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Theorem inelcarsg 28745
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
difelcarsg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M
) )
inelcarsg.1  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P O  /\  b  e.  ~P O )  -> 
( M `  (
a  u.  b ) )  <_  ( ( M `  a ) +e ( M `
 b ) ) )
inelcarsg.2  |-  ( ph  ->  B  e.  (toCaraSiga `  M
) )
Assertion
Ref Expression
inelcarsg  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  e.  (toCaraSiga `  M
) )
Distinct variable groups:    M, a    O, a    ph, a    A, a, b    B, a, b    M, b    O, b    ph, b
Allowed substitution hints:    V( a, b)

Proof of Theorem inelcarsg
Dummy variables  e 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difelcarsg.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  (toCaraSiga `  M
) )
2 carsgval.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
3 carsgval.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
42, 3elcarsg 28739 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  ( A  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O ( ( M `  ( e  i^i  A ) ) +e ( M `
 ( e  \  A ) ) )  =  ( M `  e ) ) ) )
51, 4mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O ( ( M `
 ( e  i^i 
A ) ) +e ( M `  ( e  \  A
) ) )  =  ( M `  e
) ) )
65simpld 457 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  O )
7 ssinss1 3666 . . . 4  |-  ( A 
C_  O  ->  ( A  i^i  B )  C_  O )
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  O )
9 iccssxr 11659 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
103adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
11 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  e  e.  ~P O )
1211elpwdifcl 27822 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
e  \  ( A  i^i  B ) )  e. 
~P O )
1310, 12ffvelrnd 6009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
149, 13sseldi 3439 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) )  e. 
RR* )
1511elpwincl1 27821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
e  i^i  A )  e.  ~P O )
1615elpwdifcl 27822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( e  i^i  A
)  \  B )  e.  ~P O )
1710, 16ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( (
e  i^i  A )  \  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
189, 17sseldi 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( (
e  i^i  A )  \  B ) )  e. 
RR* )
1911elpwdifcl 27822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
e  \  A )  e.  ~P O )
2010, 19ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  \  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
219, 20sseldi 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  \  A ) )  e. 
RR* )
2218, 21xaddcld 11545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) +e ( M `  ( e 
\  A ) ) )  e.  RR* )
2311elpwincl1 27821 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) )  e. 
~P O )
2410, 23ffvelrnd 6009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
259, 24sseldi 3439 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B
) ) )  e. 
RR* )
26 indifundif 27817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  i^i  A
)  \  B )  u.  ( e  \  A
) )  =  ( e  \  ( A  i^i  B ) )
2726fveq2i 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( M `
 ( ( ( e  i^i  A ) 
\  B )  u.  ( e  \  A
) ) )  =  ( M `  (
e  \  ( A  i^i  B ) ) )
28 inelcarsg.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ~P O  /\  b  e.  ~P O )  -> 
( M `  (
a  u.  b ) )  <_  ( ( M `  a ) +e ( M `
 b ) ) )
29283expb 1198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ~P O  /\  b  e.  ~P O ) )  ->  ( M `  ( a  u.  b
