /\  suc  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  =  suc  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  f ) )
1813, 17mpan2 653 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  om  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  =  suc  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f ) )
1912, 18syl5eleqr 2491 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  om  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f ) )
20 eleq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
)  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  <->  z  e.  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f ) ) )
2119, 20syl5ib 211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( f  e. 
om  ->  z  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f ) ) )
22 peano2b 4820 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  om  <->  suc  f  e. 
om )
23 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  Fn 
om  /\  suc  f  e. 
om )  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
244, 23mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  f  e.  om  ->  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
2522, 24sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  om  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( f  e. 
om  ->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
2721, 26jcad 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( f  e. 
om  ->  ( z  e.  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  /\  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) ) )
28 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  e.  _V
29 eleq2 2465 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  -> 
( z  e.  w  <->  z  e.  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f ) ) )
30 eleq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  -> 
( w  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  <->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3129, 30anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  -> 
( ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) )  <-> 
( z  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  /\  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) ) )
3228, 31spcev 3003 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  /\  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3327, 32syl6com 33 . . . . 5  |-  ( f  e.  om  ->  (
( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )
3433rexlimiv 2784 . . . 4  |-  ( E. f  e.  om  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3510, 34sylbi 188 . . 3  |-  ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3635ax-gen 1552 . 2  |-  A. z
( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) )
37 fndm 5503 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  Fn  om  ->  dom  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  =  om )
384, 37ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  =  om
39 inf0.1 . . . . 5  |-  om  e.  _V
4038, 39eqeltri 2474 . . . 4  |-  dom  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  e.  _V
41 fnfun 5501 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  Fn  om  ->  Fun  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) )
424, 41ax-mp 8 . . . 4  |-  Fun  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
43 funrnex 5926 . . . 4  |-  ( dom  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  e. 
_V  ->  ( Fun  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  e. 
_V ) )
4440, 42, 43mp2 9 . . 3  |-  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  e.  _V
45 eleq2 2465 . . . 4  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( x  e.  y  <-> 
x  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
) )
46 eleq2 2465 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( z  e.  y  <-> 
z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
) )
47 eleq2 2465 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( w  e.  y  <-> 
w  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
) )
4847anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  <->  ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )
4948exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  <->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )
5046, 49imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( ( z  e.  y  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  y
) )  <->  ( z  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) ) )
5150albidv 1632 . . . 4  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) )  <->  A. z
( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) ) ) )
5245, 51anbi12d 692 . . 3  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )  <-> 
( x  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  /\  A. z ( z  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) ) ) )
5344, 52spcev 3003 . 2  |-  ( ( x  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  /\  A. z ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )  ->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) ) )
548, 36, 53mp2an 654 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   (/)c0 3588    e. cmpt 4226   suc csuc 4543   omcom 4804   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   ` cfv 5413   reccrdg 6626
This theorem is referenced by:  axinf  7555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627
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