Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf0 Structured version   Unicode version

Theorem inf0 8034
 Description: Our Axiom of Infinity derived from existence of omega. The proof shows that the especially contrived class " " exists, is a subset of its union, and contains a given set (and thus is nonempty). Thus, it provides an example demonstrating that a set exists with the necessary properties demanded by ax-inf 8051. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Hypothesis
Ref Expression
inf0.1
Assertion
Ref Expression
inf0
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem inf0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3116 . . . 4
2 fr0g 7098 . . . 4
31, 2ax-mp 5 . . 3
4 frfnom 7097 . . . 4
5 peano1 6697 . . . 4
6 fnfvelrn 6016 . . . 4
74, 5, 6mp2an 672 . . 3
83, 7eqeltrri 2552 . 2
9 fvelrnb 5913 . . . . 5
104, 9ax-mp 5 . . . 4
11 fvex 5874 . . . . . . . . . 10
1211sucid 4957 . . . . . . . . 9
1311sucex 6624 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
15 suceq 4943 . . . . . . . . . . 11
16 suceq 4943 . . . . . . . . . . 11
1714, 15, 16frsucmpt2 7102 . . . . . . . . . 10
1813, 17mpan2 671 . . . . . . . . 9
1912, 18syl5eleqr 2562 . . . . . . . 8
20 eleq1 2539 . . . . . . . 8
2119, 20syl5ib 219 . . . . . . 7
22 peano2b 6694 . . . . . . . . 9
23 fnfvelrn 6016 . . . . . . . . . 10
244, 23mpan 670 . . . . . . . . 9
2522, 24sylbi 195 . . . . . . . 8
2625a1i 11 . . . . . . 7
2721, 26jcad 533 . . . . . 6
28 fvex 5874 . . . . . . 7
29 eleq2 2540 . . . . . . . 8
30 eleq1 2539 . . . . . . . 8
3129, 30anbi12d 710 . . . . . . 7
3228, 31spcev 3205 . . . . . 6
3327, 32syl6com 35 . . . . 5
3433rexlimiv 2949 . . . 4
3510, 34sylbi 195 . . 3
3635ax-gen 1601 . 2
37 fndm 5678 . . . . . 6
384, 37ax-mp 5 . . . . 5
39 inf0.1 . . . . 5
4038, 39eqeltri 2551 . . . 4
41 fnfun 5676 . . . . 5
424, 41ax-mp 5 . . . 4
43 funrnex 6748 . . . 4
4440, 42, 43mp2 9 . . 3
45 eleq2 2540 . . . 4
46 eleq2 2540 . . . . . 6
47 eleq2 2540 . . . . . . . 8
4847anbi2d 703 . . . . . . 7
4948exbidv 1690 . . . . . 6
5046, 49imbi12d 320 . . . . 5
5150albidv 1689 . . . 4
5245, 51anbi12d 710 . . 3
5344, 52spcev 3205 . 2
548, 36, 53mp2an 672 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369  wal 1377   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767  wrex 2815  cvv 3113  c0 3785   cmpt 4505   csuc 4880   cdm 4999   crn 5000   cres 5001   wfun 5580   wfn 5581  cfv 5586  com 6678  crdg 7072 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073 This theorem is referenced by:  axinf  8057
 Copyright terms: Public domain W3C validator