MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelr Structured version   Unicode version

Theorem inelr 10599
Description: The imaginary unit  _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr  |-  -.  _i  e.  RR

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 10053 . . 3  |-  _i  =/=  0
21neii 2629 . 2  |-  -.  _i  =  0
3 0lt1 10135 . . . . 5  |-  0  <  1
4 0re 9642 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5 1re 9641 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
64, 5ltnsymi 9752 . . . . 5  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
73, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  -.  1  <  0
8 ixi 10240 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
95renegcli 9934 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
108, 9eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
114, 10, 5ltadd1i 10167 . . . . 5  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  ( 0  +  1 )  <  (
( _i  x.  _i )  +  1 ) )
12 ax-1cn 9596 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1312addid2i 9820 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
14 ax-i2m1 9606 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
1513, 14breq12i 4435 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  <->  1  <  0 )
1611, 15bitri 252 . . . 4  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  1  <  0
)
177, 16mtbir 300 . . 3  |-  -.  0  <  ( _i  x.  _i )
18 msqgt0 10133 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  _i  =/=  0 )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
1918ex 435 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  =/=  0  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2019necon1bd 2649 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  ( -.  0  <  ( _i  x.  _i )  ->  _i  =  0 ) )
2117, 20mpi 21 . 2  |-  ( _i  e.  RR  ->  _i  =  0 )
222, 21mto 179 1  |-  -.  _i  e.  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   _ici 9540    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674   -ucneg 9860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862
This theorem is referenced by:  rimul  10600  nthruc  14281  areacirclem4  31738
  Copyright terms: Public domain W3C validator