Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indv Structured version   Unicode version

Theorem indv 27654
Description: Value of the indicator function generator with domain  O. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indv  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O )  =  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, a, O    V, a
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem indv
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ind 27653 . . 3  |- 𝟭  =  ( o  e.  _V  |->  ( a  e.  ~P o  |->  ( x  e.  o 
|->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( O  e.  V  -> 𝟭  =  ( o  e.  _V  |->  ( a  e.  ~P o  |->  ( x  e.  o 
|->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
3 pweq 4008 . . . 4  |-  ( o  =  O  ->  ~P o  =  ~P O
)
4 mpteq1 4522 . . . 4  |-  ( o  =  O  ->  (
x  e.  o  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )
53, 4mpteq12dv 4520 . . 3  |-  ( o  =  O  ->  (
a  e.  ~P o  |->  ( x  e.  o 
|->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( a  e. 
~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) )
65adantl 466 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  o  =  O )  ->  ( a  e.  ~P o  |->  ( x  e.  o  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) )
7 elex 3117 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  _V )
8 pwexg 4626 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  ~P O  e.  _V )
9 mptexg 6123 . . 3  |-  ( ~P O  e.  _V  ->  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )  e.  _V )
107, 8, 93syl 20 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  (
a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )  e.  _V )
112, 6, 7, 10fvmptd 5948 1  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O )  =  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   ifcif 3934   ~Pcpw 4005    |-> cmpt 4500   ` cfv 5581   0cc0 9483   1c1 9484  𝟭cind 27652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ind 27653
This theorem is referenced by:  indval  27655  indf1o  27665
  Copyright terms: Public domain W3C validator