MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelr Unicode version

Theorem inelr 9946
Description: The imaginary unit  _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr  |-  -.  _i  e.  RR

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 9425 . . 3  |-  _i  =/=  0
2 df-ne 2569 . . 3  |-  ( _i  =/=  0  <->  -.  _i  =  0 )
31, 2mpbi 200 . 2  |-  -.  _i  =  0
4 0lt1 9506 . . . . 5  |-  0  <  1
5 0re 9047 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6 1re 9046 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
75, 6ltnsymi 9148 . . . . 5  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
84, 7ax-mp 8 . . . 4  |-  -.  1  <  0
9 ixi 9607 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
106renegcli 9318 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
119, 10eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
125, 11, 6ltadd1i 9537 . . . . 5  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  ( 0  +  1 )  <  (
( _i  x.  _i )  +  1 ) )
13 ax-1cn 9004 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1413addid2i 9210 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
15 ax-i2m1 9014 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
1614, 15breq12i 4181 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  <->  1  <  0 )
1712, 16bitri 241 . . . 4  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  1  <  0
)
188, 17mtbir 291 . . 3  |-  -.  0  <  ( _i  x.  _i )
19 msqgt0 9504 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  _i  =/=  0 )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
2019ex 424 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  =/=  0  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2120necon1bd 2635 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  ( -.  0  <  ( _i  x.  _i )  ->  _i  =  0 ) )
2218, 21mpi 17 . 2  |-  ( _i  e.  RR  ->  _i  =  0 )
233, 22mto 169 1  |-  -.  _i  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076   -ucneg 9248
This theorem is referenced by:  rimul  9947  nthruc  12805  areacirclem5  26185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250
  Copyright terms: Public domain W3C validator