MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelr Structured version   Unicode version

Theorem inelr 10302
Description: The imaginary unit  _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr  |-  -.  _i  e.  RR

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 9770 . . 3  |-  _i  =/=  0
21neii 2602 . 2  |-  -.  _i  =  0
3 0lt1 9852 . . . . 5  |-  0  <  1
4 0re 9376 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5 1re 9375 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
64, 5ltnsymi 9483 . . . . 5  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
73, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  -.  1  <  0
8 ixi 9955 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
95renegcli 9660 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
108, 9eqeltri 2505 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
114, 10, 5ltadd1i 9884 . . . . 5  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  ( 0  +  1 )  <  (
( _i  x.  _i )  +  1 ) )
12 ax-1cn 9330 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1312addid2i 9547 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
14 ax-i2m1 9340 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
1513, 14breq12i 4291 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  <->  1  <  0 )
1611, 15bitri 249 . . . 4  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  1  <  0
)
177, 16mtbir 299 . . 3  |-  -.  0  <  ( _i  x.  _i )
18 msqgt0 9850 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  _i  =/=  0 )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
1918ex 434 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  =/=  0  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2019necon1bd 2671 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  ( -.  0  <  ( _i  x.  _i )  ->  _i  =  0 ) )
2117, 20mpi 17 . 2  |-  ( _i  e.  RR  ->  _i  =  0 )
222, 21mto 176 1  |-  -.  _i  e.  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1364    e. wcel 1757    =/= wne 2598   class class class wbr 4282  (class class class)co 6082   RRcr 9271   0cc0 9272   1c1 9273   _ici 9274    + caddc 9275    x. cmul 9277    < clt 9408   -ucneg 9586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-op 3874  df-uni 4082  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-er 7091  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588
This theorem is referenced by:  rimul  10303  nthruc  13518  areacirclem4  28333
  Copyright terms: Public domain W3C validator