) )  <_  (
( M `  a
) +e ( M `  b ) ) )
3029ralrimivva 2824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ~P  O A. b  e.  ~P  O ( M `  ( a  u.  b
) )  <_  (
( M `  a
) +e ( M `  b ) ) )
3130adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  A. a  e.  ~P  O A. b  e.  ~P  O ( M `
 ( a  u.  b ) )  <_ 
( ( M `  a ) +e
( M `  b
) ) )
32 uneq1 3589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( ( e  i^i  A )  \  B )  ->  (
a  u.  b )  =  ( ( ( e  i^i  A ) 
\  B )  u.  b ) )
3332fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( ( e  i^i  A )  \  B )  ->  ( M `  ( a  u.  b ) )  =  ( M `  (
( ( e  i^i 
A )  \  B
)  u.  b ) ) )
34 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( ( e  i^i  A )  \  B )  ->  ( M `  a )  =  ( M `  ( ( e  i^i 
A )  \  B
) ) )
3534oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( ( e  i^i  A )  \  B )  ->  (
( M `  a
) +e ( M `  b ) )  =  ( ( M `  ( ( e  i^i  A ) 
\  B ) ) +e ( M `
 b ) ) )
3633, 35breq12d 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( ( e  i^i  A )  \  B )  ->  (
( M `  (
a  u.  b ) )  <_  ( ( M `  a ) +e ( M `
 b ) )  <-> 
( M `  (
( ( e  i^i 
A )  \  B
)  u.  b ) )  <_  ( ( M `  ( (
e  i^i  A )  \  B ) ) +e ( M `  b ) ) ) )
37 uneq2 3590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( e  \  A )  ->  (
( ( e  i^i 
A )  \  B
)  u.  b )  =  ( ( ( e  i^i  A ) 
\  B )  u.  ( e  \  A
) ) )
3837fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( e  \  A )  ->  ( M `  ( (
( e  i^i  A
)  \  B )  u.  b ) )  =  ( M `  (
( ( e  i^i 
A )  \  B
)  u.  ( e 
\  A ) ) ) )
39 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( e  \  A )  ->  ( M `  b )  =  ( M `  ( e  \  A
) ) )
4039oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( e  \  A )  ->  (
( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) +e ( M `  b ) )  =  ( ( M `  ( ( e  i^i  A ) 
\  B ) ) +e ( M `
 ( e  \  A ) ) ) )
4138, 40breq12d 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( e  \  A )  ->  (
( M `  (
( ( e  i^i 
A )  \  B
)  u.  b ) )  <_  ( ( M `  ( (
e  i^i  A )  \  B ) ) +e ( M `  b ) )  <->  ( M `  ( ( ( e  i^i  A )  \  B )  u.  (
e  \  A )
) )  <_  (
( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) +e ( M `  ( e 
\  A ) ) ) ) )
4236, 41rspc2v 3168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  i^i 
A )  \  B
)  e.  ~P O  /\  ( e  \  A
)  e.  ~P O
)  ->  ( A. a  e.  ~P  O A. b  e.  ~P  O ( M `  ( a  u.  b
) )  <_  (
( M `  a
) +e ( M `  b ) )  ->  ( M `  ( ( ( e  i^i  A )  \  B )  u.  (
e  \  A )
) )  <_  (
( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) +e ( M `  ( e 
\  A ) ) ) ) )
4342imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( e  i^i  A )  \  B )  e.  ~P O  /\  ( e  \  A )  e.  ~P O )  /\  A. a  e.  ~P  O A. b  e.  ~P  O ( M `  ( a  u.  b
) )  <_  (
( M `  a
) +e ( M `  b ) ) )  ->  ( M `  ( (
( e  i^i  A
)  \  B )  u.  ( e  \  A
) ) )  <_ 
( ( M `  ( ( e  i^i 
A )  \  B
) ) +e
( M `  (
e  \  A )
) ) )
4416, 19, 31, 43syl21anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( (
( e  i^i  A
)  \  B )  u.  ( e  \  A
) ) )  <_ 
( ( M `  ( ( e  i^i 
A )  \  B
) ) +e
( M `  (
e  \  A )
) ) )
4527, 44syl5eqbrr 4428 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) )  <_ 
( ( M `  ( ( e  i^i 
A )  \  B
) ) +e
( M `  (
e  \  A )
) ) )
46 xleadd2a 11498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M `  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) )  e.  RR*  /\  (
( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) +e ( M `  ( e 
\  A ) ) )  e.  RR*  /\  ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B
) ) )  e. 
