Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indval2 Structured version   Unicode version

Theorem indval2 27668
Description: Alternate value of the indicator function generator. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
indval2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( ( A  X.  {
1 } )  u.  ( ( O  \  A )  X.  {
0 } ) ) )

Proof of Theorem indval2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfmpt3 5701 . . . 4  |-  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) )  =  U_ x  e.  O  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )
2 indval 27667 . . . 4  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) ) )
3 undif 3907 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  O  <->  ( A  u.  ( O  \  A
) )  =  O )
43biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  O  ->  ( A  u.  ( O  \  A ) )  =  O )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( A  u.  ( O  \  A ) )  =  O )
65iuneq1d 4350 . . . 4  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  ->  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A ) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  U_ x  e.  O  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )
71, 2, 63eqtr4a 2534 . . 3  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A
) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } ) )
8 iunxun 4407 . . 3  |-  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A ) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )
97, 8syl6eq 2524 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  (
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) ) )
10 iftrue 3945 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
1110sneqd 4039 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  {
1 } )
1211xpeq2d 5023 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 1 } ) )
1312iuneq2i 4344 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { 1 } )
14 iunxpconst 5055 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
1 } )  =  ( A  X.  {
1 } )
1513, 14eqtri 2496 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( A  X.  {
1 } )
16 eldifn 3627 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
17 iffalse 3948 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  0 )
1817sneqd 4039 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  { 0 } )
1916, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  {
0 } )
2019xpeq2d 5023 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 0 } ) )
2120iuneq2i 4344 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } )  =  U_ x  e.  ( O  \  A ) ( { x }  X.  {
0 } )
22 iunxpconst 5055 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { 0 } )  =  ( ( O  \  A )  X.  { 0 } )
2321, 22eqtri 2496 . . 3  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } )  =  ( ( O  \  A
)  X.  { 0 } )
2415, 23uneq12i 3656 . 2  |-  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )  =  ( ( A  X.  { 1 } )  u.  ( ( O 
\  A )  X. 
{ 0 } ) )
259, 24syl6eq 2524 1  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( ( A  X.  {
1 } )  u.  ( ( O  \  A )  X.  {
0 } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   U_ciun 4325    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ` cfv 5586   0cc0 9488   1c1 9489  𝟭cind 27664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ind 27665
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator