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Theorem inf0 8041
Description: Our Axiom of Infinity derived from existence of omega. The proof shows that the especially contrived class " ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) " exists, is a subset of its union, and contains a given set  x (and thus is nonempty). Thus, it provides an example demonstrating that a set  y exists with the necessary properties demanded by ax-inf 8058. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Hypothesis
Ref Expression
inf0.1  |-  om  e.  _V
Assertion
Ref Expression
inf0  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem inf0
Dummy variables  v 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3098 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 fr0g 7103 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  (/) )  =  x )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  (/) )  =  x
4 frfnom 7102 . . . 4  |-  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  Fn  om
5 peano1 6704 . . . 4  |-  (/)  e.  om
6 fnfvelrn 6013 . . . 4  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  Fn 
om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  (/) )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
74, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  (/) )  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )
83, 7eqeltrri 2528 . 2  |-  x  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )
9 fvelrnb 5905 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  Fn  om  ->  ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  <->  E. f  e.  om  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  f )  =  z ) )
104, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  <->  E. f  e.  om  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z )
11 fvex 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
)  e.  _V
1211sucid 4947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
)  e.  suc  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )
1311sucex 6631 . . . . . . . . . 10  |-  suc  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  e.  _V
14 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  =  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )
15 suceq 4933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  v  ->  suc  z  =  suc  v )
16 suceq 4933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  f )  ->  suc  z  =  suc  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
) )
1714, 15, 16frsucmpt2 7107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  om  /\  suc  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  =  suc  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  f ) )
1813, 17mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  om  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  =  suc  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f ) )
1912, 18syl5eleqr 2538 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  om  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f ) )
20 eleq1 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
)  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  <->  z  e.  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f ) ) )
2119, 20syl5ib 219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( f  e. 
om  ->  z  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f ) ) )
22 peano2b 6701 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  om  <->  suc  f  e. 
om )
23 fnfvelrn 6013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  Fn 
om  /\  suc  f  e. 
om )  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
244, 23mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  f  e.  om  ->  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
2522, 24sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  om  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( f  e. 
om  ->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
2721, 26jcad 533 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( f  e. 
om  ->  ( z  e.  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  /\  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) ) )
28 fvex 5866 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  e.  _V
29 eleq2 2516 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  -> 
( z  e.  w  <->  z  e.  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f ) ) )
30 eleq1 2515 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  -> 
( w  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  <->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3129, 30anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  -> 
( ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) )  <-> 
( z  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  /\  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) ) )
3228, 31spcev 3187 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  /\  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3327, 32syl6com 35 . . . . 5  |-  ( f  e.  om  ->  (
( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )
3433rexlimiv 2929 . . . 4  |-  ( E. f  e.  om  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3510, 34sylbi 195 . . 3  |-  ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3635ax-gen 1605 . 2  |-  A. z
( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) )
37 fndm 5670 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  Fn  om  ->  dom  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  =  om )
384, 37ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  =  om
39 inf0.1 . . . . 5  |-  om  e.  _V
4038, 39eqeltri 2527 . . . 4  |-  dom  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  e.  _V
41 fnfun 5668 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  Fn  om  ->  Fun  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) )
424, 41ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
43 funrnex 6752 . . . 4  |-  ( dom  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  e. 
_V  ->  ( Fun  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  e. 
_V ) )
4440, 42, 43mp2 9 . . 3  |-  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  e.  _V
45 eleq2 2516 . . . 4  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( x  e.  y  <-> 
x  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
) )
46 eleq2 2516 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( z  e.  y  <-> 
z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
) )
47 eleq2 2516 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( w  e.  y  <-> 
w  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
) )
4847anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  <->  ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )
4948exbidv 1701 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  <->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )
5046, 49imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( ( z  e.  y  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  y
) )  <->  ( z  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) ) )
5150albidv 1700 . . . 4  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) )  <->  A. z
( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) ) ) )
5245, 51anbi12d 710 . . 3  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )  <-> 
( x  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  /\  A. z ( z  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) ) ) )
5344, 52spcev 3187 . 2  |-  ( ( x  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  /\  A. z ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )  ->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) ) )
548, 36, 53mp2an 672 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1381    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   (/)c0 3770    |-> cmpt 4495   suc csuc 4870   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   ` cfv 5578   omcom 6685   reccrdg 7077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078
This theorem is referenced by:  axinf  8064
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