RR* )  /\  ( M `  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) )  <_ 
( ( M `  ( ( e  i^i 
A )  \  B
) ) +e
( M `  (
e  \  A )
) ) )  -> 
( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `  ( e 
\  ( A  i^i  B ) ) ) )  <_  ( ( M `
 ( e  i^i  ( A  i^i  B
) ) ) +e ( ( M `
 ( ( e  i^i  A )  \  B ) ) +e ( M `  ( e  \  A
) ) ) ) )
4714, 22, 25, 45, 46syl31anc 1233 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `
 ( e  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  <_  ( ( M `
 ( e  i^i  ( A  i^i  B
) ) ) +e ( ( M `
 ( ( e  i^i  A )  \  B ) ) +e ( M `  ( e  \  A
) ) ) ) )
48 inelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  (toCaraSiga `  M
) )
492, 3elcarsg 28739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  ( B  C_  O  /\  A. f  e.  ~P  O ( ( M `  ( f  i^i  B ) ) +e ( M `
 ( f  \  B ) ) )  =  ( M `  f ) ) ) )
5048, 49mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  C_  O  /\  A. f  e.  ~P  O ( ( M `
 ( f  i^i 
B ) ) +e ( M `  ( f  \  B
) ) )  =  ( M `  f
) ) )
5150simprd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ~P  O ( ( M `
 ( f  i^i 
B ) ) +e ( M `  ( f  \  B
) ) )  =  ( M `  f
) )
5251adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  A. f  e.  ~P  O ( ( M `  ( f  i^i  B ) ) +e ( M `
 ( f  \  B ) ) )  =  ( M `  f ) )
53 ineq1 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( e  i^i 
A )  ->  (
f  i^i  B )  =  ( ( e  i^i  A )  i^i 
B ) )
5453fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( e  i^i 
A )  ->  ( M `  ( f  i^i  B ) )  =  ( M `  (
( e  i^i  A
)  i^i  B )
) )
55 difeq1 3553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( e  i^i 
A )  ->  (
f  \  B )  =  ( ( e  i^i  A )  \  B ) )
5655fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( e  i^i 
A )  ->  ( M `  ( f  \  B ) )  =  ( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) )
5754, 56oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( e  i^i 
A )  ->  (
( M `  (
f  i^i  B )
) +e ( M `  ( f 
\  B ) ) )  =  ( ( M `  ( ( e  i^i  A )  i^i  B ) ) +e ( M `
 ( ( e  i^i  A )  \  B ) ) ) )
58 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( e  i^i 
A )  ->  ( M `  f )  =  ( M `  ( e  i^i  A
) ) )
5957, 58eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( e  i^i 
A )  ->  (
( ( M `  ( f  i^i  B
) ) +e
( M `  (
f  \  B )
) )  =  ( M `  f )  <-> 
( ( M `  ( ( e  i^i 
A )  i^i  B
) ) +e
( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) )  =  ( M `  ( e  i^i  A ) ) ) )
6059adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  ~P O )  /\  f  =  ( e  i^i  A ) )  -> 
( ( ( M `
 ( f  i^i 
B ) ) +e ( M `  ( f  \  B
) ) )  =  ( M `  f
)  <->  ( ( M `
 ( ( e  i^i  A )  i^i 
B ) ) +e ( M `  ( ( e  i^i 
A )  \  B
) ) )  =  ( M `  (
e  i^i  A )
) ) )
6115, 60rspcdv 3162 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( A. f  e.  ~P  O ( ( M `
 ( f  i^i 
B ) ) +e ( M `  ( f  \  B
) ) )  =  ( M `  f
)  ->  ( ( M `  ( (
e  i^i  A )  i^i  B ) ) +e ( M `  ( ( e  i^i 
A )  \  B
) ) )  =  ( M `  (
e  i^i  A )
) ) )
6252, 61mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( M `  (
( e  i^i  A
)  i^i  B )
) +e ( M `  ( ( e  i^i  A ) 
\  B ) ) )  =  ( M `
 ( e  i^i 
A ) ) )
6362oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( ( M `  ( ( e  i^i 
A )  i^i  B
) ) +e
( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) ) +e
( M `  (
e  \  A )
) )  =  ( ( M `  (
e  i^i  A )
) +e ( M `  ( e 
\  A ) ) ) )
6415elpwincl1 27821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( e  i^i  A
)  i^i  B )  e.  ~P O )
6510, 64ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( (
e  i^i  A )  i^i  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
66 xrge0addass 28116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M `  (
( e  i^i  A
)  i^i  B )
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  ( ( e  i^i  A ) 
\  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( M `  ( e  \  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( ( M `  ( ( e  i^i 
A )  i^i  B
) ) +e
( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) ) +e
( M `  (
e  \  A )
) )  =  ( ( M `  (
( e  i^i  A
)  i^i  B )
) +e ( ( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) +e ( M `  ( e 
\  A ) ) ) ) )
6765, 17, 20, 66syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( ( M `  ( ( e  i^i 
A )  i^i  B
) ) +e
( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) ) +e
( M `  (
e  \  A )
) )  =  ( ( M `  (
( e  i^i  A
)  i^i  B )
) +e ( ( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) +e ( M `  ( e 
\  A ) ) ) ) )
68 inass 3648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( e  i^i  A )  i^i  B )  =  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) )
6968fveq2i 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( M `
 ( ( e  i^i  A )  i^i 
B ) )  =  ( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) )
7069oveq1i 6287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M `  ( ( e  i^i  A )  i^i  B ) ) +e ( ( M `  ( ( e  i^i  A ) 
\  B ) ) +e ( M `
 ( e  \  A ) ) ) )  =  ( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( ( M `
 ( ( e  i^i  A )  \  B ) ) +e ( M `  ( e  \  A
) ) ) )
7167, 70syl6eq 2459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( ( M `  ( ( e  i^i 
A )  i^i  B
) ) +e
( M `  (
( e  i^i  A
)  \  B )
) ) +e
( M `  (
e  \  A )
) )  =  ( ( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( ( M `  ( ( e  i^i  A ) 
\  B ) ) +e ( M `
 ( e  \  A ) ) ) ) )
725simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ~P  O ( ( M `
 ( e  i^i 
A ) ) +e ( M `  ( e  \  A
) ) )  =  ( M `  e
) )
7372r19.21bi 2772 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( M `  (
e  i^i  A )
) +e ( M `  ( e 
\  A ) ) )  =  ( M `
 e ) )
7463, 71, 733eqtr3d 2451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( ( M `  ( ( e  i^i  A ) 
\  B ) ) +e ( M `
 ( e  \  A ) ) ) )  =  ( M `
 e ) )
7547, 74breqtrd 4418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `
 ( e  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  <_  ( M `  e ) )
76 inundif 3849 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  i^i  ( A  i^i  B ) )  u.  ( e  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  e
7776fveq2i 5851 . . . . . . 7  |-  ( M `
 ( ( e  i^i  ( A  i^i  B ) )  u.  (
e  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  ( M `
 e )
78 uneq1 3589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( e  i^i  ( A  i^i  B
) )  ->  (
a  u.  b )  =  ( ( e  i^i  ( A  i^i  B ) )  u.  b
) )
7978fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( e  i^i  ( A  i^i  B
) )  ->  ( M `  ( a  u.  b ) )  =  ( M `  (
( e  i^i  ( A  i^i  B ) )  u.  b ) ) )
80 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( e  i^i  ( A  i^i  B
) )  ->  ( M `  a )  =  ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) )
8180oveq1d 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( e  i^i  ( A  i^i  B
) )  ->  (
( M `  a
) +e ( M `  b ) )  =  ( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `  b ) ) )
8279, 81breq12d 4407 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( e  i^i  ( A  i^i  B
) )  ->  (
( M `  (
a  u.  b ) )  <_  ( ( M `  a ) +e ( M `
 b ) )  <-> 
( M `  (
( e  i^i  ( A  i^i  B ) )  u.  b ) )  <_  ( ( M `
 ( e  i^i  ( A  i^i  B
) ) ) +e ( M `  b ) ) ) )
83 uneq2 3590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( e  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  (
( e  i^i  ( A  i^i  B ) )  u.  b )  =  ( ( e  i^i  ( A  i^i  B
) )  u.  (
e  \  ( A  i^i  B ) ) ) )
8483fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( e  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  ( M `  ( (
e  i^i  ( A  i^i  B ) )  u.  b ) )  =  ( M `  (
( e  i^i  ( A  i^i  B ) )  u.  ( e  \ 
( A  i^i  B
) ) ) ) )
85 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( e  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  ( M `  b )  =  ( M `  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) ) )
8685oveq2d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( e  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  (
( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `
 b ) )  =  ( ( M `
 ( e  i^i  ( A  i^i  B
) ) ) +e ( M `  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
8784, 86breq12d 4407 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( e  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  (
( M `  (
( e  i^i  ( A  i^i  B ) )  u.  b ) )  <_  ( ( M `
 ( e  i^i  ( A  i^i  B
) ) ) +e ( M `  b ) )  <->  ( M `  ( ( e  i^i  ( A  i^i  B
) )  u.  (
e  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  <_  ( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B
