Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indval2 Structured version   Unicode version

Theorem indval2 28181
Description: Alternate value of the indicator function generator. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
indval2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( ( A  X.  {
1 } )  u.  ( ( O  \  A )  X.  {
0 } ) ) )

Proof of Theorem indval2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfmpt3 5709 . . . 4  |-  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) )  =  U_ x  e.  O  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )
2 indval 28180 . . . 4  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) ) )
3 undif 3911 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  O  <->  ( A  u.  ( O  \  A
) )  =  O )
43biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  O  ->  ( A  u.  ( O  \  A ) )  =  O )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( A  u.  ( O  \  A ) )  =  O )
65iuneq1d 4357 . . . 4  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  ->  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A ) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  U_ x  e.  O  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )
71, 2, 63eqtr4a 2524 . . 3  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A
) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } ) )
8 iunxun 4417 . . 3  |-  U_ x  e.  ( A  u.  ( O  \  A ) ) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )
97, 8syl6eq 2514 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  (
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) ) )
10 iftrue 3950 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
1110sneqd 4044 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  {
1 } )
1211xpeq2d 5032 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 1 } ) )
1312iuneq2i 4351 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { 1 } )
14 iunxpconst 5065 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
1 } )  =  ( A  X.  {
1 } )
1513, 14eqtri 2486 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( A  X.  {
1 } )
16 eldifn 3623 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
17 iffalse 3953 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  0 )
1817sneqd 4044 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  { 0 } )
1916, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) }  =  {
0 } )
2019xpeq2d 5032 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( O  \  A )  ->  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  =  ( { x }  X.  { 0 } ) )
2120iuneq2i 4351 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } )  =  U_ x  e.  ( O  \  A ) ( { x }  X.  {
0 } )
22 iunxpconst 5065 . . . 4  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { 0 } )  =  ( ( O  \  A )  X.  { 0 } )
2321, 22eqtri 2486 . . 3  |-  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } )  =  ( ( O  \  A
)  X.  { 0 } )
2415, 23uneq12i 3652 . 2  |-  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) } )  u.  U_ x  e.  ( O  \  A
) ( { x }  X.  { if ( x  e.  A , 
1 ,  0 ) } ) )  =  ( ( A  X.  { 1 } )  u.  ( ( O 
\  A )  X. 
{ 0 } ) )
259, 24syl6eq 2514 1  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( ( A  X.  {
1 } )  u.  ( ( O  \  A )  X.  {
0 } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   U_ciun 4332    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   ` cfv 5594   0cc0 9509   1c1 9510  𝟭cind 28177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ind 28178
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator