Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indv Structured version   Unicode version

Theorem indv 28340
Description: Value of the indicator function generator with domain  O. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indv  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O )  =  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, a, O    V, a
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem indv
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ind 28339 . . 3  |- 𝟭  =  ( o  e.  _V  |->  ( a  e.  ~P o  |->  ( x  e.  o 
|->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( O  e.  V  -> 𝟭  =  ( o  e.  _V  |->  ( a  e.  ~P o  |->  ( x  e.  o 
|->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
3 pweq 3957 . . . 4  |-  ( o  =  O  ->  ~P o  =  ~P O
)
4 mpteq1 4474 . . . 4  |-  ( o  =  O  ->  (
x  e.  o  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )
53, 4mpteq12dv 4472 . . 3  |-  ( o  =  O  ->  (
a  e.  ~P o  |->  ( x  e.  o 
|->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( a  e. 
~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) )
65adantl 464 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  o  =  O )  ->  ( a  e.  ~P o  |->  ( x  e.  o  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) )
7 elex 3067 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  _V )
8 pwexg 4577 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  ~P O  e.  _V )
9 mptexg 6079 . . 3  |-  ( ~P O  e.  _V  ->  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )  e.  _V )
107, 8, 93syl 20 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  (
a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )  e.  _V )
112, 6, 7, 10fvmptd 5894 1  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O )  =  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   ifcif 3884   ~Pcpw 3954    |-> cmpt 4452   ` cfv 5525   0cc0 9442   1c1 9443  𝟭cind 28338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ind 28339
This theorem is referenced by:  indval  28341  indf1o  28351
  Copyright terms: Public domain W3C validator