) ) ) +e ( M `  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) ) ) ) )
8882, 87rspc2v 3168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( e  i^i  ( A  i^i  B ) )  e.  ~P O  /\  ( e  \  ( A  i^i  B ) )  e.  ~P O )  ->  ( A. a  e.  ~P  O A. b  e.  ~P  O ( M `
 ( a  u.  b ) )  <_ 
( ( M `  a ) +e
( M `  b
) )  ->  ( M `  ( (
e  i^i  ( A  i^i  B ) )  u.  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  <_  (
( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `
 ( e  \ 
( A  i^i  B
) ) ) ) ) )
8988imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( e  i^i  ( A  i^i  B
) )  e.  ~P O  /\  ( e  \ 
( A  i^i  B
) )  e.  ~P O )  /\  A. a  e.  ~P  O A. b  e.  ~P  O ( M `  ( a  u.  b
) )  <_  (
( M `  a
) +e ( M `  b ) ) )  ->  ( M `  ( (
e  i^i  ( A  i^i  B ) )  u.  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  <_  (
( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `
 ( e  \ 
( A  i^i  B
) ) ) ) )
9023, 12, 31, 89syl21anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( (
e  i^i  ( A  i^i  B ) )  u.  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  <_  (
( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `
 ( e  \ 
( A  i^i  B
) ) ) ) )
9177, 90syl5eqbrr 4428 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  e )  <_  ( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `  ( e 
\  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
9275, 91jca 530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `  ( e 
\  ( A  i^i  B ) ) ) )  <_  ( M `  e )  /\  ( M `  e )  <_  ( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `  ( e 
\  ( A  i^i  B ) ) ) ) ) )
9325, 14xaddcld 11545 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `
 ( e  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  e.  RR* )
943ffvelrnda 6008 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  e )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
959, 94sseldi 3439 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  ( M `  e )  e.  RR* )
96 xrletri3 11410 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `  ( e 
\  ( A  i^i  B ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( M `  e )  e.  RR* )  ->  (
( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `  ( e 
\  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  ( M `  e )  <->  ( (
( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `
 ( e  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  <_  ( M `  e )  /\  ( M `  e )  <_  ( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `  ( e 
\  ( A  i^i  B ) ) ) ) ) ) )
9793, 95, 96syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `  ( e 
\  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  ( M `  e )  <->  ( (
( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `
 ( e  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  <_  ( M `  e )  /\  ( M `  e )  <_  ( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `  ( e 
\  ( A  i^i  B ) ) ) ) ) ) )
9892, 97mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O )  ->  (
( M `  (
e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `
 ( e  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  =  ( M `  e ) )
9998ralrimiva 2817 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ~P  O ( ( M `
 ( e  i^i  ( A  i^i  B
) ) ) +e ( M `  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  ( M `  e ) )
1008, 99jca 530 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  C_  O  /\  A. e  e.  ~P  O
( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `  ( e 
\  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  ( M `  e ) ) )
1012, 3elcarsg 28739 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  e.  (toCaraSiga `  M
)  <->  ( ( A  i^i  B )  C_  O  /\  A. e  e. 
~P  O ( ( M `  ( e  i^i  ( A  i^i  B ) ) ) +e ( M `  ( e  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  ( M `  e ) ) ) )
102100, 101mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  e.  (toCaraSiga `  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   class class class wbr 4394   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   0cc0 9521   +oocpnf 9654   RR*cxr 9656    <_ cle 9658   +ecxad 11368   [,]cicc 11584  toCaraSigaccarsg 28735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-xadd 11371  df-icc 11588  df-carsg 28736
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