MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelr Unicode version

Theorem inelr 9616
Description: The imaginary unit  _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr  |-  -.  _i  e.  RR

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 9095 . . 3  |-  _i  =/=  0
2 df-ne 2414 . . 3  |-  ( _i  =/=  0  <->  -.  _i  =  0 )
31, 2mpbi 201 . 2  |-  -.  _i  =  0
4 0lt1 9176 . . . . 5  |-  0  <  1
5 0re 8718 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6 1re 8717 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
75, 6ltnsymi 8817 . . . . 5  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
84, 7ax-mp 10 . . . 4  |-  -.  1  <  0
9 ixi 9277 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
106renegcli 8988 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
119, 10eqeltri 2323 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
125, 11, 6ltadd1i 9207 . . . . 5  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  ( 0  +  1 )  <  (
( _i  x.  _i )  +  1 ) )
13 ax-1cn 8675 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1413addid2i 8880 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
15 ax-i2m1 8685 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
1614, 15breq12i 3929 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  <->  1  <  0 )
1712, 16bitri 242 . . . 4  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  1  <  0
)
188, 17mtbir 292 . . 3  |-  -.  0  <  ( _i  x.  _i )
19 msqgt0 9174 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  _i  =/=  0 )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
2019ex 425 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  =/=  0  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2120necon1bd 2480 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  ( -.  0  <  ( _i  x.  _i )  ->  _i  =  0 ) )
2218, 21mpi 18 . 2  |-  ( _i  e.  RR  ->  _i  =  0 )
233, 22mto 169 1  |-  -.  _i  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618   _ici 8619    + caddc 8620    x. cmul 8622    < clt 8747   -ucneg 8918
This theorem is referenced by:  rimul  9617  nthruc  12403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920
  Copyright terms: Public domain W3C validator