Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indval2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem indval2 28910
Description: Alternate value of the indicator function generator. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
indval2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( ( A  X.  {
1 } )  u.  ( ( O  \  A )  X.  {
0 } ) ) )

Proof of Theorem indval2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfmpt3 5708 . . . 4  |-  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) )  =  U_ x  e.  O  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )
2 indval 28909 . . . 4  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) ) )
3 undif 3839 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  O  <->  ( A  u.  ( O  \  A
) )  =  O )
43biimpi 199 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  O  ->  ( A  u.  ( O  \  A ) )  =  O )
54adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( A  u.  ( O  \  A ) )  =  O )
65iuneq1d 4294 . . . 4  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  ->  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A ) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  U_ x  e.  O  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )
71, 2, 63eqtr4a 2531 . . 3  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A
) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } ) )
8 iunxun 4354 . . 3  |-  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A ) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )
97, 8syl6eq 2521 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  (
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) ) )
10 iftrue 3878 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
1110sneqd 3971 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  {
1 } )
1211xpeq2d 4863 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 1 } ) )
1312iuneq2i 4288 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { 1 } )
14 iunxpconst 4896 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
1 } )  =  ( A  X.  {
1 } )
1513, 14eqtri 2493 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( A  X.  {
1 } )
16 eldifn 3545 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
17 iffalse 3881 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  0 )
1817sneqd 3971 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  { 0 } )
1916, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  {
0 } )
2019xpeq2d 4863 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 0 } ) )
2120iuneq2i 4288 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } )  =  U_ x  e.  ( O  \  A ) ( { x }  X.  {
0 } )
22 iunxpconst 4896 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { 0 } )  =  ( ( O  \  A )  X.  { 0 } )
2321, 22eqtri 2493 . . 3  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } )  =  ( ( O  \  A
)  X.  { 0 } )
2415, 23uneq12i 3577 . 2  |-  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )  =  ( ( A  X.  { 1 } )  u.  ( ( O 
\  A )  X. 
{ 0 } ) )
259, 24syl6eq 2521 1  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( ( A  X.  {
1 } )  u.  ( ( O  \  A )  X.  {
0 } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   U_ciun 4269    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   ` cfv 5589   0cc0 9557   1c1 9558  𝟭cind 28906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ind 28907
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator