MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr2 Structured version   Unicode version

Theorem indstr2 11037
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr2.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ch ) )
indstr2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indstr2.3  |-  ch
indstr2.4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  x  ->  ps )  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
indstr2  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Distinct variable groups:    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( x, y)

Proof of Theorem indstr2
StepHypRef Expression
1 indstr2.2 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2 elnn1uz2 11035 . . 3  |-  ( x  e.  NN  <->  ( x  =  1  \/  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
3 indstr2.3 . . . . 5  |-  ch
4 nnnlt1 10456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  y  <  1 )
54adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  -.  y  <  1 )
6 breq2 4397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
y  <  x  <->  y  <  1 ) )
76adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <  1
) )
85, 7mtbird 301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  -.  y  <  x )
98pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  < 
x  ->  ps )
)
109ralrimiva 2825 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
)
11 pm5.5 336 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  x  ->  ps )  ->  ( ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ph ) )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ph ) )
13 indstr2.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ch ) )
1412, 13bitrd 253 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ch )
)
153, 14mpbiri 233 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
16 indstr2.4 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  x  ->  ps )  ->  ph ) )
1715, 16jaoi 379 . . 3  |-  ( ( x  =  1  \/  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph ) )
182, 17sylbi 195 . 2  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
191, 18indstr 11027 1  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   class class class wbr 4393   ` cfv 5519   1c1 9387    < clt 9522   NNcn 10426   2c2 10475   ZZ>=cuz 10965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966
This theorem is referenced by:  nn0prpwlem  28658
  Copyright terms: Public domain W3C validator