MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelr Structured version   Unicode version

Theorem inelr 10526
Description: The imaginary unit  _i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr  |-  -.  _i  e.  RR

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 9992 . . 3  |-  _i  =/=  0
21neii 2666 . 2  |-  -.  _i  =  0
3 0lt1 10075 . . . . 5  |-  0  <  1
4 0re 9596 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5 1re 9595 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
64, 5ltnsymi 9703 . . . . 5  |-  ( 0  <  1  ->  -.  1  <  0 )
73, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  -.  1  <  0
8 ixi 10178 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
95renegcli 9880 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
108, 9eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
114, 10, 5ltadd1i 10107 . . . . 5  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  ( 0  +  1 )  <  (
( _i  x.  _i )  +  1 ) )
12 ax-1cn 9550 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1312addid2i 9767 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
14 ax-i2m1 9560 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
1513, 14breq12i 4456 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  <->  1  <  0 )
1611, 15bitri 249 . . . 4  |-  ( 0  <  ( _i  x.  _i )  <->  1  <  0
)
177, 16mtbir 299 . . 3  |-  -.  0  <  ( _i  x.  _i )
18 msqgt0 10073 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  RR  /\  _i  =/=  0 )  -> 
0  <  ( _i  x.  _i ) )
1918ex 434 . . . 4  |-  ( _i  e.  RR  ->  (
_i  =/=  0  ->  0  <  ( _i  x.  _i ) ) )
2019necon1bd 2685 . . 3  |-  ( _i  e.  RR  ->  ( -.  0  <  ( _i  x.  _i )  ->  _i  =  0 ) )
2117, 20mpi 17 . 2  |-  ( _i  e.  RR  ->  _i  =  0 )
222, 21mto 176 1  |-  -.  _i  e.  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   _ici 9494    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628   -ucneg 9806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808
This theorem is referenced by:  rimul  10527  nthruc  13845  areacirclem4  29715
  Copyright terms: Public domain W3C validator